Síntesis de red - Network synthesis

La síntesis de red es una técnica de diseño de circuitos eléctricos lineales . La síntesis comienza a partir de una función de impedancia prescrita de frecuencia o respuesta de frecuencia y luego determina las posibles redes que producirán la respuesta requerida. La técnica debe compararse con el análisis de red en el que se calcula la respuesta (u otro comportamiento) de un circuito dado. Antes de la síntesis de red, solo estaba disponible el análisis de red, pero esto requiere que uno ya sepa qué tipo de circuito se va a analizar. No hay garantía de que el circuito elegido sea lo más parecido posible a la respuesta deseada, ni de que el circuito sea el más simple posible. La síntesis de red aborda directamente estos dos problemas. Históricamente, la síntesis de redes se ha preocupado por sintetizar redes pasivas , pero no se limita a tales circuitos.

El campo fue fundado por Wilhelm Cauer después de leer el artículo de 1924 de Ronald M. Foster Un teorema de reactancia . El teorema de Foster proporcionó un método para sintetizar circuitos LC con un número arbitrario de elementos mediante una expansión de fracción parcial de la función de impedancia. Cauer extendió el método de Foster a los circuitos RC y RL , encontró nuevos métodos de síntesis y métodos que podían sintetizar un circuito RLC general . Otros avances importantes antes de la Segunda Guerra Mundial se deben a Otto Brune y Sidney Darlington . En la década de 1940 Raoul Bott y Richard Duffin publicaron una técnica de síntesis que no requería transformadores en el caso general (cuya eliminación había preocupado a los investigadores durante algún tiempo). En la década de 1950, se hizo un gran esfuerzo en la cuestión de minimizar el número de elementos requeridos en una síntesis, pero con un éxito limitado. Poco se hizo en el campo hasta la década de 2000, cuando el tema de la minimización se convirtió nuevamente en un área activa de investigación, pero a partir de 2018, sigue siendo un problema sin resolver.

Una aplicación principal de la síntesis de red es el diseño de filtros de síntesis de red, pero esta no es su única aplicación. Entre otros, se encuentran las redes de adaptación de impedancia, las redes de retardo de tiempo , los acopladores direccionales y la ecualización . En la década de 2000, la síntesis de redes comenzó a aplicarse a sistemas mecánicos y eléctricos, especialmente en las carreras de Fórmula Uno .

Visión general

La síntesis de red se trata de diseñar una red eléctrica que se comporte de una manera prescrita sin ningún concepto previo de la forma de la red. Normalmente, se requiere sintetizar una impedancia utilizando componentes pasivos. Es decir, una red que consta de resistencias (R), inductancias (L) y capacitancias (C). Tales redes siempre tienen una impedancia, denotada , en forma de función racional de la variable de frecuencia compleja s . Es decir, la impedancia es la razón de dos polinomios en s . ${\ Displaystyle Z (s)}$

Hay tres áreas amplias de estudio en síntesis de redes; aproximando un requisito con una función racional, sintetizando esa función en una red y determinando equivalentes de la red sintetizada.

Aproximación

La función prescrita idealizada rara vez podrá ser descrita exactamente por polinomios. Por tanto, no es posible sintetizar una red para reproducirla exactamente. Un ejemplo simple y común es el filtro de pared de ladrillos . Esta es la respuesta ideal de un filtro de paso bajo, pero su respuesta continua por partes es imposible de representar con polinomios debido a las discontinuidades. Para superar esta dificultad, se encuentra una función racional que se aproxima mucho a la función prescrita utilizando la teoría de la aproximación . En general, cuanto más cercana se requiera que sea la aproximación, mayor será el grado del polinomio y se requerirán más elementos en la red.

Hay muchos polinomios y funciones que se utilizan en la síntesis de redes para este propósito. La elección depende de qué parámetros de la función prescrita desea optimizar el diseñador. Uno de los primeros utilizados fueron los polinomios de Butterworth, que da como resultado una respuesta máximamente plana en la banda de paso. Una opción común es la aproximación de Chebyshev en la que el diseñador especifica cuánto puede desviarse la respuesta de la banda de paso del ideal a cambio de mejoras en otros parámetros. Hay otras aproximaciones disponibles para optimizar el retardo de tiempo, la adaptación de impedancia , la atenuación y muchos otros requisitos.

Realización

Dada una función racional, generalmente es necesario determinar si la función es realizable como una red pasiva discreta. Todas estas redes se describen mediante una función racional, pero no todas las funciones racionales son realizables como una red pasiva discreta. Históricamente, la síntesis de redes se ocupaba exclusivamente de tales redes. Los componentes activos modernos han hecho que esta limitación sea menos relevante en muchas aplicaciones, pero en las frecuencias de radio más altas, las redes pasivas siguen siendo la tecnología de elección. Existe una propiedad simple de las funciones racionales que predice si la función es realizable como una red pasiva. Una vez que se determina que una función es realizable, hay una serie de algoritmos disponibles que sintetizarán una red a partir de ella.

