Teoría espectral - Spectral theory

En matemáticas , la teoría espectral es un término inclusivo para las teorías que extienden la teoría de vectores propios y valores propios de una única matriz cuadrada a una teoría mucho más amplia de la estructura de operadores en una variedad de espacios matemáticos . Es el resultado de estudios de álgebra lineal y las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y sus generalizaciones. La teoría está relacionada con la de las funciones analíticas porque las propiedades espectrales de un operador están relacionadas con las funciones analíticas del parámetro espectral.

Fondo matemático

El nombre de teoría espectral fue introducido por David Hilbert en su formulación original de la teoría del espacio de Hilbert , que se formuló en términos de formas cuadráticas en infinitas variables. Por tanto, el teorema espectral original se concibió como una versión del teorema sobre los ejes principales de un elipsoide , en un entorno de dimensión infinita. El descubrimiento posterior en la mecánica cuántica de que la teoría espectral podía explicar las características de los espectros atómicos fue, por tanto, fortuito. El propio Hilbert se sorprendió por la aplicación inesperada de esta teoría, señalando que "desarrollé mi teoría de infinitas variables a partir de intereses puramente matemáticos, e incluso la llamé 'análisis espectral' sin ningún presentimiento de que más tarde encontraría aplicación al espectro real de física."

Ha habido tres formas principales de formular la teoría espectral, cada una de las cuales encuentra uso en diferentes dominios. Después de la formulación inicial de Hilbert, el desarrollo posterior de los espacios abstractos de Hilbert y la teoría espectral de los operadores normales individuales en ellos se adaptaron bien a los requisitos de la física , ejemplificados por el trabajo de von Neumann . La teoría adicional se basó en esto para abordar las álgebras de Banach en general. Este desarrollo conduce a la representación de Gelfand , que cubre el caso conmutativo , y más adelante en el análisis armónico no conmutativo .

La diferencia se puede ver al hacer la conexión con el análisis de Fourier . La transformada de Fourier en la línea real es, en cierto sentido, la teoría espectral de la diferenciación como operador diferencial . Pero para que eso cubra los fenómenos uno ya tiene que lidiar con funciones propias generalizadas (por ejemplo, por medio de un espacio de Hilbert amañado ). Por otro lado, es sencillo construir un álgebra de grupos , cuyo espectro captura las propiedades básicas de la transformada de Fourier, y esto se lleva a cabo mediante la dualidad de Pontryagin .

También se pueden estudiar las propiedades espectrales de los operadores en los espacios de Banach . Por ejemplo, los operadores compactos en espacios de Banach tienen muchas propiedades espectrales similares a las de las matrices .

Antecedentes fisicos

Los antecedentes de la física de las vibraciones se han explicado de esta manera:

La teoría espectral está relacionada con la investigación de vibraciones localizadas de una variedad de objetos diferentes, desde átomos y moléculas en química hasta obstáculos en guías de ondas acústicas . Estas vibraciones tienen frecuencias , y el problema es decidir cuándo ocurren tales vibraciones localizadas y cómo calcular las frecuencias. Este es un problema muy complicado ya que cada objeto no solo tiene un tono fundamental sino también una complicada serie de sobretonos , que varían radicalmente de un cuerpo a otro.

Tales ideas físicas no tienen nada que ver con la teoría matemática a nivel técnico, pero hay ejemplos de participación indirecta (ver, por ejemplo , la pregunta de Mark Kac ¿Puedes oír la forma de un tambor? ). La adopción de Hilbert del término "espectro" se ha atribuido a un artículo de 1897 de Wilhelm Wirtinger sobre la ecuación diferencial de Hill (por Jean Dieudonné ), y fue retomado por sus estudiantes durante la primera década del siglo XX, entre ellos Erhard Schmidt y Hermann Weyl . La base conceptual del espacio de Hilbert fue desarrollada a partir de las ideas de Hilbert por Erhard Schmidt y Frigyes Riesz . Casi veinte años después, cuando se formuló la mecánica cuántica en términos de la ecuación de Schrödinger , se hizo la conexión con los espectros atómicos ; Se había sospechado antes una conexión con la física matemática de la vibración, como señaló Henri Poincaré , pero rechazada por simples razones cuantitativas, sin una explicación de la serie de Balmer . El descubrimiento posterior en la mecánica cuántica de que la teoría espectral podía explicar las características de los espectros atómicos fue, por tanto, fortuito, en lugar de ser un objeto de la teoría espectral de Hilbert.

