Método de momentos (electromagnetismo) - Method of moments (electromagnetics)

Simulación de refracción negativa de una metasuperficie a 15 GHz para diferentes ángulos de incidencia. Las simulaciones se realizan mediante el método de momentos.

El método de momentos ( MoM ), también conocido como método de momento y método de residuos ponderados , es un método numérico en electromagnetismo computacional . Al ser generalmente un método en el dominio de la frecuencia , implica la proyección de una ecuación integral en un sistema de ecuaciones lineales mediante la aplicación de condiciones de contorno adecuadas . Esto se hace usando mallas discretas como en los métodos de diferencia finita y elementos finitos , a menudo para la superficie. Las soluciones se representan con la combinación lineal de funciones base predefinidas ; generalmente, los coeficientes de estas funciones base son las incógnitas buscadas. Las funciones de Green y el método de Galerkin juegan un papel central en el método de los momentos.

Para muchas aplicaciones, el método de los momentos es idéntico al método del elemento de contorno . Es uno de los métodos más comunes en la ingeniería de antenas y microondas .

Historia

El desarrollo del método de elementos de contorno y otros métodos similares para diferentes aplicaciones de ingeniería está asociado con el advenimiento de la computación digital en la década de 1960 . Antes de esto, se aplicaron métodos variacionales a problemas de ingeniería en frecuencias de microondas en la época de la Segunda Guerra Mundial . Mientras que Julian Schwinger y Nathan Marcuvitz han recopilado respectivamente estos trabajos en notas de clase y libros de texto, Victor H. Rumsey ha formulado estos métodos en el "concepto de reacción" en 1954. Más tarde se demostró que el concepto era equivalente al método de Galerkin . A fines de la década de 1950, Yuen Tze Lo presentó una versión temprana del método de los momentos en un curso sobre métodos matemáticos en teoría electromagnética en la Universidad de Illinois .

Un esquema y patrón de radiación de una antena en espiral logarítmica , diseñado con un software de modelado basado en NEC

En la década de 1960, K. Mei y J. Van Bladel publicaron los primeros trabajos de investigación sobre el método. y JH Richmond. En la misma década, Roger F. Harrington formalizó en gran medida la teoría sistemática del método de los momentos en electromagnetismo . Mientras que el término "el método de los momentos" fue acuñado anteriormente por Leonid Kantorovich y Gleb P. Akilov para aplicaciones numéricas análogas, Harrington ha adaptado el término para la formulación electromagnética. Harrington publicó el libro de texto seminal Field Computation by Moment Methods sobre el método del momento en 1968. El desarrollo del método y sus indicaciones en la ingeniería de radares y antenas atrajeron interés; Posteriormente, la investigación de MoM fue apoyada por el gobierno de los Estados Unidos . El método se popularizó aún más con la introducción de códigos de modelado de antenas generalizados, como el Código Electromagnético Numérico , que el gobierno de los Estados Unidos lanzó al dominio público a fines de la década de 1980. En la década de 1990, la introducción de métodos rápidos multipolares y multinivel y multipolares rápidos permitió soluciones MoM eficientes a problemas con millones de incógnitas.

Siendo una de las técnicas de simulación más comunes en la ingeniería de RF y microondas , el método de momentos forma la base de muchos software de diseño comercial como FEKO . También están disponibles muchos códigos no comerciales y de dominio público de diferentes sofisticaciones. Además de su uso en ingeniería eléctrica, el método de momentos se ha aplicado a problemas de dispersión de luz y plasmónicos .

Fondo

Conceptos básicos

Una ecuación integral no homogénea se puede expresar como:

${\ Displaystyle L (f) = g}$

donde L denota un operador lineal , g denota la función de forzamiento conocida y f denota la función desconocida. f se puede aproximar mediante un número finito de funciones base ( ): ${\ Displaystyle f_ {n}}$

${\ Displaystyle f \ approx \ sum _ {n} ^ {N} a_ {n} f_ {n}}$

Por linealidad , la sustitución de esta expresión en la ecuación produce:

${\ Displaystyle \ sum _ {n} ^ {N} a_ {n} L (f_ {n}) \ approx g}$

También podemos definir un residual para esta expresión, que denota la diferencia entre la solución real y aproximada:

${\ Displaystyle R = \ sum _ {n} ^ {N} a_ {n} L (f_ {n}) - g}$

El objetivo del método de momentos es minimizar este residual, lo que se puede hacer mediante el uso de funciones de ponderación o prueba adecuadas, de ahí el nombre método de residuos ponderados. Después de la determinación de un producto interno adecuado para el problema, la expresión se convierte en:

${\ Displaystyle \ sum _ {n} ^ {N} a_ {n} \ langle w_ {n}, L (f_ {n}) \ rangle \ approx \ langle w_ {n}, g \ rangle}$

Por tanto, la expresión se puede representar en forma matricial:

${\ Displaystyle [\ ell _ {mn}] [\ alpha _ {m}] = [g_ {n}]}$

La matriz resultante a menudo se denomina matriz de impedancia. Los coeficientes de las funciones base se pueden obtener invirtiendo la matriz . Para matrices grandes con una gran cantidad de incógnitas, se pueden usar métodos iterativos como el método de gradiente conjugado para la aceleración . Las distribuciones de campo reales se pueden obtener a partir de los coeficientes y las integrales asociadas. Las interacciones entre cada función base en MoM están aseguradas por la función del sistema de Green .