Equivalencia

La realización de una red a partir de una función racional no es única. La misma función puede realizar muchas redes equivalentes. Se sabe que las transformaciones afines de la matriz de impedancia formada en el análisis de malla de una red son todas matrices de impedancia de redes equivalentes (más información en Filtro analógico § Realización y equivalencia ). Se conocen otras transformaciones de impedancia , pero si hay más clases de equivalencia que quedan por descubrir es una cuestión abierta.

Un área importante de investigación en la síntesis de redes ha sido encontrar la realización que utiliza el número mínimo de elementos. Esta cuestión no se ha resuelto por completo para el caso general, pero hay soluciones disponibles para muchas redes con aplicaciones prácticas.

Historia

El campo de la síntesis de redes fue fundado por el matemático y científico alemán Wilhelm Cauer (1900-1945). El primer indicio hacia una teoría provino del matemático estadounidense Ronald M. Foster (1896-1998) cuando publicó el teorema de reactancia A en 1924. Cauer reconoció inmediatamente la importancia de este trabajo y se dispuso a generalizarlo y ampliarlo. Su tesis en 1926 fue sobre "La realización de impedancias de dependencia de frecuencia prescrita" y es el comienzo del campo. El trabajo más detallado de Cauer se realizó durante la Segunda Guerra Mundial , pero fue asesinado poco antes del final de la guerra. Su trabajo no pudo publicarse ampliamente durante la guerra, y no fue hasta 1958 que su familia recopiló sus artículos y los publicó para el resto del mundo. Mientras tanto, se habían logrado avances en los Estados Unidos sobre la base de las publicaciones de antes de la guerra de Cauer y el material capturado durante la guerra.

El matemático y científico autodidacta inglés Oliver Heaviside (1850-1925) fue el primero en demostrar que la impedancia de una red RLC fue siempre una función racional de un operador de frecuencia, pero no proporcionó ningún método para realizar una red a partir de una función racional. Cauer encontró una condición necesaria para que una función racional sea realizable como una red pasiva. El sudafricano Otto Brune (1901-1982) acuñó más tarde el término función real positiva (PRF) para esta condición. Cauer postuló que PRF era una condición necesaria y suficiente pero no pudo probarlo, y lo sugirió como un proyecto de investigación a Brune, quien era su estudiante de posgrado en los Estados Unidos en ese momento. Brune publicó la prueba faltante en su tesis doctoral de 1931 .

La realización de Foster se limitó a las redes de LC y fue en una de dos formas; varios circuitos LC en serie en paralelo o varios circuitos LC en paralelo en serie. El método de Foster fue expandirse en fracciones parciales . Cauer demostró que el método de Foster podría extenderse a las redes RL y RC. Cauer también encontró otro método; expandiéndose como una fracción continua que da como resultado una red en escalera , nuevamente en dos formas posibles. En general, un PRF representará una red RLC; con los tres tipos de elementos presentes, la realización es más complicada. Tanto Cauer como Brune utilizaron transformadores ideales en sus realizaciones de redes RLC. Tener que incluir transformadores no es deseable en una implementación práctica de un circuito. ${\ Displaystyle Z (s)}$${\ Displaystyle Z (s)}$

Un método de realización que no requería transformadores fue proporcionado en 1949 por el matemático húngaro-estadounidense Raoul Bott (1923-2005) y el físico estadounidense Richard Duffin (1909-1996). El método de Bott y Duffin proporciona una expansión mediante la aplicación repetida del teorema de Richards , un resultado de 1947 debido al físico y matemático aplicado estadounidense Paul I. Richards (1923-1978). Las redes de Bott-Duffin resultantes tienen un uso práctico limitado (al menos para funcionales racionales de alto grado ) porque el número de componentes requeridos crece exponencialmente con el grado. Varias variaciones del método Bott-Duffin original reducen la cantidad de elementos en cada sección de seis a cinco, pero aún con números generales que crecen exponencialmente. Los trabajos que logran esto incluyen Pantell (1954), Reza (1954), Storer (1954) y Fialkow & Gest (1955). A partir de 2010, no ha habido más avances significativos en la síntesis de funciones racionales.

