Fórmula de difracción de Kirchhoff - Kirchhoff's diffraction formula

La fórmula de difracción de Kirchhoff (también fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff ) se puede usar para modelar la propagación de la luz en una amplia gama de configuraciones, ya sea analíticamente o usando modelado numérico . Da una expresión para la perturbación de la onda cuando una onda esférica monocromática es la onda entrante de una situación en consideración. Esta fórmula se obtiene aplicando el teorema de la integral de Kirchhoff , que utiliza la segunda identidad de Green para derivar la solución de la ecuación de onda escalar homogénea, a una onda esférica con algunas aproximaciones.

El principio de Huygens-Fresnel se deriva de la fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff.

Derivación de la fórmula de difracción de Kirchhoff

El teorema de la integral de Kirchhoff , a veces denominado teorema de la integral de Fresnel-Kirchhoff, utiliza la segunda identidad de Green para derivar la solución de la ecuación de onda escalar homogénea en una posición espacial arbitraria P en términos de la solución de la ecuación de onda y su derivada de primer orden. en todos los puntos sobre una superficie cerrada arbitraria como el límite de algo de volumen incluyendo P . ${\ Displaystyle S}$

La solución proporcionada por el teorema de la integral para una fuente monocromática es

${\ Displaystyle U (P) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {S} \ izquierda [U {\ frac {\ parcial} {\ parcial n}} \ izquierda ({\ frac { e ^ {iks}} {s}} \ derecha) - {\ frac {e ^ {iks}} {s}} {\ frac {\ parcial U} {\ parcial n}} \ derecha] dS,}$

donde es la parte espacial de la solución de la ecuación de onda escalar homogénea (es decir, como la solución de la ecuación de onda escalar homogénea), k es el número de onda y s es la distancia de P a un elemento de superficie integral (infinitesimalmente pequeño), y denota la diferenciación a lo largo de la unidad normal de elemento de superficie integral vector (es decir, una derivada normal ), es decir, . Tenga en cuenta que la normal de la superficie o la dirección de es hacia el interior del volumen encerrado en esta integral ; si se utiliza la normal que apunta hacia el exterior más habitual , la integral tendrá el signo opuesto. Y también tenga en cuenta que, en el teorema de la integral que se muestra aquí, y P son cantidades vectoriales mientras que otros términos son cantidades escalares . ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle V (\ mathbf {r}, t) = U (\ mathbf {r}) e ^ {- i \ omega t}}$${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial n}}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial f} {\ parcial n}} = \ nabla f \ cdot n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$

Para los casos siguientes, se realizan las siguientes suposiciones básicas.

• La distancia entre una fuente puntual de ondas y un área integral, la distancia entre el área integral y un punto de observación P y la dimensión de la abertura S son mucho mayores que la longitud de onda de la onda .${\ Displaystyle \ lambda}$

• ${\ Displaystyle U}$y son discontinuas en los límites de la apertura, llamadas condiciones de frontera de Kirchhoff . Esto puede estar relacionado con otra suposición de que las ondas en una apertura (o un área abierta) son las mismas que las ondas que estarían presentes si no hubiera obstáculos para las ondas.${\ Displaystyle {\ frac {\ U parcial} {\ parcial n}} = \ nabla U \ cdot n}$

Punto de partida

Disposición geométrica utilizada para derivar la fórmula de difracción de Kirchhoff. El área designada por A ₁ es la apertura (apertura), las áreas marcadas por A ₂ son áreas opacas y A ₃ es el hemisferio como parte de la superficie integral cerrada (que consta de las áreas A ₁ , A ₂ y A ₃ ) para el teorema de la integral de Kirchhoff .

Considere una fuente puntual monocromática en P ₀ , que ilumina una apertura en una pantalla. La intensidad de la onda emitida por una fuente puntual cae como el cuadrado inverso de la distancia recorrida, por lo que la amplitud cae como la inversa de la distancia. La amplitud compleja de la perturbación a una distancia está dada por ${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle U (r) = {\ frac {ae ^ {ikr}} {r}},}$

donde representa la magnitud de la perturbación en la fuente puntual. ${\ Displaystyle a}$

La perturbación en una posición espacial P se puede encontrar aplicando el teorema integral de Kirchhoff a la superficie cerrada formada por la intersección de una esfera de radio R con la pantalla. La integración se realiza sobre las áreas A ₁ , A ₂ y A ₃ , dando

