Ecuaciones de Nahm - Nahm equations

En la geometría diferencial y teoría del calibrador , las ecuaciones Nahm son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias introducido por Werner Nahm en el contexto de la Nahm transformar - una alternativa a Ward, 's twistor construcción de monopolos . Las ecuaciones de Nahm son formalmente análogas a las ecuaciones algebraicas en la construcción ADHM de instantones , donde las matrices de orden finito son reemplazadas por operadores diferenciales.

Nigel Hitchin y Simon Donaldson llevaron a cabo un estudio profundo de las ecuaciones de Nahm . Conceptualmente, las ecuaciones surgen en el proceso de reducción hiperkähler de dimensión infinita . Entre sus muchas aplicaciones podemos mencionar: la construcción de monopolos de Hitchin, donde este enfoque es crítico para establecer la no singularidad de las soluciones monopolo; La descripción de Donaldson del espacio modular de los monopolos; y la existencia de estructura hyperkähler en órbitas coadjoint de complejos grupos de Lie semisimples , probadas por Peter Kronheimer , Olivier Biquard, y AG Kovalev.

Ecuaciones

Sean tres funciones meromórficas con valores matriciales de una variable compleja . Las ecuaciones de Nahm son un sistema de ecuaciones diferenciales matriciales ${\ Displaystyle T_ {1} (z), T_ {2} (z), T_ {3} (z)}$${\ Displaystyle z}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {dT_ {1}} {dz}} & = [T_ {2}, T_ {3}] \\ [3pt] {\ frac {dT_ {2}} { dz}} & = [T_ {3}, T_ {1}] \\ [3pt] {\ frac {dT_ {3}} {dz}} & = [T_ {1}, T_ {2}], \ end {alineado}}}$

junto con ciertas propiedades de analiticidad, condiciones de realidad y condiciones de frontera. Las tres ecuaciones se pueden escribir de forma concisa utilizando el símbolo Levi-Civita , en la forma

${\ Displaystyle {\ frac {dT_ {i}} {dz}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {j, k} \ epsilon _ {ijk} [T_ {j}, T_ {k }] = \ sum _ {j, k} \ epsilon _ {ijk} T_ {j} T_ {k}.}$

De manera más general, en lugar de considerar por matrices, se pueden considerar las ecuaciones de Nahm con valores en un álgebra de Lie . ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle g}$

Condiciones adicionales

La variable está restringida al intervalo abierto y se imponen las siguientes condiciones: ${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle (0,2)}$

1. ${\ Displaystyle T_ {i} ^ {*} = - T_ {i};}$
2. ${\ Displaystyle T_ {i} (2-z) = T_ {i} (z) ^ {T}; \,}$
3. ${\ Displaystyle T_ {i} N}$ se puede continuar con una función meromórfica de en una vecindad del intervalo cerrado , analítica fuera de y , y con polos simples en y ; y ${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle [0,2]}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle z = 0}$${\ Displaystyle z = 2}$
4. En los polos, los residuos de forman una representación irreducible del grupo SU (2) . ${\ Displaystyle T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}}$

Descripción de Nahm-Hitchin de los monopolos

Existe una equivalencia natural entre

1. los monopolos de carga para el grupo , transformaciones modulo gauge y ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle SU (2)}$
2. las soluciones de las ecuaciones de Nahm que satisfacen las condiciones adicionales anteriores, módulo la conjugación simultánea de por el grupo . ${\ Displaystyle T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}}$${\ Displaystyle O (k, R)}$

Representación laxa

Las ecuaciones de Nahm se pueden escribir en la forma Lax de la siguiente manera. Colocar

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & A_ {0} = T_ {1} + iT_ {2}, \ quad A_ {1} = - 2iT_ {3}, \ quad A_ {2} = T_ {1} -iT_ {2} \\ [3pt] & A (\ zeta) = A_ {0} + \ zeta A_ {1} + \ zeta ^ {2} A_ {2}, \ quad B (\ zeta) = {\ frac {1 } {2}} {\ frac {dA} {d \ zeta}} = {\ frac {1} {2}} A_ {1} + \ zeta A_ {2}, \ end {alineado}}}$

entonces el sistema de ecuaciones de Nahm es equivalente a la ecuación Lax

${\ Displaystyle {\ frac {dA} {dz}} = [A, B].}$

Como corolario inmediato, obtenemos que el espectro de la matriz no depende de . Por tanto, la ecuación característica ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle z}$

${\ Displaystyle \ det (\ lambda I + A (\ zeta, z)) = 0,}$

que determina la llamada curva espectral en el espacio twistor es invariante bajo el flujo de entrada . ${\ Displaystyle TP ^ {1}}$${\ Displaystyle z}$

Ver también

• Ecuación de Bogomolny
• Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs

Referencias

• Nahm, W. (1981). "Todos los multimonopolos auto-duales para grupos de calibre arbitrarios" . CERN, preimpresión TH. 3172 .
• Hitchin, Nigel (1983). "Sobre la construcción de monopolos". Comunicaciones en Física Matemática . 89 (2): 145-190. Código Bibliográfico : 1983CMaPh..89..145H . doi : 10.1007 / BF01211826 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Donaldson, Simon (1984). "Ecuaciones de Nahm y clasificación de monopolos". Comunicaciones en Física Matemática . 96 (3): 387–407. Código Bibliográfico : 1984CMaPh..96..387D . doi : 10.1007 / BF01214583 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Atiyah, Michael ; Hitchin, Nueva Jersey (1988). La geometría y dinámica de los monopolos magnéticos . Conferencias MB Porter. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN   0-691-08480-7 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Kovalev, AG (1996). "Ecuaciones de Nahm y órbitas adjuntas complejas". Cuarto de galón. J. Math. Oxford . 47 (185): 41–58. doi : 10.1093 / qmath / 47.1.41 .
• Biquard, Olivier (1996). "Sur les équations de Nahm y la estructura de Poisson des algèbres de Lie semi-simples complejos" [Ecuaciones de Nahm y estructura de Poisson de álgebras de Lie complejas semisimple]. Matemáticas. Ana. 304 (2): 253–276. doi : 10.1007 / BF01446293 .

enlaces externos

• Proyecto de islas : una wiki sobre las ecuaciones de Nahm y temas relacionados