En 1939, el ingeniero eléctrico estadounidense Sidney Darlington demostró que cualquier PRF se puede realizar como una red de dos puertos que consta solo de elementos L y C y termina en su salida con una resistencia . Es decir, solo se requiere una resistencia en cualquier red, los componentes restantes no tienen pérdidas. El teorema fue descubierto independientemente por Cauer y Giovanni Cocci. El problema corolario, encontrar una síntesis de PRF utilizando elementos R y C con un solo inductor, es un problema sin resolver en la teoría de redes. Otro problema sin resolver es encontrar una prueba de la conjetura de Darlington (1955) de que cualquier puerto RC de 2 con un terminal común se puede realizar como una red en serie-paralelo. Una consideración importante en las redes prácticas es minimizar el número de componentes, especialmente los componentes bobinados: inductores y transformadores. A pesar de que se han realizado grandes esfuerzos en la minimización, nunca se ha descubierto una teoría general de minimización como se ha descubierto para el álgebra booleana de los circuitos digitales .

Cauer utilizó funciones racionales elípticas para producir aproximaciones a filtros ideales. Un caso especial de funciones racionales elípticas son los polinomios de Chebyshev debido a Pafnuty Chebyshev (1821–1894) y es una parte importante de la teoría de aproximación . Los polinomios de Chebyshev se utilizan ampliamente para diseñar filtros. En 1930, el físico británico Stephen Butterworth (1885-1958) diseñó el filtro Butterworth , también conocido como filtro de máxima densidad, utilizando polinomios de Butterworth . El trabajo de Butterworth era completamente independiente de Cauer, pero más tarde se descubrió que los polinomios de Butterworth eran un caso límite de los polinomios de Chebyshev. Incluso antes (1929) y de nuevo de forma independiente, el ingeniero y científico estadounidense Edward Lawry Norton (1898-1983) diseñó un filtro mecánico de máxima plana con una respuesta totalmente análoga al filtro eléctrico de Butterworth.

En la década de 2000, el interés en seguir desarrollando la teoría de síntesis de redes se vio reforzado cuando la teoría comenzó a aplicarse a grandes sistemas mecánicos. El problema no resuelto de la minimización es mucho más importante en el dominio mecánico que en el eléctrico debido al tamaño y costo de los componentes. En 2017, investigadores de la Universidad de Cambridge, limitándose a considerar funciones racionales bicuadráticas , determinaron que las realizaciones de Bott-Duffin de tales funciones para todas las redes en serie-paralelo y la mayoría de las redes arbitrarias tenían el número mínimo de reactancias (Hughes, 2017). Encontraron este resultado sorprendente, ya que mostraba que el método de Bott-Duffin no era tan poco mínimo como se pensaba anteriormente. Esta investigación se centró en parte en volver a visitar el Catálogo Ladenheim . Esta es una enumeración de todas las redes RLC distintas con no más de dos reactancias y tres resistencias. Edward Ladenheim llevó a cabo este trabajo en 1948 cuando era alumno de Foster. La relevancia del catálogo es que todas estas redes se realizan mediante funciones bicuadráticas.

Aplicaciones

La aplicación de síntesis de red más utilizada es el diseño de filtros de procesamiento de señales . Los diseños modernos de tales filtros son casi siempre alguna forma de filtro de síntesis de red .

Otra aplicación es el diseño de redes de adaptación de impedancia . La coincidencia de impedancia en una sola frecuencia requiere solo una red trivial, generalmente un componente. Sin embargo, la adaptación de impedancia en una banda ancha requiere una red más compleja, incluso en el caso de que la fuente y las resistencias de carga no varíen con la frecuencia. Hacer esto con elementos pasivos y sin el uso de transformadores da como resultado un diseño similar a un filtro. Además, si la carga no es una resistencia pura , solo es posible lograr una combinación perfecta en un número de frecuencias discretas; la coincidencia sobre la banda en su conjunto debe ser aproximada. El diseñador primero prescribe la banda de frecuencia sobre la que operará la red de adaptación y luego diseña un filtro de paso de banda para esa banda. La única diferencia esencial entre un filtro estándar y una red coincidente es que la fuente y las impedancias de carga no son iguales.

Existen diferencias entre los filtros y las redes coincidentes en las que los parámetros son importantes. A menos que la red tenga una función dual, al diseñador no le preocupa demasiado el comportamiento de la red de adaptación de impedancia fuera de la banda de paso . No importa si la banda de transición no es muy estrecha o si la banda de supresión tiene poca atenuación . De hecho, intentar mejorar el ancho de banda más allá de lo estrictamente necesario restará valor a la precisión de la coincidencia de impedancia. Con un número determinado de elementos en la red, reducir el ancho de banda del diseño mejora la coincidencia y viceversa. Las limitaciones de las redes de adaptación de impedancia fueron investigadas por primera vez por el ingeniero y científico estadounidense Hendrik Wade Bode en 1945, y el principio de que necesariamente deben ser similares a filtros fue establecido por el informático italoamericano Robert Fano en 1950. Un parámetro en la banda de paso que generalmente se establece para los filtros es la pérdida máxima de inserción . Para las redes de adaptación de impedancia, se puede obtener una mejor adaptación estableciendo también una pérdida mínima. Es decir, la ganancia nunca llega a la unidad en ningún momento.

