Semi-continuidad - Semi-continuity

En análisis matemático , semicontinuidad (o semicontinuidad ) es una propiedad de reales extendidos -valued funciones que es más débil que la continuidad . Una función extendida de valor real es semicontinua superior (respectivamente, inferior ) en un punto si, en términos generales, los valores de la función para los argumentos cercanos no son mucho más altos (respectivamente, más bajos) que${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right).}$

Una función es continua si y solo si es semicontinua superior e inferior. Si tomamos una función continua y aumentamos su valor en un cierto punto a para algunos , entonces el resultado es semicontinuo superior; si disminuimos su valor a, entonces el resultado es un semicontinuo menor. ${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) + c}$${\ Displaystyle c \ geq 0}$${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) -c}$

Una función semicontinua superior que no es semicontinua inferior. El punto azul sólido indica${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right).}$

Una función semicontinua inferior que no es semicontinua superior. El punto azul sólido indica${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right).}$

Definicion formal

Suponga que todo eso es un espacio topológico y es una función valorada en los números reales extendidos${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f: X \ a [- \ infty, \ infty]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, \ infty \} = [- \ infty, \ infty].}$

La función se llama${\ Displaystyle f}$ semicontinuo superior si essemicontinuo superior encada punto de sudominio y, de manera similar, se llama${\ Displaystyle X,}$semicontinuo inferior si essemicontinuo inferior encada punto de su dominio, donde ahora se dan varias definiciones equivalentes de "semicontinuo en un punto".

Semicontinuidad superior en un punto

Se dice que la función es${\ Displaystyle f: X \ a [- \ infty, \ infty]}$semicontinuo superior en un punto ${\ Displaystyle x_ {0} \ in X}$ si

por cada real existe un vecindario de tal que para todos${\ Displaystyle y> f \ left (x_ {0} \ right)}$ ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle y> f (u)}$${\ Displaystyle u \ in U.}$

Si entonces es necesariamente semicontinuo superior en porque la condición anterior se satisface de forma vacía (no hay real ). En esta definición, la desigualdad estricta " " se puede reemplazar por " ", pero no se puede hacer lo mismo con la desigualdad estricta " ".${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) = + \ infty}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle y> + \ infty}$${\ Displaystyle y> f (u)}$${\ Displaystyle y \ geq f (u)}$${\ Displaystyle y> f \ left (x_ {0} \ right)}$

La semicontinuidad superior en se puede definir de manera equivalente separándola en dos casos, siendo necesaria la separación en casos por el hecho de que (de la definición anterior) y (de la definición siguiente) no se pueden usar indistintamente cuando La función es semicontinuidad superior -continuo en si y solo si se cumple lo siguiente: ${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) + \ epsilon}$${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) = - \ infty.}$${\ Displaystyle f: X \ a [- \ infty, \ infty]}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

1. si entonces por cada existe un vecindario de tal que siempre que entonces${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right)> - \ infty}$${\ Displaystyle \ epsilon> 0,}$ ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle u \ in U}$${\ Displaystyle f (u) \ leq f \ left (x_ {0} \ right) + \ epsilon.}$
2. si luego tiende a como tiende a${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) = - \ infty}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle - \ infty}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x_ {0}.}$

Para el caso particular donde es un espacio métrico, es semicontinuo superior en si y solo si ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle \ limsup _ {x \ to x_ {0}} f (x) \ leq f \ left (x_ {0} \ right)}$

donde lim sup es el límite superior de la función en el punto (para espacios no métricos, se puede establecer una definición equivalente usando redes ). ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}.}$

Menor semicontinuidad en un punto

Se dice que la función es${\ Displaystyle f: X \ a [- \ infty, \ infty]}$semicontinuo inferior en un punto ${\ Displaystyle x_ {0} \ in X}$ si

por cada real existe un vecindario de tal que para todos${\ Displaystyle y <f \ left (x_ {0} \ right)}$ ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle y <f (u)}$${\ Displaystyle u \ in U.}$

Si entonces es necesariamente semicontinuo más bajo en porque la condición anterior se satisface de forma vacía . En esta definición, la desigualdad estricta " " se puede reemplazar por " ", pero no se puede hacer lo mismo con la desigualdad estricta " ".${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) = - \ infty}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle y <f (u)}$${\ Displaystyle y \ leq f (u)}$${\ Displaystyle y <f \ left (x_ {0} \ right)}$

La semicontinuidad inferior en se puede definir de manera equivalente separándola en dos casos, siendo necesaria la separación en casos por el hecho de que (de la definición anterior) y (de la definición siguiente) no se pueden usar indistintamente cuando La función es semicontinuidad inferior -continuo en si y solo si se cumple lo siguiente: ${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) - \ epsilon}$${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) = + \ infty.}$${\ Displaystyle f: X \ a [- \ infty, \ infty]}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

