Ecuación interferométrica N -slit - N-slit interferometric equation

La mecánica cuántica se aplicó por primera vez a la óptica , y en particular a la interferencia , por Paul Dirac . Richard Feynman , en sus Lectures on Physics , utiliza la notación de Dirac para describir experimentos mentales sobre la interferencia de doble rendija de electrones . El enfoque de Feynman se extendió a los interferómetros N -lit para iluminación de fotón único o iluminación láser de ancho de línea estrecho , es decir, iluminación por fotones indistinguibles , de Frank Duarte . El interferómetro N -slit se aplicó por primera vez en la generación y medición de patrones de interferencia complejos .

En este artículo se describe la ecuación interferométrica N -slit generalizada , derivada mediante la notación de Dirac. Aunque originalmente se derivó para reproducir y predecir interferogramas N -slit, esta ecuación también tiene aplicaciones en otras áreas de la óptica.

Amplitudes de probabilidad y ecuación interferométrica N -slit

Esquemas de vista superior del interferómetro N -lit que indican la posición de los planos s , j y x . La matriz N -slit, o rejilla, se coloca en j . La distancia intrainterferométrica puede tener una longitud de varios cientos de metros. TBE es un expansor de haz telescópico, MPBE es un expansor de haz de prismas múltiples .

En este enfoque, la amplitud de probabilidad para la propagación de un fotón desde una fuente sa un plano de interferencia x , a través de una matriz de rendijas j , se da usando la notación bra-ket de Dirac como

${\ Displaystyle \ langle x | s \ rangle = \ sum _ {j = 1} ^ {\ mathbb {N}} \ langle x | j \ rangle \ langle j | s \ rangle}$

Esta ecuación representa la amplitud de probabilidad de una propagación de fotones de s a x a través de una matriz de j rendijas. Usar una representación de función de onda para amplitudes de probabilidad y definir las amplitudes de probabilidad como

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ langle j | s \ rangle & = \ Psi \ left (r_ {j, s} \ right) e ^ {- i \ theta _ {j}} \\\ langle x | j \ rangle & = \ Psi \ left (r_ {x, j} \ right) e ^ {- i \ phi _ {j}} \ end {alineado}}}$

donde θ _j y Φ _j son los ángulos de fase de incidencia y difracción, respectivamente. Por lo tanto, la amplitud de probabilidad general se puede reescribir como

${\ Displaystyle \ langle x | s \ rangle = \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ Psi \ left (r_ {j} \ right) e ^ {- i \ Omega _ {j}}}$

dónde

${\ Displaystyle \ Psi \ left (r_ {j} \ right) = \ Psi \ left (r_ {x, j} \ right) \ Psi \ left (r_ {j, s} \ right)}$

y

${\ Displaystyle \ Omega _ {j} = \ theta _ {j} + \ phi _ {j}}$

después de algo de álgebra, la probabilidad correspondiente se convierte en

${\ Displaystyle {\ big |} \ langle x | s \ rangle {\ big |} ^ {2} = \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ Psi \ left (r_ {j} \ right) ^ {2} +2 \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ Psi \ left (r_ {j} \ right) \ left (\ sum _ {m = j + 1} ^ {N} \ Psi \ left (r_ {m} \ derecha) \ cos \ izquierda (\ Omega _ {m} - \ Omega _ {j} \ derecha) \ derecha)}$

donde N es el número total de rendijas en la matriz, o rejilla de transmisión, y el término entre paréntesis representa la fase que está directamente relacionada con las diferencias de ruta exactas derivadas de la geometría de la matriz N -slit ( j ), el intrainterferométrico distancia, y el plano interferométrico x . En su versión más simple, el término de fase se puede relacionar con la geometría usando

${\ Displaystyle \ cos (\ Omega _ {m} - \ Omega _ {j}) = \ cos k | L_ {m} -L_ {m-1} |}$

donde k es el número de onda y L _m y L _{m - 1} representan las diferencias exactas de la trayectoria. Aquí la ecuación interferométrica de Dirac - Duarte (DD) es una distribución de probabilidad que está relacionada con la distribución de intensidad medida experimentalmente. Los cálculos se realizan numéricamente.

La ecuación interferométrica DD se aplica a la propagación de un solo fotón, o la propagación de un conjunto de fotones indistinguibles, y permite la predicción precisa de patrones interferométricos medidos de N -lit de forma continua desde el campo cercano al lejano. Se ha demostrado que los interferogramas generados con esta ecuación se comparan bien con los interferogramas medidos para valores pares ( N = 2, 4, 6 ... ) e impares ( N = 3, 5, 7 ... ) de N de 2 a 1600 .

Aplicaciones

A nivel práctico, la ecuación interferométrica N -slit se introdujo para aplicaciones de imágenes y se aplica de forma rutinaria para predecir interferogramas láser N -slit, tanto en el campo cercano como en el lejano. Por lo tanto, se ha convertido en una herramienta valiosa en la alineación de interferómetros láser N -lit grandes, y muy grandes, utilizados en el estudio de la turbulencia del aire claro y la propagación de caracteres interferométricos para comunicaciones láser seguras en el espacio . Otras aplicaciones analíticas se describen a continuación.