${\ Displaystyle U (P) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [\ int _ {A_ {1}} + \ int _ {A_ {2}} + \ int _ {A_ {3 }} \ derecha] \ izquierda (U {\ frac {\ parcial} {\ parcial n}} \ izquierda ({\ frac {e ^ {iks}} {s}} \ derecha) - {\ frac {e ^ { iks}} {s}} {\ frac {\ parcial U} {\ parcial n}} \ derecha) dS.}$

Para resolver la ecuación, se supone que los valores de y en el área de apertura A ₁ son los mismos que cuando la pantalla no está presente, por lo que en la posición Q , ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle {\ frac {\ U parcial} {\ N parcial}}}$

${\ Displaystyle U_ {A_ {1}} = {\ frac {ae ^ {ikr}} {r}},}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial U_ {A_ {1}}} {\ parcial n}} = \ nabla U_ {A_ {1}} \ cdot n = {\ frac {ae ^ {ikr}} {r} } \ left [ik - {\ frac {1} {r}} \ right] \ cos (n, r),}$

donde es la longitud de la línea recta P ₀ Q , y es el ángulo entre una versión recta extendida de P ₀ Q y la normal (hacia adentro) a la apertura. Tenga en cuenta que también lo es un número real positivo en A ₁ . ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle (n, r)}$${\ Displaystyle 0 <(n, r) <{\ frac {\ pi} {2}}}$${\ Displaystyle \ cos (n, r)}$

En Q , también tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial n}} \ left ({\ frac {e ^ {iks}} {s}} \ right) = {\ frac {e ^ {iks}} {s} } \ left [ik - {\ frac {1} {s}} \ right] \ cos (n, s),}$

donde es la longitud de la línea recta PQ , y es el ángulo entre una versión recta extendida de PQ y la normal (hacia adentro) a la apertura. Tenga en cuenta que también lo es un número real negativo en A ₁ . ${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle (n, s)}$${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} <(n, s) <{\ frac {3 \ pi} {2}}}$${\ Displaystyle \ cos (n, s)}$

Se hacen dos suposiciones más siguientes.

• En las derivadas normales anteriores, se supone que los términos y en ambos corchetes son insignificantes en comparación con el número de onda , las medias y son mucho mayores que la longitud de onda .${\ Displaystyle {\ frac {1} {r}}}$${\ Displaystyle {\ frac {1} {s}}}$ ${\ Displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}$${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle s}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$
• Kirchhoff asume que los valores de y sobre las áreas opacas marcadas por A ₂ son cero. Esto implica que y son discontinuos en el borde de la abertura A ₁ . Este no es el caso, y esta es una de las aproximaciones utilizadas para derivar la fórmula de difracción de Kirchhoff. Estos supuestos a veces se denominan condiciones de frontera de Kirchhoff .${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle {\ frac {\ U parcial} {\ N parcial}}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle {\ frac {\ U parcial} {\ N parcial}}}$

Se espera que la contribución del hemisferio A ₃ a la integral sea cero y puede justificarse por una de las siguientes razones.

1. Suponga que la fuente comienza a irradiar en un momento particular, y luego haga que R sea lo suficientemente grande, de modo que cuando se considere la perturbación en P , no haya llegado allí ninguna contribución de A ₃ . Tal onda ya no es monocromática , ya que una onda monocromática debe existir en todo momento, pero esa suposición no es necesaria, y se ha derivado un argumento más formal evitando su uso.
2. Una onda emanado de la abertura A ₁ se espera que evolucionar hacia una onda esférica medida que se propaga (la onda de agua ejemplos de esto se pueden encontrar en muchas fotos que muestran una onda de agua que pasa a través de una abertura relativamente estrecha.). Entonces, si R es lo suficientemente grande, entonces la integral en A _{3 se} convierte en donde y son la distancia desde el centro de la apertura A ₁ a un elemento de superficie integral y el ángulo sólido diferencial en el sistema de coordenadas esféricas, respectivamente.${\ Displaystyle U (P) \ sim - {\ frac {ia} {2 \ lambda}} \ int _ {A_ {3}} {\ frac {e ^ {2ik (r ')}} {r' ^ { 2}}} [\ cos (n, r ') - \ cos (n, r')] d {A_ {3}} = - {\ frac {ia} {2 \ lambda}} \ int _ {A_ { 3}} e ^ {2ik (r ')} [\ cos (n, r') - \ cos (n, r ')] d {\ Omega} = 0}$${\ Displaystyle r '}$${\ Displaystyle d {\ Omega}}$