Las redes de retardo de tiempo pueden diseñarse mediante síntesis de red con estructuras de tipo filtro. No es posible diseñar una red de retardo que tenga un retardo constante en todas las frecuencias de una banda. Debe utilizarse una aproximación a este comportamiento limitado a un ancho de banda prescrito. El retardo prescrito se producirá como máximo en un número finito de frecuencias puntuales. El filtro de Bessel tiene un retardo de tiempo máximo plano.

La aplicación de la síntesis de redes no se limita al dominio eléctrico. Se puede aplicar a sistemas en cualquier dominio energético que se pueda representar como una red de componentes lineales. En particular, la síntesis de redes ha encontrado aplicaciones en redes mecánicas en el dominio mecánico. La consideración de la síntesis de redes mecánicas llevó a Malcolm C. Smith a proponer un nuevo elemento mecánico nuevo, el inerte , que es análogo al condensador eléctrico. Los componentes mecánicos con la propiedad de inercia han encontrado una aplicación en las suspensiones de los coches de carreras de Fórmula Uno .

Técnicas de síntesis

La síntesis comienza eligiendo una técnica de aproximación que ofrece una función racional que se aproxima a la función requerida de la red. Si la función se va a implementar con componentes pasivos, la función también debe cumplir las condiciones de una función real positiva (PRF). La técnica de síntesis utilizada depende en parte de la forma de red que se desee y, en parte, de cuántos tipos de elementos se necesitan en la red. Una red de un solo elemento es un caso trivial, que se reduce a una impedancia de un solo elemento. Se puede sintetizar una red de dos elementos (LC, RC o RL) con síntesis de Foster o Cauer. Una red de tres elementos (una red RLC) requiere un tratamiento más avanzado, como la síntesis de Brune o Bott-Duffin.

Qué elementos y cuántos tipos de elementos se requieren se pueden determinar examinando los polos y ceros (denominados colectivamente frecuencias críticas) de la función. El requisito sobre las frecuencias críticas se da para cada tipo de red en las secciones relevantes a continuación.

Fomentar la síntesis

La síntesis de Foster, en su forma original, solo se puede aplicar a redes LC. Un PRF representa una red LC de dos elementos si las frecuencias críticas de todos existen en el eje del plano complejo de (el plano s ) y alternarán entre polos y ceros. Debe haber una sola frecuencia crítica en el origen y en el infinito, todo el resto debe estar en pares conjugados . debe ser la razón de un polinomio par e impar y sus grados deben diferir exactamente en uno. Estos requisitos son una consecuencia del teorema de reactancia de Foster . ${\ Displaystyle Z (s)}$${\ Displaystyle i \ omega}$${\ Displaystyle s = \ sigma + i \ omega}$${\ Displaystyle Z (s)}$

Fomento yo formo

La primera forma de Foster (forma de Foster I) se sintetiza como un conjunto de circuitos LC paralelos en serie. Por ejemplo, ${\ Displaystyle Z (s)}$

${\ Displaystyle Z (s) = {\ frac {9s ^ {5} + 30s ^ {3} + 24s} {18s ^ {4} + 36s ^ {2} +8}}}$

se puede expandir en fracciones parciales como,

${\ Displaystyle Z (s) = {s \ over 2} + {\ frac {(25 + 11 {\ sqrt {5}}) s} {5 (9 + 3 {\ sqrt {5}}) s ^ { 2} +20}} + {\ frac {(25-11 {\ sqrt {5}}) s} {5 (9-3 {\ sqrt {5}}) s ^ {2} +20}} \ simeq {s \ over 2} + {\ frac {2.48s} {3.93s ^ {2} +1}} + {\ frac {0.020s} {0.573s ^ {2} +1}}}$

El primer término representa un inductor en serie, consecuencia de tener un polo en el infinito. Si hubiera tenido un polo en el origen, eso representaría un condensador en serie. Los dos términos restantes representan cada uno pares conjugados de polos en el eje. Cada uno de estos términos se puede sintetizar como un circuito LC paralelo en comparación con la expresión de impedancia para dicho circuito, ${\ Displaystyle Z (s)}$${\ Displaystyle i \ omega}$

${\ Displaystyle Z_ {LC} (s) = {\ frac {Ls} {LCs ^ {2} +1}}}$

El circuito resultante se muestra en la figura.

