Identidad de Parseval - Parseval's identity

En el análisis matemático , la identidad de Parseval , que lleva el nombre de Marc-Antoine Parseval , es un resultado fundamental de la sumabilidad de la serie de Fourier de una función. Geométricamente, es un teorema de Pitágoras generalizado para espacios de productos internos (que pueden tener una infinidad incontable de vectores base).

De manera informal, la identidad afirma que la suma de los cuadrados de los coeficientes de Fourier de una función es igual a la integral del cuadrado de la función,

donde los coeficientes de Fourier de están dados por ${\ Displaystyle c_ {n}}$${\ Displaystyle f}$

Más formalmente, el resultado se cumple como se indica siempre que sea ​​una función integrable al cuadrado o, más generalmente, en el espacio Lp.Un resultado similar es el teorema de Plancherel , que afirma que la integral del cuadrado de la transformada de Fourier de una función es igual a la integral del cuadrado de la función en sí. En una dimensión, para${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} [- \ pi, \ pi].}$${\ Displaystyle f \ in L ^ {2} (\ mathbb {R}),}$

Generalización del teorema de Pitágoras

La identidad está relacionada con el teorema de Pitágoras en la configuración más general de un espacio de Hilbert separable como sigue. Suponga que es un espacio de Hilbert con producto interno. Sea una base ortonormal de ; es decir, la envolvente lineal de la es densa en y la son mutuamente ortonormal: ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle \ langle \, \ cdot \ ,, \, \ cdot \, \ rangle.}$${\ Displaystyle \ left (e_ {n} \ right)}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle e_ {n}}$${\ Displaystyle H,}$${\ Displaystyle e_ {n}}$

${\ displaystyle \ langle e_ {m}, e_ {n} \ rangle = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {if}} ~ m = n \\ 0 & {\ mbox {if}} ~ m \ neq n . \ end {casos}}}$

Entonces, la identidad de Parseval afirma que para cada ${\ Displaystyle x \ in H,}$

Esto es directamente análogo al teorema de Pitágoras , que afirma que la suma de los cuadrados de los componentes de un vector en una base ortonormal es igual a la longitud al cuadrado del vector. Uno puede recuperar la versión de la serie de Fourier de la identidad de Parseval dejando ser el espacio de Hilbert y el escenario para${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle L ^ {2} [- \ pi, \ pi],}$${\ Displaystyle e_ {n} = e ^ {- inx}}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {Z}.}$

De manera más general, la identidad de Parseval se mantiene en cualquier espacio de producto interno , no solo en los espacios separables de Hilbert. Por tanto, suponga que es un espacio de producto interno. Sea una base ortonormal de ; es decir, un conjunto ortonormal que es total en el sentido de que el intervalo lineal de es denso en Then ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle H.}$

La suposición de que es total es necesaria para la validez de la identidad. Si no es total, entonces la igualdad en la identidad de Parseval debe reemplazarse produciendo la desigualdad de Bessel . Esta forma general de la identidad de Parseval se puede demostrar utilizando el teorema de Riesz-Fischer . ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \, \ geq,}$

Ver también

• Teorema de Parseval

Referencias

• "Igualdad Parseval" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Johnson, Lee W .; Riess, R. Dean (1982), Análisis numérico (2a ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 0-201-10392-3.
• Titchmarsh, E (1939), La teoría de las funciones (2a ed.), Oxford University Press.
• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (2.a ed.), Cambridge University Press (publicada en 1988), ISBN 978-0-521-35885-9.
• Siktar, Joshua (2019), Refundiendo la prueba de la identidad de Parseval , Revista turca de desigualdades. [1]