Una definición de espectro

Considere una transformación lineal acotada T definida en todas partes sobre un espacio de Banach general . Formamos la transformación:

${\ Displaystyle R _ {\ zeta} = \ left (\ zeta IT \ right) ^ {- 1}.}$

Aquí I es el operador de identidad y ζ es un número complejo . La inversa de un operador T , que es T ⁻¹ , se define por:

${\ Displaystyle TT ^ {- 1} = T ^ {- 1} T = I.}$

Si existe la inversa, T se llama regular . Si no existe, T se llama singular .

Con estas definiciones, el conjunto resolutivo de T es el conjunto de todos los números complejos ζ tal que R _ζ existe y está acotado . Este conjunto a menudo se denota como ρ (T) . El espectro de T es el conjunto de todos los números complejos ζ tal que R _ζ no existe o no está acotado. A menudo, el espectro de T se denota por σ (T) . La función R _ζ para todos ζ en ρ (T) (es decir, donde R _ζ existe como un operador acotado) se llama la resolvente de T . Por tanto, el espectro de T es el complemento del conjunto resolutivo de T en el plano complejo. Cada valor propio de T pertenece a σ (T) , pero σ (T) puede contener valores no propios.

Esta definición se aplica a un espacio de Banach, pero, por supuesto, también existen otros tipos de espacio, por ejemplo, los espacios vectoriales topológicos incluyen espacios de Banach, pero pueden ser más generales. Por otro lado, los espacios de Banach incluyen espacios de Hilbert , y son estos espacios los que encuentran la mayor aplicación y los resultados teóricos más ricos. Con las restricciones adecuadas, se puede decir mucho sobre la estructura de los espectros de transformaciones en un espacio de Hilbert. En particular, para los operadores autoadjuntos , el espectro se encuentra en la línea real y (en general) es una combinación espectral de un espectro de puntos de valores propios discretos y un espectro continuo .

Teoría espectral brevemente

En análisis funcional y álgebra lineal, el teorema espectral establece condiciones bajo las cuales un operador puede expresarse en forma simple como una suma de operadores más simples. Como una presentación rigurosa no es apropiada para este artículo, adoptamos un enfoque que evita gran parte del rigor y la satisfacción de un tratamiento formal con el objetivo de ser más comprensible para un no especialista.

Este tema es más fácil de describir mediante la introducción de la notación entre corchetes de Dirac para operadores. Como ejemplo, un operador lineal L muy particular podría escribirse como un producto diádico :

${\ Displaystyle L = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} |,}$

en términos del "sujetador" ⟨ b ₁ | y el "ket" | k ₁ ⟩. Una función f es descrita por un ket como | f ⟩. La función f ( x ) definida en las coordenadas se denota como ${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dots)}$

${\ Displaystyle f (x) = \ langle x, f \ rangle}$

y la magnitud de f por

${\ Displaystyle \ | f \ | ^ {2} = \ langle f, f \ rangle = \ int \ langle f, x \ rangle \ langle x, f \ rangle \, dx = \ int f ^ {*} (x ) f (x) \, dx}$

donde la notación '*' denota un conjugado complejo . Esta elección de producto interno define un espacio de producto interno muy específico , restringiendo la generalidad de los argumentos que siguen.

El efecto de L sobre una función f se describe entonces como:

${\ Displaystyle L | f \ rangle = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} | f \ rangle}$

expresando el resultado de que el efecto de L sobre f es producir una nueva función multiplicada por el producto interno representado por . ${\ Displaystyle | k_ {1} \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle b_ {1} | f \ rangle}$

Un operador lineal más general L podría expresarse como:

${\ Displaystyle L = \ lambda _ {1} | e_ {1} \ rangle \ langle f_ {1} | + \ lambda _ {2} | e_ {2} \ rangle \ langle f_ {2} | + \ lambda _ {3} | e_ {3} \ rangle \ langle f_ {3} | + \ dots,}$

donde son escalares y son una base y una base recíproca para el espacio. La relación entre la base y la base recíproca se describe, en parte, por: ${\ Displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}$${\ Displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}$${\ Displaystyle \ {\, \ langle f_ {i} | \, \}}$

${\ Displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}$

Si se aplica tal un formalismo, el son valores propios de L y las funciones son funciones propias de L . Los valores propios están en el espectro de L . ${\ Displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}$${\ Displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}$

Algunas preguntas naturales son: ¿bajo qué circunstancias funciona este formalismo y para qué operadores L son posibles expansiones en series de otros operadores como este? ¿Puede expresarse cualquier función f en términos de funciones propias (son una base de Schauder ) y bajo qué circunstancias surge un espectro puntual o un espectro continuo? ¿En qué se diferencian los formalismos para los espacios de dimensión infinita y los espacios de dimensión finita? ¿Pueden estas ideas extenderse a una clase más amplia de espacios? Responder a estas preguntas es el ámbito de la teoría espectral y requiere una formación considerable en análisis funcional y álgebra matricial .