Formulario Foster II

La forma Foster II se sintetiza como un conjunto de circuitos LC en serie en paralelo. El mismo método de expansión en fracciones parciales se utiliza como para la forma de Foster I, pero aplicado a la entrada , en lugar de . Usando el mismo ejemplo de PRF que antes, ${\ Displaystyle Z (s)}$${\ Displaystyle Y (s)}$${\ Displaystyle Z (s)}$

${\ Displaystyle Y (s) = {1 \ over Z (s)} = {\ frac {18s ^ {4} + 36s ^ {2} +8} {9s ^ {5} + 30s ^ {3} + 24s }}}$

Ampliado en fracciones parciales,

${\ Displaystyle Y (s) \ simeq {1 \ over 3s} + {\ frac {2.498s} {0.6346s ^ {2} +1}} + {\ frac {1.415s} {0.4719s ^ {2} + 1}}}$

El primer término representa un inductor de derivación, una consecuencia de tener un polo en el origen (o, de manera equivalente, tiene un cero en el origen). Si hubiera tenido un polo en el infinito, eso representaría un condensador de derivación. Los dos términos restantes representan cada uno pares conjugados de polos en el eje. Cada uno de estos términos se puede sintetizar como un circuito LC en serie en comparación con la expresión de admitancia para dicho circuito, ${\ Displaystyle Y (s)}$${\ Displaystyle Z (s)}$${\ Displaystyle i \ omega}$

${\ Displaystyle Y_ {LC} (s) = {\ frac {Cs} {LCs ^ {2} +1}}}$

El circuito resultante se muestra en la figura.

Extensión a redes RC o RL

Fomentar la síntesis se puede extender a cualquier tipo de red de dos elementos. Por ejemplo, los términos de fracción parcial de una red RC en forma Foster I representarán cada uno un elemento R y C en paralelo. En este caso, las fracciones parciales serán de la forma,

${\ Displaystyle Z_ {RC} (s) = {\ frac {R} {RCs + 1}}}$

Otras formas y tipos de elementos siguen por analogía. Al igual que con una red LC, la PRF se puede probar para ver si es una red RC o RL examinando las frecuencias críticas. Las frecuencias críticas deben estar todas en el eje real negativo y alternar entre polos y ceros, y debe haber un número igual de cada una. Si la frecuencia crítica más cercana o en el origen es un polo, entonces la PRF es una red RC si representa a , o es una red RL si representa a . Viceversa, si la frecuencia crítica más cercana o en el origen es cero. Estas extensiones de la teoría también se aplican a las formas de Cauer que se describen a continuación. ${\ Displaystyle Z (s)}$${\ Displaystyle Y (s)}$

Inmitancia

En la síntesis de Foster anterior, la expansión de la función es el mismo procedimiento tanto en la forma Foster I como en la forma Foster II. Es conveniente, especialmente en los trabajos teóricos, tratarlos juntos como una inmitancia en lugar de por separado como una impedancia o una admitancia. Solo es necesario declarar si la función representa una impedancia o una admitancia en el punto en que es necesario realizar un circuito real. La immitancia también se puede utilizar de la misma manera con los formularios Cauer I y Cauer II y otros procedimientos.

Síntesis de Cauer

La síntesis de Cauer es una síntesis alternativa a la síntesis de Foster y las condiciones que debe cumplir un PRF son exactamente las mismas que las de la síntesis de Foster. Al igual que la síntesis de Foster, hay dos formas de síntesis de Cauer, y ambas pueden extenderse a las redes RC y RL.

Cauer yo formo

La forma Cauer I se expande en una fracción continua . Usando el mismo ejemplo que se usó para el formulario Foster I, ${\ Displaystyle Z (s)}$

${\ Displaystyle Z (s) = 0.5s + {\ cfrac {1} {1.5s + {\ cfrac {1} {2s + {\ cfrac {1} {1.5s + {\ cfrac {1} {0.5s}}}}} }}}}$

o, en notación más compacta,

${\ Displaystyle Z (s) = [0,5 s; 1,5 s, 2 s, 1,5 s, 0,5 s].}$

Los términos de esta expansión se pueden implementar directamente como los valores de los componentes de una red en escalera, como se muestra en la figura. El PRF dado puede tener un denominador que tenga un grado mayor que el numerador. En tales casos, el inverso multiplicativo de la función se expande en su lugar. Es decir, si la función representa , se expande en su lugar y viceversa. ${\ Displaystyle Z (s)}$${\ Displaystyle Y (s)}$

Formulario Cauer II

La forma Cauer II se expande exactamente de la misma manera que la forma Cauer I, excepto que el término de grado más bajo se extrae primero en la expansión de fracción continua en lugar del término de grado más alto como se hace en la forma Cauer I. El ejemplo utilizado para la forma Cauer I y las formas Foster cuando se expande como una forma Cauer II da como resultado que algunos elementos tengan valores negativos. Este PRF particular, por lo tanto, no se puede realizar en componentes pasivos como una forma Cauer II sin la inclusión de transformadores o inductancias mutuas . ${\ Displaystyle Z (s)}$