1. si entonces por cada existe un vecindario de tal que siempre que entonces${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) <+ \ infty}$${\ Displaystyle \ epsilon> 0,}$ ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle u \ in U}$${\ Displaystyle f (u) \ geq f \ left (x_ {0} \ right) - \ epsilon.}$
2. si luego tiende a como tiende a${\ Displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) = + \ infty}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle + \ infty}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x_ {0}.}$

Para el caso particular donde es un espacio métrico, es menor semicontinuo en si y solo si ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle \ liminf _ {x \ to x_ {0}} f (x) \ geq f \ left (x_ {0} \ right)}$

donde es el límite inferior de la función en el punto${\ Displaystyle \ liminf}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}.}$

Caracterizaciones alternativas

1. Una función es semicontinua superior si y solo si es un conjunto abierto para cada Una función es semicontinua inferior si y solo si es un conjunto abierto para cada${\ Displaystyle \ {x \ en X: f (x) <y \}}$${\ Displaystyle y \ in \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle \ {x \ en X: f (x)> y \}}$${\ Displaystyle y \ in \ mathbb {R}.}$
2. Una función es semicontinua inferior si y solo si todos sus conjuntos de nivel inferior (también llamados conjuntos de subnivel o trincheras ) están cerrados .${\ Displaystyle \ {x \ en X: f (x) \ leq y \}}$
3. Una función es semicontinua inferior si y solo si es semicontinua superior.${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle -f}$
4. Una función es semicontinua inferior si y solo si su epígrafe (el conjunto de puntos que se encuentran sobre o encima de su gráfico ) está cerrado .${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$
5. Una función de algún espacio topológico es semicontinua inferior si y solo si es continua con respecto a la topología de Scott en${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$

Porque es una subbase para la topología euclidiana en una función es continua si y solo si y están abiertos para todos. Esta caracterización puede verse como una motivación para las definiciones de semicontinuidad superior e inferior. Además, una función es continua en si y solo si es semicontinua superior e inferior allí. Por lo tanto, la semicontinuidad se puede utilizar para probar la continuidad. ${\ Displaystyle \ {(- \ infty, r): r \ in \ mathbb {R} \} \ cup \ {(r, \ infty): r \ in \ mathbb {R} \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R},}$${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} ((- \ infty, r))}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} ((r, \ infty))}$${\ Displaystyle r \ in \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

Ejemplos de

Considere la función definida por partes por: ${\ Displaystyle f,}$

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} -1 & {\ mbox {if}} x <0, \\ 1 & {\ mbox {if}} x \ geq 0 \ end {cases}}}$

Esta función es semicontinua superior en pero no semicontinua inferior. ${\ Displaystyle x_ {0} = 0,}$

La función indicadora de un conjunto cerrado es semicontinua superior, mientras que la función indicadora de un conjunto abierto es semicontinua inferior. La función de piso que devuelve el mayor entero menor o igual a un número real dado es semicontinua superior en todas partes. Del mismo modo, la función de techo es semicontinua más baja. ${\ Displaystyle f (x) = \ lfloor x \ rfloor,}$${\ Displaystyle x,}$ ${\ Displaystyle f (x) = \ lceil x \ rceil}$

Una función puede ser semicontinua superior o inferior sin ser continua a la izquierda ni a la derecha . Por ejemplo, la función

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {if}} x <1, \\ 2 & {\ mbox {if}} x = 1, \\ 1/2 & {\ mbox {if }} x> 1, \ end {cases}}}$

es semicontinua superior en ya que su valor allí es mayor que su valor en su vecindad. Sin embargo, no es continuo a la izquierda ni a la derecha: el límite de la izquierda es igual a 1 y el límite de la derecha es igual a 1/2, los cuales son diferentes del valor de función de 2. Si se modifica, por ejemplo, estableciendo entonces es semicontinuo más bajo. ${\ Displaystyle x = 1 ,,}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (1) = 0}$

De manera similar, la función

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ sin (1 / x) & {\ mbox {if}} x \ neq 0, \\ 1 & {\ mbox {if}} x = 0, \ end {casos}}}$

es semicontinua superior en mientras que los límites de función desde la izquierda o la derecha en cero ni siquiera existen. ${\ Displaystyle x = 0}$

Si es un espacio euclidiano (o más generalmente, un espacio métrico) y es el espacio de curvas en (con la distancia superior, entonces la longitud funcional que asigna a cada curva su longitud es semicontinua inferior. ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Gamma = C ([0,1], X)}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle d _ {\ Gamma} (\ alpha, \ beta) = \ sup _ {t} \ d_ {X} (\ alpha (t), \ beta (t)),}$${\ Displaystyle L: \ Gamma \ a [0, + \ infty],}$${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle L (\ alpha),}$

La función del indicador de cualquier conjunto abierto es semicontinua más baja. La función indicadora de un conjunto cerrado es semicontinua superior. Sin embargo, en el análisis convexo, el término "función indicadora" a menudo se refiere a la función característica , y la función característica de cualquier conjunto cerrado es semicontinua inferior y la función característica de cualquier conjunto abierto es semicontinua superior.