Interferograma para N = 3 rendijas con patrón de difracción superpuesto en el ala exterior derecha.

Difracción y refracción generalizadas

La ecuación interferométrica N -slit se ha aplicado para describir fenómenos clásicos como interferencia , difracción , refracción ( ley de Snell ) y reflexión , en un enfoque racional y unificado, utilizando principios de la mecánica cuántica. En particular, este enfoque interferométrico se ha utilizado para derivar ecuaciones de refracción generalizadas para la refracción tanto positiva como negativa , proporcionando así un vínculo claro entre la teoría de la difracción y la refracción generalizada.

Del término de fase, de la ecuación interferométrica, la expresión

${\ Displaystyle d_ {m} \ left (\ pm n_ {1} \ sin {\ theta _ {m}} \ pm n_ {2} \ sin {\ phi _ {m}} \ right) \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} \ right) = M \ pi}$

puede obtenerse, donde M = 0, 2, 4 ... .

Para n ₁ = n ₂ , esta ecuación se puede escribir como

${\ Displaystyle d_ {m} \ left (\ pm \ sin {\ theta _ {m}} \ pm \ sin {\ phi _ {m}} \ right) = m \ lambda}$

que es la ecuación de red de difracción generalizada . Aquí, θ _m es el ángulo de incidencia, φ _m es el ángulo de difracción, λ es la longitud de onda y m = 0, 1, 2 ... es el orden de difracción.

Bajo ciertas condiciones, d _m ≪ λ , que pueden obtenerse fácilmente experimentalmente, el término de fase se convierte en

${\ Displaystyle \ left (\ pm n_ {1} \ sin {\ theta _ {m}} \ pm n_ {2} \ sin {\ phi _ {m}} \ right) = 0}$

que es la ecuación de refracción generalizada, donde θ _m es el ángulo de incidencia y φ _m ahora se convierte en el ángulo de refracción.

Ecuación del ancho de línea de la cavidad

Además, la ecuación interferométrica N -slit se ha aplicado para derivar la ecuación del ancho de línea de la cavidad aplicable a los osciladores dispersivos, como los osciladores láser de rejilla de prismas múltiples :

${\ Displaystyle \ Delta \ lambda \ approx \ Delta \ theta \ left ({\ frac {\ partial \ Theta} {\ partial \ lambda}} \ right) ^ {- 1}}$

En esta ecuación, Δ θ es la divergencia del haz y la dispersión angular intracavitaria general es la cantidad entre paréntesis.

Imágenes por transformada de Fourier

Los investigadores que trabajan en imágenes fantasma por transformada de Fourier consideran la ecuación interferométrica N -slit como una vía para investigar la naturaleza cuántica de la imagen fantasma. Además, el enfoque interferométrico N -slit es uno de varios enfoques aplicados para describir fenómenos ópticos básicos de una manera cohesiva y unificada.

Nota: dadas las diversas terminologías en uso, para la interferometría N -slit, se debe dejar explícito que la ecuación interferométrica N -slit se aplica a la interferencia de dos rendijas, interferencia de tres rendijas, interferencia de cuatro rendijas, etc.

Entrelazamiento cuántico

Los principios de Dirac y la metodología probabilística utilizados para derivar la ecuación interferométrica N -slit también se han utilizado para derivar la amplitud de probabilidad del entrelazamiento cuántico de polarización.

${\ Displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ bigl (} \ left | x \ right \ rangle _ {1} \ left | y \ right \ rangle _ {2} - \ left | y \ right \ rangle _ {1} \ left | x \ right \ rangle _ {2} {\ bigr)}}$

y las correspondientes amplitudes de probabilidad que representan la propagación de múltiples pares de cuantos.

Comparación con métodos clásicos

Travis S. Taylor et al . Han realizado una comparación del enfoque de Dirac con los métodos clásicos, en la realización de cálculos interferométricos . Estos autores concluyeron que la ecuación interferométrica, derivada del formalismo de Dirac, era ventajosa en el campo muy cercano.

Algunas diferencias entre la ecuación interferométrica DD y los formalismos clásicos se pueden resumir de la siguiente manera:

• El enfoque clásico de Fresnel se usa para aplicaciones de campo cercano y el enfoque clásico de Fraunhofer se usa para aplicaciones de campo lejano. Esa división no es necesaria cuando se utiliza el método interferométrico DD ya que este formalismo se aplica tanto a los casos de campo cercano como al de campo lejano.
• El enfoque de Fraunhofer funciona para la iluminación de ondas planas. El enfoque DD funciona tanto para iluminación de onda plana como para patrones de iluminación altamente difractivos.
• La ecuación interferométrica DD es de carácter estadístico. Este no es el caso de las formulaciones clásicas.

Hasta ahora no se ha publicado ninguna comparación con enfoques clásicos más generales basados ​​en el principio de Huygens-Fresnel o la fórmula de difracción de Kirchhoff .

Ver también

• Expansor de haz
• Notación de Dirac
• Difracción de Fraunhofer (matemáticas)
• Comunicaciones ópticas en espacio libre
• Ecuación de rejilla
• Comunicación láser en el espacio
• Ancho de línea láser
• Teoría de la dispersión de prismas múltiples
• Interferómetro N -slit

Referencias