Como resultado, finalmente, la integral anterior, que representa la amplitud compleja en P , se convierte en

${\ Displaystyle U (P) = - {\ frac {ia} {2 \ lambda}} \ int _ {A_ {1}} {\ frac {e ^ {ik (r + s)}} {rs}} [ \ cos (n, r) - \ cos (n, s)] d {A_ {1}}.}$

Esta es la fórmula de difracción de Kirchhoff o Fresnel-Kirchhoff .

Equivalencia al principio de Huygens-Fresnel

Disposición geométrica utilizada para expresar la fórmula de Kirchhoff en una forma similar a la de Huygens-Fresnel

El principio de Huygens-Fresnel se puede derivar mediante la integración sobre una superficie cerrada diferente (el límite de algún volumen que tiene un punto de observación P ). El área A ₁ anterior se reemplaza por una parte de un frente de onda (emitido desde un P ₀ ) en r ₀ , que es el más cercano a la apertura, y una porción de un cono con un vértice en P ₀ , que se etiqueta A ₄ en el diagrama de la derecha. Si el frente de onda está posicionado de tal manera que el frente de onda está muy cerca de los bordes de la apertura, entonces la contribución de A ₄ puede despreciarse (asumida aquí). En esta nueva A ₁ , el interior (hacia el volumen encerrado por la integral de superficie cerrada, por lo que hacia el lado derecho en el diagrama) normales a A ₁ es a lo largo de la dirección radial desde P ₀ , es decir, la dirección perpendicular al frente de onda. Como resultado, el ángulo y el ángulo están relacionados con el ángulo (el ángulo definido en el principio de Huygens-Fresnel ) como ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle (n, r) = 0}$${\ Displaystyle (n, s)}$${\ Displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle (n, s) = \ pi - \ chi.}$

La amplitud compleja del frente de onda en r ₀ está dada por

${\ Displaystyle U (r_ {0}) = {\ frac {ae ^ {ikr_ {0}}} {r_ {0}}}.}$

Entonces, la fórmula de difracción se convierte en

${\ Displaystyle U (P) = - {\ frac {i} {2 \ lambda}} {\ frac {ae ^ {ikr_ {0}}} {r_ {0}}} \ int _ {S} {\ frac {e ^ {iks}} {s}} (1+ \ cos \ chi) dS}$,

donde la integral se realiza sobre la parte del frente de onda en r ₀ que es la más cercana a la apertura en el diagrama. Esta integral conduce al principio de Huygens-Fresnel (con el factor de oblicuidad ). ${\ Displaystyle {\ frac {1+ \ cos \ chi} {2}}}$

En la derivación de esta integral, en lugar de la geometría representada en el diagrama de la derecha, se pueden usar esferas dobles centradas en P ₀ con el radio de la esfera interior r ₀ y un radio de la esfera exterior infinito. En esta geometría, el punto de observación P está ubicado en el volumen encerrado por las dos esferas, por lo que la fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff se aplica en las dos esferas. (La superficie normal en estas superficies integrales es, digamos de nuevo, hacia el volumen encerrado en la fórmula de difracción anterior.) En la aplicación de la fórmula, la integral en la esfera externa es cero por una razón similar de la integral en el hemisferio como cero arriba .

Fuente extendida

Suponga que la apertura está iluminada por una onda fuente extendida. La amplitud compleja en la apertura viene dada por U ₀ ( r ).

Se asume, como antes, que los valores de y en el área A ₁ son los mismos que cuando la pantalla no está presente, que los valores de y en A ₂ son cero (condiciones de frontera de Kirchhoff) y que la contribución de A ₃ a la integral también son cero. También se supone que 1 / s es insignificante en comparación con k . Entonces tenemos ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle {\ frac {\ U parcial} {\ N parcial}}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle {\ frac {\ U parcial} {\ N parcial}}}$

${\ Displaystyle U (P) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {A_ {1}} {\ frac {e ^ {iks}} {s}} \ left [ikU_ {0} (r) \ cos (n, s) - {\ frac {\ parcial U_ {0} (r)} {\ parcial n}} \ derecha] \, dS.}$

