Otros operadores diferenciales como
y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales .
Coordenadas parabólicas tridimensionales
Superficies de coordenadas de las coordenadas parabólicas tridimensionales. El paraboloide rojo corresponde a τ = 2, el paraboloide azul corresponde a σ = 1 y el semiplano amarillo corresponde a φ = -60 °. Las tres superficies se cruzan en el punto P (mostrado como una esfera negra) con coordenadas cartesianas aproximadamente (1.0, -1.732, 1.5).
Las coordenadas parabólicas bidimensionales forman la base de dos conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales . Las coordenadas cilíndricas parabólicas se producen proyectando en la dirección-. La rotación sobre el eje de simetría de las parábolas produce un conjunto de paraboloides confocales, el sistema de coordenadas de coordenadas parabólicas tridimensionales. Expresado en términos de coordenadas cartesianas:
donde las parábolas ahora están alineadas con el eje-, alrededor del cual se realizó la rotación. Por lo tanto, el ángulo azimutal se define
Las superficies de paraboloides confocales de forma
constante
que se abren hacia arriba (es decir, hacia ) mientras que las superficies de forma constante paraboloides confocales
que se abren hacia abajo (es decir, hacia ). Los focos de todos estos paraboloides se encuentran en el origen.
Se ve que los factores de escala y son los mismos que en el caso bidimensional. El elemento de volumen infinitesimal es entonces
y el laplaciano está dado por
Otros operadores diferenciales como
y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales .
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