La razón fundamental por la que el ejemplo no se puede realizar como una forma Cauer II es que esta forma tiene una topología de paso alto . El primer elemento extraído en la fracción continua es un condensador en serie. Esto hace que sea imposible realizar el cero de en el origen. La forma Cauer I, por otro lado, tiene una topología de paso bajo y, naturalmente, tiene un cero en el origen. Sin embargo, la función de esta función se puede realizar como una forma Cauer II ya que el primer elemento extraído es un inductor de derivación. Esto da un polo en el origen para , pero eso se traduce en el cero necesario en el origen para . La expansión continua de la fracción es, ${\ Displaystyle Z (s)}$${\ Displaystyle Z (s)}$${\ Displaystyle Y (s)}$${\ Displaystyle Y (s)}$${\ Displaystyle Z (s)}$

${\ Displaystyle Y (s) \ simeq \ left [{1 \ over 3s}; {1 \ over 1.083s}, {1 \ over 0.2175s}, {1 \ over 1.735s} \ right]}$

y la red realizada se muestra en la figura.

Síntesis de Brune

La síntesis de Brune puede sintetizar cualquier PRF arbitrario, por lo que, en general, dará como resultado una red de tres elementos (es decir, RLC). Los polos y ceros pueden encontrarse en cualquier lugar de la mitad izquierda del plano complejo. El método de Brune comienza con algunos pasos preliminares para eliminar las frecuencias críticas en el eje imaginario como en el método de Foster. Estos pasos preliminares a veces se denominan preámbulo de Foster . Luego hay un ciclo de pasos para producir una cascada de secciones de Brune.

Eliminación de frecuencias críticas en el eje imaginario

Los polos y ceros en el eje representan elementos L y C que se pueden extraer del PRF. Específicamente, ${\ Displaystyle j \ omega}$

• un polo en el origen representa un condensador en serie
• un polo en el infinito representa una inductancia en serie
• un cero en el origen representa un inductor de derivación
• un cero en el infinito representa un condensador de derivación
• un par de polos en representa un circuito LC paralelo de frecuencia resonante en serie${\ Displaystyle s = \ pm i \ omega _ {c}}$${\ Displaystyle \ omega _ {c}}$
• un par de ceros en representa un circuito LC en serie de frecuencia resonante en derivación${\ Displaystyle s = \ pm i \ omega _ {c}}$${\ Displaystyle \ omega _ {c}}$

Después de estas extracciones, el resto PRF no tiene frecuencias críticas en el eje imaginario y es conocido como un mínimo reactancia , mínimo susceptancia función . La síntesis de Brune propiamente dicha comienza con tal función.

Esquema amplio del método

La esencia del método de Brune es crear un par conjugado de ceros en el eje extrayendo las partes real e imaginaria de la función a esa frecuencia, y luego extraer el par de ceros como un circuito resonante. Esta es la primera sección de Brune de la red sintetizada. El resto resultante es otra función de reactancia mínima que es dos grados más baja. Luego, el ciclo se repite, cada ciclo produce una sección de Brune más de la red final hasta que solo queda un valor constante (una resistencia). La síntesis de Brune es canónica, es decir, el número de elementos en la red sintetizada final es igual al número de coeficientes arbitrarios en la función de impedancia. Por tanto, el número de elementos del circuito sintetizado no puede reducirse más. ${\ Displaystyle i \ omega}$

Eliminación de resistencia mínima

Una función de reactancia mínima tendrá una parte real mínima , a alguna frecuencia . Esta resistencia se puede extraer de la función dejando un resto de otro PRF llamado función mínima positiva real , o simplemente función mínima . Por ejemplo, la función de reactancia mínima ${\ Displaystyle R _ {\ text {min}}}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ text {min}}}$

${\ Displaystyle Z (s) = {\ frac {3s ^ {2} + 3s + 6} {2s ^ {2} + s + 2}}}$

tiene y . La función mínima`` es por tanto, ${\ Displaystyle \ omega _ {\ text {min}} = {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle R _ {\ text {min}} = 1}$${\ Displaystyle Z_ {1} (s)}$

${\ Displaystyle Z_ {1} (s) = Z (s) -R _ {\ text {min}} = {\ frac {s ^ {2} + 2s + 4} {2s ^ {2} + s + 2} }}$

Eliminación de una inductancia o capacitancia negativa

Dado que no tiene parte real, podemos escribir, ${\ Displaystyle Z_ {1} (i \ omega _ {0})}$

${\ Displaystyle Z_ {1} (i \ omega _ {0}) = iX \.}$

Para la función de ejemplo,

${\ Displaystyle Z_ {1} (yo \ omega _ {0}) = - yo {\ sqrt {2}} = iX \.}$

En este caso, es negativo, y lo interpretamos como la reactancia de un inductor de valor negativo, . Por lo tanto, ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle L_ {1}}$