Resolución de la identidad

Esta sección continúa de la manera aproximada y sencilla de la sección anterior usando la notación bra-ket y pasando por alto los muchos detalles importantes de un tratamiento riguroso. Un tratamiento matemático riguroso se puede encontrar en varias referencias. En particular, la dimensión n del espacio será finita.

Usando la notación bra-ket de la sección anterior, el operador de identidad puede escribirse como:

${\ Displaystyle I = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |}$

donde se supone como arriba que {   } son una base y el {   } una base recíproca para el espacio que satisface la relación: ${\ Displaystyle | e_ {i} \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle f_ {i} |}$

${\ Displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}.}$

Esta expresión de la operación de identidad se denomina representación o resolución de la identidad. Esta representación formal satisface la propiedad básica de la identidad:

${\ Displaystyle I ^ {k} = I \,}$

válido para todo entero positivo k .

Aplicando la resolución de la identidad a cualquier función en el espacio , se obtiene: ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ Displaystyle I | \ psi \ rangle = | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ c_ {i} | e_ {i} \ rangle}$

que es la expansión de Fourier generalizada de ψ en términos de las funciones base {e _i  }. Aquí . ${\ Displaystyle c_ {i} = \ langle f_ {i} | \ psi \ rangle}$

Dada alguna ecuación de operador de la forma:

${\ Displaystyle O | \ psi \ rangle = | h \ rangle}$

con h en el espacio, esta ecuación se puede resolver en la base anterior mediante las manipulaciones formales:

${\ Displaystyle O | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ left (O | e_ {i} \ rangle \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle,}$

${\ Displaystyle \ langle f_ {j} | O | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ langle f_ {j} | O | e_ {i} \ rangle = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ langle f_ {j} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle = \ langle f_ {j} | h \ rangle, \ quad \ forall j}$

que convierte la ecuación operador a una ecuación de la matriz para determinar los coeficientes desconocidos c _j en términos de los coeficientes de Fourier generalizadas de h y los elementos de matriz del operador O . ${\ Displaystyle \ langle f_ {j} | h \ rangle}$${\ Displaystyle O_ {ji} = \ langle f_ {j} | O | e_ {i} \ rangle}$

El papel de la teoría espectral surge al establecer la naturaleza y existencia de la base y la base recíproca. En particular, la base podría consistir en las funciones propias de algún operador lineal L :

${\ Displaystyle L | e_ {i} \ rangle = \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle \ ,;}$

con las {  λ _i  } los valores propios de L a partir del espectro de L . Entonces, la resolución de la identidad anterior proporciona la expansión díada de L :

${\ Displaystyle LI = L = \ sum _ {i = 1} ^ {n} L | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |.}$

Operador resolutivo

Usando la teoría espectral, el operador resolutivo R :

${\ Displaystyle R = (\ lambda IL) ^ {- 1}, \,}$

puede evaluarse en términos de las funciones propias y los valores propios de L , y se puede encontrar la función de Green correspondiente a L.

Aplicando R a alguna función arbitraria en el espacio, digamos , ${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle R | \ varphi \ rangle = (\ lambda IL) ^ {- 1} | \ varphi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | \ varphi \ rangle.}$

Esta función tiene polos en el complejo λ un plano en cada valor propio de L . Así, usando el cálculo de residuos :

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} R | \ varphi \ rangle d \ lambda = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | \ varphi \ rangle = - | \ varphi \ rangle,}$

donde la integral de línea es más de un contorno C que incluye todos los valores propios de L .