Sea un espacio de medida y denotemos el conjunto de funciones medibles positivas dotadas de la topología de convergencia en medida con respecto a Entonces por el lema de Fatou la integral, vista como un operador de a es semicontinua inferior. ${\ Displaystyle (X, \ mu)}$${\ Displaystyle L ^ {+} (X, \ mu)}$${\ Displaystyle \ mu.}$${\ Displaystyle L ^ {+} (X, \ mu)}$${\ Displaystyle [- \ infty, + \ infty]}$

Condiciones suficientes

Si y son dos funciones de valor real que son semicontinuas superiores en entonces también lo es Si ambas funciones no son negativas, entonces la función del producto también será semicontinua superior en Lo mismo se aplica a las funciones semicontinuas inferiores en${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle x_ {0},}$${\ Displaystyle f + g.}$${\ displaystyle fg}$${\ Displaystyle x_ {0}.}$${\ Displaystyle x_ {0}.}$

La composición de las funciones superiores semi-continuos y no es necesariamente superior semi-continua, pero si es también no decreciente, entonces es superior semi-continua. ${\ Displaystyle f \ circ g}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f \ circ g}$

Multiplicar una función semicontinua superior positiva por un número negativo la convierte en una función semicontinua inferior.

Supongamos que es una función semicontinua inferior para cada índice en un conjunto no vacío y defina como supremum puntiagudo ; es decir, ${\ Displaystyle f_ {i}: X \ a [- \ infty, \ infty]}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle I,}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle f (x) = \ sup _ {i \ in I} f_ {i} (x)}$ para cada ${\ Displaystyle x \ in X.}$

Luego es semicontinuo inferior. Incluso si todos son continuos, no es necesario que sean continuos; de hecho, toda función semicontinua inferior en un espacio uniforme (por ejemplo, un espacio métrico ) surge como el supremo de una secuencia de funciones continuas. Asimismo, el mínimo puntual de una colección arbitraria de funciones semicontinuas superiores es semicontinuo superior. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f_ {i}}$${\ Displaystyle f}$

Supongamos que son funciones semicontinuas inferiores no negativas indexadas por tal que ${\ Displaystyle f_ {i}: X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle i \ in I \ neq \ varnothing}$

${\ Displaystyle g (x): = \ sum _ {i \ in I} f_ {i} (x): = \ sup \ left \ {\ sum _ {i \ in F} f_ {i} (x) ~ : ~ F \ subseteq I {\ text {es finito}} \ right \} <\ infty}$

para cada Then es semicontinuo inferior. Si además every es continuo, entonces es necesariamente continuo. ${\ Displaystyle x \ in X.}$${\ Displaystyle g: X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f_ {i}}$${\ Displaystyle g}$

El máximo y mínimo de un número finito de funciones semicontinuas superiores es semicontinuo superior, y lo mismo ocurre con las funciones semicontinuas inferiores.

Propiedades

Si es un espacio compacto (por ejemplo, un intervalo cerrado y acotado ) y es semicontinuo superior, entonces tiene un máximo en La declaración análoga para las funciones semicontinuas inferiores valoradas (- ] y mínimos también es verdadera (ver el artículo). sobre el teorema del valor extremo para una demostración). ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle f: C \ a [- \ infty, \ infty)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle C.}$${\ Displaystyle \ infty, \ infty}$

Cualquier función semicontinua superior en un espacio topológico arbitrario es localmente constante en algún subconjunto abierto denso de${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$

Ver también

• Función continua: función  matemática sin cambios repentinos de valor
• Continuidad direccional
• Función semicontinua multivalor

Notas

Referencias

Bibliografía

• Benesova, B .; Kruzik, M. (2017). "Semicontinuidad inferior débil de aplicaciones y funcionales integrales". Revisión SIAM . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . doi : 10.1137 / 16M1060947 .
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de las matemáticas: topología general, 1–4 . Saltador. ISBN 0-201-00636-7.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de las matemáticas: topología general, 5–10 . Saltador. ISBN 3-540-64563-2.
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