${\ Displaystyle iX = i \ omega _ {0} L_ {1}}$ y

${\ Displaystyle L_ {1} = - 1}$

después de sustituir los valores de y . Esta inductancia se extrae luego de , dejando otro PRF , ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$${\ Displaystyle iX}$${\ Displaystyle Z_ {1} (s)}$${\ Displaystyle Z_ {2} (s)}$

${\ Displaystyle Z_ {2} (s) = Z_ {1} (s) -sL_ {1} = {\ frac {2s ^ {3} + 2s ^ {2} + 4s + 4} {2s ^ {2} + s + 2}} \.}$

La razón para extraer un valor negativo es porque es un PRF, que no sería si fuera positivo. Esto garantiza que también será PRF (porque la suma de dos PRF también es PRF). Para los casos en los que es un valor positivo, se usa la función de admitancia en su lugar y se extrae una capacitancia negativa. Cómo se implementan estos valores negativos se explica en una sección posterior. ${\ Displaystyle -sL_ {1}}$${\ Displaystyle L_ {1}}$${\ Displaystyle Z_ {2} (s)}$${\ Displaystyle X}$

Eliminación de un par conjugado de ceros

Tanto la parte real como la imaginaria de se han eliminado en pasos anteriores. Esto deja un par de ceros en a como se muestra por factorizar la función de ejemplo; ${\ Displaystyle Z (i \ omega _ {0})}$${\ Displaystyle Z_ {2} (s)}$${\ Displaystyle \ pm i \ omega _ {0}}$

${\ Displaystyle Z_ {2} (s) = {\ frac {2s ^ {3} + 2s ^ {2} + 4s + 4} {2s ^ {2} + s + 2}} = {\ frac {(s ^ {2} +2) (2s + 2)} {2s ^ {2} + s + 2}} \.}$

Dado que tal par de ceros representa un circuito resonante en derivación, lo extraemos como un par de polos de la función de admitancia,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} Y_ {2} (s) & = {1 \ over Z_ {2} (s)} = {\ frac {2s ^ {2} + s + 2} {(s ^ { 2} +2) (2s + 2)}} \\ & = {1 \ over {2s + 2}} + {\ frac {s / 2} {s ^ {2} +2}} \\ & = Y_ {3} (s) + {\ frac {s / 2} {s ^ {2} +2}} \\\ end {alineado}}}$

El término más a la derecha es el circuito resonante extraído con y . La red sintetizada hasta ahora se muestra en la figura. ${\ Displaystyle L_ {2} = 2}$${\ Displaystyle C_ {2} = 1/4}$

Extracción de un poste en el infinito

${\ Displaystyle Z_ {3} (s)}$debe tener un polo en el infinito, ya que uno fue creado allí por la extracción de una inductancia negativa. Este polo ahora se puede extraer como una inductancia positiva.

${\ Displaystyle Z_ {3} (s) = {1 \ over Y_ {3} (s)} = 2s + 2 = Z_ {4} (s) + 2s.}$

Así como se muestra en la figura. ${\ Displaystyle L_ {3} = 2}$

Reemplazo de la inductancia negativa con un transformador.

La inductancia negativa no se puede implementar directamente con componentes pasivos. Sin embargo, la "T" de los inductores se puede convertir en inductores acoplados mutuamente que absorben la inductancia negativa. Con un coeficiente de acoplamiento de unidad (estrechamente acoplado), la inductancia mutua,, en el caso del ejemplo es 2.0. ${\ Displaystyle M}$

Enjuague y repita

En general, será otra función de reactancia mínima y luego se repite el ciclo de Brune para extraer otra sección de Brune.En el caso del ejemplo, el PRF original era de grado 2, por lo que después de reducirlo en dos grados, solo queda un término constante que, trivialmente, sintetiza como una resistencia. ${\ Displaystyle Z_ {4} (s)}$

Positivo X

En el paso dos del ciclo se mencionó que se debe extraer un valor de elemento negativo para garantizar un remanente de PRF. Si es positivo, el elemento extraído debe ser un condensador de derivación en lugar de un inductor en serie si el elemento va a ser negativo. Se extrae de la admitancia en lugar de la impedancia . La topología del circuito a la que se llegó en el paso cuatro del ciclo es un Π (pi) de condensadores más un inductor en lugar de una T de inductores más un condensador. Se puede demostrar que este Π de condensadores más inductor es un circuito equivalente a la T de inductores más condensador. Por lo tanto, está permitido extraer una inductancia positiva y luego proceder como si fuera un PRF, aunque no lo sea. Aún así, se obtendrá el resultado correcto y la función restante será PRF, por lo que se puede introducir en el siguiente ciclo. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y_ {1} (s)}$${\ Displaystyle Z_ {1} (s)}$${\ Displaystyle Z_ {2} (s)}$

Síntesis de Bott-Duffin

La síntesis de Bott-Duffin comienza como con la síntesis de Brune eliminando todos los polos y ceros en el eje. Luego se invoca el teorema de Richards , que establece que, ${\ Displaystyle i \ omega}$