Supongamos que nuestras funciones están definidas sobre algunas coordenadas { x _j }, es decir:

${\ Displaystyle \ langle x, \ varphi \ rangle = \ varphi (x_ {1}, x_ {2}, ...).}$

Introduciendo la notación

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ delta (xy),}$

donde δ (x - y) = δ (x ₁ - y ₁ , x ₂ - y ₂ , x ₃ - y ₃ , ...) es la función delta de Dirac , podemos escribir

${\ Displaystyle \ langle x, \ varphi \ rangle = \ int \ langle x, y \ rangle \ langle y, \ varphi \ rangle dy.}$

Luego:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ langle x, {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {\ varphi} {\ lambda IL}} d \ lambda \ right \ rangle & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} d \ lambda \ left \ langle x, {\ frac {\ varphi} {\ lambda IL}} \ right \ rangle \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} d \ lambda \ int dy \ left \ langle x, {\ frac {y} {\ lambda IL}} \ right \ rangle \ langle y, \ varphi \ rangle \ end {alineado}}}$

La función G (x, y; λ) definida por:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} G (x, y; \ lambda) & = \ left \ langle x, {\ frac {y} {\ lambda IL}} \ right \ rangle \\ & = \ sum _ { i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ langle x, e_ {i} \ rangle \ left \ langle f_ {i}, {\ frac {e_ {j}} {\ lambda IL}} \ right \ rangle \ langle f_ {j}, y \ rangle \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ langle x, e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, y \ rangle} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ { i} ^ {*} (y)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}}, \ end {alineado}}}$

se llama la función de Green para el operador L , y satisface:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} G (x, y; \ lambda) \, d \ lambda = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ langle x, e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, y \ rangle = - \ langle x, y \ rangle = - \ delta (xy).}$

Ecuaciones del operador

Considere la ecuación del operador:

${\ Displaystyle (O- \ lambda I) | \ psi \ rangle = | h \ rangle;}$

en términos de coordenadas:

${\ Displaystyle \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ langle y, \ psi \ rangle \, dy = h (x).}$

Un caso particular es λ = 0.

La función de Green de la sección anterior es:

${\ Displaystyle \ langle y, G (\ lambda) z \ rangle = \ left \ langle y, (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ right \ rangle = G (y, z; \ lambda), }$

y satisface:

${\ Displaystyle \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ langle y, G (\ lambda) z \ rangle \, dy = \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ left \ langle y, (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ right \ rangle \, dy = \ langle x, z \ rangle = \ delta (xz).}$

Usando esta propiedad de función de Green:

${\ Displaystyle \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle G (y, z; \ lambda) \, dy = \ delta (xz).}$

Luego, multiplica ambos lados de esta ecuación por h ( z ) e integra:

${\ Displaystyle \ int dz \, h (z) \ int dy \, \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle G (y, z; \ lambda) = \ int dy \, \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ int dz \, h (z) G (y, z; \ lambda) = h (x),}$

lo que sugiere que la solución es:

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ int h (z) G (x, z; \ lambda) \, dz.}$

Es decir, la función ψ ( x ) que satisface la ecuación del operador se encuentra si podemos encontrar el espectro de O y construir G , por ejemplo, usando:

${\ Displaystyle G (x, z; \ lambda) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (z)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}}.}$

Hay muchas otras formas de encontrar G , por supuesto. Consulte los artículos sobre las funciones de Green y las ecuaciones integrales de Fredholm . Debe tenerse en cuenta que las matemáticas anteriores son puramente formales, y un tratamiento riguroso implica algunas matemáticas bastante sofisticadas, incluido un buen conocimiento previo del análisis funcional , los espacios de Hilbert , las distribuciones , etc. Consulte estos artículos y las referencias para más detalles.

Teorema espectral y cociente de Rayleigh

Los problemas de optimización pueden ser los ejemplos más útiles acerca de la importancia combinatoria de los valores propios y los vectores propios en matrices simétricas, especialmente para el cociente de Rayleigh con respecto a una matriz M .

Teorema Let M sea una matriz simétrica y dejar que x sea el vector no cero que maximiza el cociente de Rayleigh con respecto a M . Entonces, x es un vector propio de M con un valor propio igual al cociente de Rayleigh . Por otra parte, este valor propio es el mayor valor propio de  M .