Esta es la forma más general de la fórmula de difracción de Kirchhoff. Para resolver esta ecuación para una fuente extendida, se requeriría una integración adicional para sumar las contribuciones hechas por los puntos individuales en la fuente. Sin embargo, si asumimos que la luz de la fuente en cada punto de la apertura tiene una dirección bien definida, que es el caso si la distancia entre la fuente y la apertura es significativamente mayor que la longitud de onda, entonces podemos escribir

${\ Displaystyle U_ {0} (r) \ approx a (r) e ^ {ikr},}$

donde a ( r ) es la magnitud de la perturbación en el punto r de la apertura. Entonces tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {U_ {0} (r)}} {\ parcial n}} = ika (r) \ cos (n, r)}$

y por lo tanto

${\ Displaystyle U (P) = - {\ frac {i} {2 \ lambda}} \ int _ {S} a (r) {\ frac {e ^ {iks}} {s}} [\ cos \ chi + \ cos (n, r)] \, dS.}$

Ecuaciones de difracción de Fraunhofer y Fresnel

A pesar de las diversas aproximaciones que se hicieron para llegar a la fórmula, es adecuado describir la mayoría de los problemas de la óptica instrumental. Esto se debe principalmente a que la longitud de onda de la luz es mucho más pequeña que las dimensiones de los obstáculos encontrados. Las soluciones analíticas no son posibles para la mayoría de las configuraciones, pero la ecuación de difracción de Fresnel y la ecuación de difracción de Fraunhofer , que son aproximaciones de la fórmula de Kirchhoff para el campo cercano y el campo lejano , se pueden aplicar a una amplia gama de sistemas ópticos.

Uno de los supuestos importantes realizados en llegar a la fórmula de difracción de Kirchhoff es que r y s son significativamente mayores que λ. Se puede hacer otra aproximación, que simplifica significativamente la ecuación aún más: esto es que las distancias P ₀ Q y QP son mucho mayores que las dimensiones de la apertura. Esto permite hacer dos aproximaciones más:

• cos ( n, r ) - cos ( n, s ) se reemplaza con 2cos β, donde β es el ángulo entre P ₀ P y la normal a la apertura. El factor 1 / rs se reemplaza por 1 / r ' s ' , donde r ' y s ' son las distancias desde P ₀ y P al origen, que se encuentra en la apertura. La amplitud compleja se convierte entonces en:
  $${\ Displaystyle U (P) = - {\ frac {ia \ cos \ beta} {\ lambda r's '}} \ int _ {S} e ^ {ik (r + s)} \, ds.}$$

  
• Suponga que la apertura se encuentra en el plano xy , y que las coordenadas de P ₀ , P y Q (un punto general en la apertura) son ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ), ( x , y , z ) y ( x ' , y ' , 0) respectivamente. Entonces tenemos:

  ${\ Displaystyle ~ r ^ {2} = (x_ {0} -x ') ^ {2} + (y_ {0} -y') ^ {2} + z_ {0} ^ {2},}$

  ${\ Displaystyle ~ s ^ {2} = (x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2} + z ^ {2},}$

  ${\ Displaystyle ~ r '^ {2} = x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} + z_ {0} ^ {2},}$

  ${\ Displaystyle ~ s '^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}$

Podemos expresar r y s de la siguiente manera:

${\ Displaystyle r = r '\ left [1 - {\ frac {2 (x_ {0} x' + y_ {0} y ')} {r' ^ {2}}} + {\ frac {x '^ {2} + y '^ {2}} {r' ^ {2}}} \ right] ^ {1/2},}$

${\ Displaystyle s = s '\ left [1 - {\ frac {2 (xx' + yy ')} {s' ^ {2}}} + {\ frac {x '^ {2} + y' ^ { 2}} {s '^ {2}}} \ right] ^ {1/2}.}$

Estos se pueden ampliar como series de potencia:

${\ Displaystyle r = r '\ left [1 - {\ frac {1} {2r' ^ {2}}} [2 (x_ {0} x '+ y_ {0} y') + (x '^ { 2} + y '^ {2})] + {\ frac {1} {2r' ^ {2}}} [2 (x_ {0} x '+ y_ {0} y') + (x '^ { 2} + y '^ {2})] ^ {2} + \ cdots \ right],}$

