Método de Rankin-Selberg - Rankin–Selberg method

En matemáticas , el método Rankin-Selberg , introducido por ( Rankin   1939 ) y Selberg  ( 1940 ), también conocido como la teoría de las representaciones integrales de L -Funciones , es una técnica para la construcción directa y analíticamente continua varios ejemplos importantes de automorphic L - funciones . Algunos autores reservan el término para un tipo especial de representación integral, a saber, aquellas que involucran una serie de Eisenstein . Ha sido una de las técnicas más poderosas para estudiar el programa Langlands .

Historia

En cierto sentido, la teoría se remonta a Bernhard Riemann , quien construyó su función zeta como la transformada de Mellin de la función theta de Jacobi . Riemann usó asintóticas de la función theta para obtener la continuación analítica, y la automorfia de la función theta para probar la ecuación funcional . Erich Hecke , y más tarde Hans Maass , aplicaron el mismo método de transformación de Mellin a formas modulares en el semiplano superior , después de lo cual el ejemplo de Riemann puede verse como un caso especial.

Robert Alexander Rankin y Atle Selberg construyeron independientemente sus funciones L de convolución , ahora consideradas como la función L de Langlands asociada al producto tensorial de la representación estándar de GL (2) consigo mismo. Como Riemann, usaron una integral de formas modulares, pero de un tipo diferente: integraron el producto de dos formas modulares de peso k f , g con una serie analítica real E (τ, s ) de Eisenstein sobre un dominio fundamental D de la grupo modular SL 2 ( Z ) actuando sobre el semiplano superior

.

La integral converge absolutamente si una de las dos formas es cúspide ; de lo contrario, las asintóticas deben usarse para obtener una continuación meromórfica como hizo Riemann. La continuación analítica y la ecuación funcional luego se reducen a las de la serie de Eisenstein. La integral se identificó con la función L de convolución mediante una técnica llamada "despliegue", en la que la definición de la serie de Eisenstein y el rango de integración se convierten en una expresión más simple que exhibe más fácilmente la función L como una serie de Dirichlet . La combinación simultánea de un desdoblamiento junto con el control global sobre las propiedades analíticas es especial y lo que hace que la técnica sea exitosa.

Teoría adelia moderna

Hervé Jacquet y Robert Langlands más tarde dieron representaciones integrales adelicas para las funciones L estándar y del producto tensorial que anteriormente habían obtenido Riemann, Hecke, Maass, Rankin y Selberg. Dieron una teoría muy completa, en el sentido de que dilucidaron fórmulas para todos los factores locales, establecieron la ecuación funcional en una forma precisa y dieron continuaciones analíticas agudas.

Generalizaciones y limitaciones

Hoy en día uno tiene representaciones integrales para una gran constelación de funciones L automórficas, sin embargo con dos salvedades frustrantes. La primera es que no está del todo claro qué funciones L posiblemente tengan representaciones integrales, o cómo se pueden encontrar; se teme que el método esté casi agotado, aunque una y otra vez se encuentran nuevos ejemplos a través de ingeniosos argumentos. La segunda es que, en general, es difícil o incluso imposible calcular las integrales locales después de la etapa de desarrollo. Esto significa que las integrales pueden tener las propiedades analíticas deseadas, solo que pueden no representar una función L (sino algo cercano a ella).

Por lo tanto, tener una representación integral para una función L no indica de ninguna manera que sus propiedades analíticas estén resueltas: pueden quedar serios problemas analíticos por resolver. Sin embargo, como mínimo, asegura que la función L tenga una construcción algebraica a través de manipulaciones formales de una integral de formas automórficas, y que en todos los lugares excepto en un número finito de lugares tenga el producto de Euler conjeturado de una función L particular . En muchas situaciones, el método Langlands-Shahidi proporciona información complementaria.

Ejemplos notables

  • Función L estándar en GL ( n ) ( Godement - Jacquet ). La teoría se resolvió por completo en el manuscrito original.
  • Función L estándar en grupos clásicos ( Piatetski-Shapiro - Rallis ). Esta construcción se conoció como el método de duplicación y también funciona para representaciones no genéricas.
  • Función L del producto tensor en GL ( n ) × GL ( m ) (incluye la función L estándar si m  = 1), debido a Jacquet, Piatetski-Shapiro y Shalika . La teoría fue completamente resuelta por Moeglin - Waldspurger , y fue diseñada a la inversa para establecer el "teorema inverso".
  • Cuadrado simétrico en GL ( n ) debido a Shimura y Gelbart –Jacquet ( n  = 2), Piatetski-Shapiro y Patterson ( n  = 3), y Bump –Ginzburg ( n  > 3).
  • Plaza exterior en GL ( n ), debido a Jacquet – Shalika y Bump – Ginzburg.
  • Producto triple en GL (2) × GL (2) × GL (2) (Garrett, así como Harris , Ikeda, Piatetski-Shapiro, Rallis, Ramakrishnan y Orloff).
  • Cubo simétrico en GL (2) (Bump – Ginzburg – Hoffstein).
  • Cuarta potencia simétrica en GL (2) (Ginzburg – Rallis).
  • Función L estándar de E 6 y E 7 (Ginzburg).
  • Función L estándar de G 2 (Ginzburg-Hundley, Gurevich-Segal).

Referencias

  • Bump, Daniel (1989), "El método de Rankin-Selberg: una encuesta", Teoría de números, fórmulas de trazas y grupos discretos (Oslo, 1987) , Boston, MA: Academic Press , págs. 49-109, MR   0993311
  • Bump, Daniel (2005), "El método Rankin-Selberg: una introducción y una encuesta" , en Cogdell, James W .; Jiang, Dihua; Kudla, Stephen S .; Soudry, David; Stanton, Robert (eds.), Representaciones automórficas, funciones L y aplicaciones: progreso y perspectivas , Ohio State Univ. Matemáticas. Res. Inst. Publ., 11 , Berlín: de Gruyter, págs. 41–73, ISBN   978-3-11-017939-2 , Señor   2192819
  • Rankin, Robert A. (1939), "Contribuciones a la teoría de la función de Ramanujan τ (n) y funciones aritméticas similares. I. Los ceros de la función Σ n = 1 ∞ τ (n) / n s en la línea R s = 13 / 2. II. El orden de los coeficientes de Fourier de las formas modulares integrales ", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 35 : 351–372, doi : 10.1017 / S0305004100021095 , MR   0000411
  • Selberg, Atle (1940), "Bemerkungen über eine Dirichletsche Reihe, die mit der Theorie der Modulformen nahe verbunden ist", Arch. Matemáticas. Naturvid. , 43 : 47–50, MR   0002626