Prueba Suponga el teorema espectral. Deje que los valores propios de M sean . Dado que { } forman una base ortonormal , cualquier vector x puede expresarse en esta base como ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ cdots \ leq \ lambda _ {n}}$${\ Displaystyle v_ {i}}$

${\ Displaystyle x = \ sum _ {i} v_ {i} ^ {T} xv_ {i}}$

La forma de probar esta fórmula es bastante sencilla. A saber,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} v_ {j} ^ {T} \ sum _ {i} v_ {i} ^ {T} xv_ {i} \\ [4pt] = {} & \ sum _ {i} v_ {i} ^ {T} xv_ {j} ^ {T} v_ {i} \\ [4pt] = {} & (v_ {j} ^ {T} x) v_ {j} ^ {T} v_ { j} \\ [4pt] = {} & v_ {j} ^ {T} x \ end {alineado}}}$

evaluar el cociente de Rayleigh con respecto ax:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & x ^ {T} Mx \\ [4pt] = {} & \ left (\ sum _ {i} (v_ {i} ^ {T} x) v_ {i} \ right ) ^ {T} M \ left (\ sum _ {j} (v_ {j} ^ {T} x) v_ {j} \ right) \\ [4pt] = {} & \ left (\ sum _ {i } (v_ {i} ^ {T} x) v_ {i} ^ {T} \ right) \ left (\ sum _ {j} (v_ {j} ^ {T} x) v_ {j} \ lambda _ {j} \ right) \\ [4pt] = {} & \ sum _ {i, j} (v_ {i} ^ {T} x) v_ {i} ^ {T} (v_ {j} ^ {T } x) v_ {j} \ lambda _ {j} \\ [4pt] = {} & \ sum _ {j} (v_ {j} ^ {T} x) (v_ {j} ^ {T} x) \ lambda _ {j} \\ [4pt] = {} & \ sum _ {j} (v_ {j} ^ {T} x) ^ {2} \ lambda _ {j} \ leq \ lambda _ {n} \ sum _ {j} (v_ {j} ^ {T} x) ^ {2} \\ [4pt] = {} & \ lambda _ {n} x ^ {T} x, \ end {alineado}}}$

donde usamos la identidad de Parseval en la última línea. Finalmente obtenemos que

${\ Displaystyle {\ frac {x ^ {T} Mx} {x ^ {T} x}} \ leq \ lambda _ {n}}$

por lo que el cociente de Rayleigh es siempre menor que . ${\ Displaystyle \ lambda _ {n}}$

Ver también

• Espectro (análisis funcional) , Formalismo resolutivo , Descomposición del espectro (análisis funcional)
• Radio espectral , espectro de un operador , teorema espectral
• Teoría espectral de operadores compactos
• Teoría espectral de las C * -álgebras normales
• Funciones de los operadores , teoría del operador
• Proyector Riesz
• Operador autoadjunto
• Teoría de Sturm-Liouville , Ecuaciones integrales , Teoría de Fredholm
• Operadores compactos , Operadores isospectrales , Completitud
• Pares laxos
• Geometría espectral
• Teoría de grafos espectrales
• Lista de temas de análisis funcional

Notas

Referencias

• Edward Brian Davies (1996). Teoría espectral y operadores diferenciales; Volumen 42 de los Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-58710-7.
• Nelson Dunford; Jacob T. Schwartz (1988). Operadores lineales, teoría espectral, operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert (Parte 2) (reimpresión en rústica de 1967 ed.). Wiley. ISBN 0-471-60847-5.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Nelson Dunford; Jacob T. Schwartz (1988). Operadores lineales, operadores espectrales (Parte 3) (Reimpresión en rústica de 1971 ed.). Wiley. ISBN 0-471-60846-7.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Sadri Hassani (1999). "Capítulo 4: Descomposición espectral" . Física matemática: una introducción moderna a sus fundamentos . Saltador. ISBN 0-387-98579-4.
• "Teoría espectral de operadores lineales" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Shmuel Kantorovitz (1983). Teoría espectral de los operadores espaciales de Banach; . Saltador.
• Arch W. Naylor, George R. Sell (2000). "Capítulo 5, Parte B: El espectro" . Teoría del operador lineal en ingeniería y ciencia; Volumen 40 de Ciencias matemáticas aplicadas. Saltador. pag. 411. ISBN 0-387-95001-X.
• Gerald Teschl (2009). Métodos matemáticos en mecánica cuántica; Con aplicaciones para operadores de Schrödinger . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Valter Moretti (2018). Teoría espectral y mecánica cuántica; Fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica 2ª edición . Saltador. ISBN 978-3-319-70705-1.

enlaces externos

• Evans M. Harrell II : Breve historia de la teoría del operador
• Gregory H. Moore (1995). "La axiomatización del álgebra lineal: 1875-1940" . Historia Mathematica . 22 (3): 262-303. doi : 10.1006 / hmat.1995.1025 .
• Steen, LA (abril de 1973). "Aspectos destacados en la historia de la teoría espectral". The American Mathematical Monthly . 80 (4): 359. doi : 10.2307 / 2319079 .