${\ Displaystyle s = s '\ left [1 - {\ frac {1} {2s' ^ {2}}} [2 (xx '+ yy') + (x '^ {2} + y' ^ {2 })] + {\ frac {1} {2s '^ {2}}} [2 (xx' + yy ') + (x' ^ {2} + y '^ {2})] ^ {2} + \ cdots \ right].}$

La amplitud compleja en P ahora se puede expresar como

${\ Displaystyle U (P) = - {\ frac {i \ cos \ beta} {\ lambda}} {\ frac {ae ^ {ik (r '+ s')}} {r's '}} \ int _ { S} e ^ {ikf (x ', y')} \, dx'dy ',}$

donde f ( x ' y ' ) incluye todos los términos en las expresiones anteriores para s y r aparte del primer término en cada expresión y se puede escribir en la forma

${\ Displaystyle f (x ', y') = c_ {1} x '+ c_ {2} y' + c_ {3} x '^ {2} + c_ {4} y' ^ {2} + c_ { 5} x'y '\ cdots,}$

donde las c _i son constantes.

Difracción de Fraunhofer

Si todos los términos en f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse excepto los términos en x ' e y ' , tenemos la ecuación de difracción de Fraunhofer . Si los cosenos de dirección de P ₀ Q y PQ son

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} l_ {0} & = - x_ {0} / r ', \\ m_ {0} & = - y_ {0} / r', \\ l & = x / s ', \\ m & = y / s '. \ end {alineado}}}$

La ecuación de difracción de Fraunhofer es entonces

${\ Displaystyle U (P) = C \ int _ {S} e ^ {ik [(l_ {0} -l) x '+ (m_ {0} -m) y']} \, dx'dy ', }$

donde C es una constante. Esto también se puede escribir en el formulario

${\ Displaystyle U (P) = C \ int _ {S} e ^ {i (\ mathbf {k} _ {0} - \ mathbf {k}) \ cdot \ mathbf {r} '} \, dr', }$

donde k ₀ y k son los vectores de onda de las ondas que viajan desde P ₀ a la apertura y desde la apertura a P respectivamente, y r ' es un punto en la apertura.

Si la fuente puntual se reemplaza por una fuente extendida cuya amplitud compleja en la apertura está dada por U ₀ ( r ' ), entonces la ecuación de difracción de Fraunhofer es:

${\ Displaystyle U (P) \ propto \ int _ {S} a_ {0} (\ mathbf {r} ') e ^ {i (\ mathbf {k} _ {0} - \ mathbf {k}) \ cdot \ mathbf {r} '} \, dr',}$

donde a ₀ ( r ' ) es, como antes, la magnitud de la perturbación en la apertura.

Además de las aproximaciones hechas al derivar la ecuación de Kirchhoff, se supone que

• r y s son significativamente mayores que el tamaño de la abertura,
• Los términos de segundo y de orden superior en la expresión f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse.

Difracción de Fresnel

Cuando los términos cuadráticos no pueden despreciarse, pero sí todos los términos de orden superior, la ecuación se convierte en la ecuación de difracción de Fresnel . Se utilizan las aproximaciones para la ecuación de Kirchhoff y los supuestos adicionales son:

• r y s son significativamente mayores que el tamaño de la abertura,
• Los términos de tercer y superior orden en la expresión f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse.

Referencias

Otras lecturas

• Baker, BB; Copson, ET (1939, 1950). La teoría matemática del principio de Huygens . Oxford.
• Woan, Graham (2000). El Manual de fórmulas de física de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521575072.
• J. Goodman (2005). Introducción a la óptica de Fourier (3ª ed.). Editores de Roberts & Co. ISBN 978-0-9747077-2-3.
• Griffiths, David J. (2012). Introducción a la electrodinámica . Pearson Education, Limited. ISBN 978-0-321-85656-2.
• Band, Yehuda B. (2006). Luz y Materia: Electromagnetismo, Óptica, Espectroscopia y Láseres . John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-89931-0.
• Kenyon, Ian (2008). The Light Fantastic: Una introducción moderna a la óptica clásica y cuántica . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-856646-5.
• Lerner, Rita G .; George L., Trigg (1991). Enciclopedia de física . VCH. ISBN 978-0-89573-752-6.
• Sybil P., Parker (1993). Enciclopedia de Física MacGraw-Hill . McGraw-Hill Ryerson, Limited. ISBN 978-0-07-051400-3.