${\ Displaystyle R (s) = {\ frac {kZ (s) -sZ (k)} {kZ (k) -sZ (s)}}}$

si es un PRF, entonces es un PRF para todos los valores positivos reales de . ${\ Displaystyle Z (s)}$${\ displaystyle R (s)}$${\ Displaystyle k}$

Hacer el sujeto de la expresión da como resultado, ${\ Displaystyle Z (s)}$

${\ Displaystyle Z (s) = \ left ({\ frac {R (s)} {Z (k)}} + {\ frac {k} {sZ (k)}} \ right) ^ {- 1} + \ left ({\ frac {1} {Z (k) R (s)}} + {\ frac {s} {kZ (k)}} \ right) ^ {- 1}}$

En las figuras se muestra un ejemplo de un ciclo de síntesis de Bott-Duffin. Los cuatro términos de esta expresión son, respectivamente, un PRF ( en el diagrama), una inductancia, en paralelo con él, otro PRF ( en el diagrama) y una capacitancia , en paralelo con él. A continuación, se extrae un par de frecuencias críticas en el eje de cada uno de los dos nuevos PRF (no se dan detalles aquí), cada uno realizado como un circuito resonante. Los dos PRF residuales ( y en el diagrama) son cada uno dos grados más bajos que . El mismo procedimiento se aplica repetidamente a los nuevos PRF generados hasta que solo queda un elemento. Dado que el número de PRF generados se duplica con cada ciclo, el número de elementos sintetizados crecerá exponencialmente. Aunque el método Bott-Duffin evita el uso de transformadores y se puede aplicar a cualquier expresión que pueda realizarse como una red pasiva, tiene un uso práctico limitado debido al alto número de componentes requerido. ${\ Displaystyle Z_ {2} (s)}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle Z_ {1} (s)}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle i \ omega}$${\ Displaystyle Y_ {3} (s)}$${\ Displaystyle Z_ {4} (s)}$${\ Displaystyle Z (s)}$

Síntesis de Bayard

La síntesis de Bayard es un método de síntesis de espacio de estados basado en el procedimiento de factorización de Gauss . Este método devuelve una síntesis utilizando el número mínimo de resistencias y no contiene giradores . Sin embargo, el método no es canónico y, en general, devolverá un número no mínimo de elementos de reactancia.

Síntesis de Darlington

La síntesis de Darlington comienza desde una perspectiva diferente a las técnicas discutidas hasta ahora, las cuales parten de una función racional prescrita y la realizan como una impedancia de un puerto . La síntesis de Darlington comienza con una función racional prescrita que es la función de transferencia deseada de una red de dos puertos . Darlington demostró que cualquier PRF se puede realizar como una red de dos puertos utilizando solo elementos L y C con una sola resistencia terminando el puerto de salida. Darlington y los métodos relacionados se denominan método de pérdida por inserción . El método se puede extender a redes multipuerto con cada puerto terminado con una sola resistencia.

El método Darlington, en general, requerirá transformadores o inductores acoplados. Sin embargo, los tipos de filtros más comunes se pueden construir mediante el método Darlington sin estas características indeseables.

Realizaciones activas y digitales

Si se elimina el requisito de utilizar solo elementos pasivos, la realización se puede simplificar enormemente. Los amplificadores se pueden utilizar para amortiguar las partes de la red entre sí para que no interactúen. Cada celda tamponada puede realizar directamente un par de polos de la función racional. Entonces no hay necesidad de ningún tipo de expansión iterativa de la función. El primer ejemplo de este tipo de síntesis se debe a Stephen Butterworth en 1930. El filtro Butterworth que produjo se convirtió en un clásico del diseño de filtros, pero se implementó con mayor frecuencia con componentes puramente pasivos en lugar de activos. Los diseños de este tipo de aplicación más general incluyen la topología Sallen-Key debida a RP Sallen y EL Key en 1955 en el Laboratorio Lincoln del MIT , y el filtro bicuadrático . Al igual que el enfoque de Darlington, Butterworth y Sallen-Key comienzan con una función de transferencia prescrita en lugar de una impedancia. Una gran ventaja práctica de la implementación activa es que puede evitar por completo el uso de componentes bobinados (transformadores e inductores). Estos son indeseables por razones de fabricación. Otra característica de los diseños activos es que no se limitan a PRF.

Las realizaciones digitales, como los circuitos activos, no se limitan a los PRF y pueden implementar cualquier función racional simplemente programándola. Sin embargo, la función puede no ser estable. Es decir, puede provocar una oscilación . Se garantiza que los PRF son estables, pero es posible que otras funciones no lo sean. La estabilidad de una función racional se puede determinar examinando los polos y ceros de la función y aplicando el criterio de estabilidad de Nyquist .

Referencias

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