Continuidad de Scott - Scott continuity

En matemáticas , dados dos conjuntos P y Q parcialmente ordenados , una función f : P → Q entre ellos es Scott-continua (llamada así por el matemático Dana Scott ) si conserva todo suprema dirigido . Es decir, para cada subconjunto dirigido D de P con supremum en P , su imagen tiene un supremum en Q , y ese supremum es la imagen del supremum de D , es decir , dónde está la unión dirigida. Cuando es el conjunto de valores de verdad, es decir, el espacio de Sierpiński , las funciones continuas de Scott son funciones características y, por tanto, el espacio de Sierpiński es el topos clasificador de los conjuntos abiertos.

Un subconjunto O de un conjunto parcialmente ordenado P se llama Scott-abierto si se trata de un conjunto superior y si es inaccesible por dirigido se une , es decir, si todos los conjuntos dirigidos D con supremo en O have no vacío intersección con O . Los subconjuntos abiertos de Scott de un conjunto P parcialmente ordenado forman una topología en P , la topología de Scott . Una función entre conjuntos parcialmente ordenados es Scott-continua si y solo si es continua con respecto a la topología de Scott.

La topología de Scott fue definida por primera vez por Dana Scott para celosías completas y luego definida para conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados.

Las funciones continuas de Scott aparecen en el estudio de modelos para cálculos lambda y la semántica denotacional de programas de computadora.

Propiedades

Una función continua de Scott es siempre monótona .

Un subconjunto de un orden parcial completo dirigido es cerrado con respecto a la topología de Scott inducida por el orden parcial si y solo si es un conjunto inferior y cerrado bajo el suprema de subconjuntos dirigidos.

Un orden parcial completo dirigido (dcpo) con la topología de Scott es siempre un espacio de Kolmogorov (es decir, satisface el axioma de separación T 0 ). Sin embargo, un dcpo con la topología de Scott es un espacio de Hausdorff si y solo si el orden es trivial. Los conjuntos Scott-open forman una celosía completa cuando se ordenan por inclusión .

Para cualquier espacio de Kolmogorov, la topología induce una relación de orden en ese espacio, el orden de especialización : x ≤ y si y solo si cada vecindad abierta de x es también una vecindad abierta de y . La relación de orden de un dcpo D se puede reconstruir a partir de los conjuntos abiertos de Scott como el orden de especialización inducido por la topología de Scott. Sin embargo, un dcpo equipado con la topología de Scott no necesita ser sobrio : el orden de especialización inducido por la topología de un espacio sobrio convierte ese espacio en un dcpo, pero la topología de Scott derivada de este orden es más fina que la topología original.

Ejemplos de

Los conjuntos abiertos en un espacio topológico dado cuando se ordenan por inclusión forman un entramado en el que se puede definir la topología de Scott. Un subconjunto X de un espacio topológico T es compacto con respecto a la topología en T (en el sentido de que cada cubierta abierta de X contiene una subcubierta finita de X ) si y solo si el conjunto de vecindades abiertas de X está abierto con respecto a la topología de Scott.

Para CPO , la categoría cerrada cartesiana de dcpo's, dos ejemplos particularmente notables de funciones continuas de Scott son curry y apply .

Nuel Belnap usó la continuidad de Scott para extender las conectivas lógicas a una lógica de cuatro valores .

Ver también

Notas al pie

  1. ↑ a b Vickers, Steven (1989). Topología vía lógica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-36062-3.
  2. ^ Topología de Scott en nLab
  3. ↑ a b Scott, Dana (1972). "Celosías continuas". En Lawvere, Bill (ed.). Topos, Geometría Algebraica y Lógica . Apuntes de clase en matemáticas. 274 . Springer-Verlag.
  4. ↑ a b c d Abramsky, S .; Jung, A. (1994). "Teoría del dominio" (PDF) . En Abramsky, S .; Gabbay, DM; Maibaum, TSE (eds.). Manual de Lógica en Informática . Vol. III. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-853762-5. |volume=tiene texto extra ( ayuda )
  5. ↑ a b Bauer, Andrej y Taylor, Paul (2009). "Los reales de Dedekind en la dualidad de piedra abstracta" . Estructuras matemáticas en informática . 19 (4): 757–838. CiteSeerX  10.1.1.424.6069 . doi : 10.1017 / S0960129509007695 . S2CID  6774320 . Consultado el 8 de octubre de 2010 .
  6. ^ Barendregt, HP (1984). El cálculo Lambda . Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-87508-2. (Ver teoremas 1.2.13, 1.2.14)
  7. ^ N. Belnap (1975) "Cómo deberían pensar las computadoras", páginas 30 a 56 en Aspectos contemporáneos de la filosofía ,editor de Gilbert Ryle , Oriel Press ISBN  0-85362-161-6

Referencias