Funciones básicas y de prueba

Interpolación de función con funciones básicas de la azotea

Se pueden elegir diferentes funciones de base para modelar el comportamiento esperado de la función desconocida en el dominio; estas funciones pueden ser subseccionales o globales. La elección de la función delta de Dirac como función base se conoce como coincidencia de puntos o colocación . Esto corresponde a hacer cumplir las condiciones de contorno en puntos discretos y se usa a menudo para obtener soluciones aproximadas cuando la operación del producto interno es engorrosa de realizar. Otras funciones básicas subseccionales incluyen funciones de pulso , triangular por partes, sinusoidal por partes y de techo. Los parches triangulares, introducidos por S. Rao, D. Wilton y A. Glisson en 1982, se conocen como funciones de base RWG y se utilizan ampliamente en MoM. También se introdujeron funciones de base característica para acelerar el cálculo y reducir la ecuación matricial. ${\ Displaystyle N}$

Las funciones de prueba y base a menudo se eligen para que sean las mismas; esto se conoce como el método Galerkin . Dependiendo de la aplicación y la estructura estudiada, las funciones de prueba y base deben elegirse adecuadamente para asegurar la convergencia y precisión, así como para prevenir posibles singularidades algebraicas de alto orden .

Ecuaciones integrales

Dependiendo de la aplicación y las variables buscadas, en MoM se utilizan diferentes ecuaciones integrales o integro-diferenciales . La radiación y la dispersión por estructuras de alambre delgadas, como muchos tipos de antenas, pueden modelarse mediante ecuaciones especializadas. Para problemas de superficie, las formulaciones de ecuaciones integrales comunes incluyen ecuación integral de campo eléctrico (EFIE), ecuación integral de campo magnético (MFIE) y ecuación integral de potencial mixto (MPIE).

Ecuaciones de alambre delgado

Como muchas estructuras de antena pueden aproximarse a cables, las ecuaciones de cables delgados son de interés en aplicaciones MoM. Dos ecuaciones de alambre delgado comúnmente utilizadas son las ecuaciones integro-diferenciales de Pocklington y Hallén. La ecuación de Pocklington precede a las técnicas computacionales, habiendo sido introducida en 1897 por Henry Cabourn Pocklington . Para un cable lineal que está centrado en el origen y alineado con el eje z, la ecuación se puede escribir como:

${\ Displaystyle \ int _ {- l / 2} ^ {l / 2} I_ {z} (z ') \ left [\ left ({\ frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} + \ beta ^ {2} \ right) G (z, z ') \ right] \, dz' = - j \ omega \ varepsilon E_ {z} ^ {\ text {inc}} (p = a)}$

donde y denotan la longitud y el grosor totales, respectivamente. es la función de Green para el espacio libre. La ecuación se puede generalizar a diferentes esquemas de excitación, incluidos los adornos magnéticos . ${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle G (z, z ')}$

La ecuación integral de Hallén, publicada por E. Hallén en 1938, se puede dar como:

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} + \ beta ^ {2} \ right) \ int _ {- l / 2} ^ {l / 2} I_ {z} (z ') G (z, z') \, dz '= - j \ omega \ varepsilon E_ {z} ^ {\ text {inc}} (p = a)}$

Esta ecuación, a pesar de comportarse mejor que la ecuación de Pocklington, generalmente se restringe a las excitaciones de voltaje delta-gap en el punto de alimentación de la antena , que se puede representar como un campo eléctrico impreso.

Ecuación integral de campo eléctrico (EFIE)

La forma general de la ecuación integral de campo eléctrico (EFIE) se puede escribir como:

${\ displaystyle {\ hat {n}} \ times {\ overrightarrow {E}} ^ {\ text {inc}} ({\ overrightarrow {r}}) = {\ hat {n}} \ times \ int _ { S} \ left [jk \ eta {\ overrightarrow {J}} ({\ overrightarrow {r}} ') G ({\ overrightarrow {r}}, {\ overrightarrow {r}}') + {\ frac {\ eta} {jk}} \ left \ {\ nabla _ {s} '\ cdot {\ overrightarrow {J}} ({\ overrightarrow {r}}') \ right \} \ nabla 'G ({\ overrightarrow {r }}, {\ overrightarrow {r}} ') \ right] \, dS'}$

¿Dónde está el incidente o campo eléctrico impreso? es la función de Green para la ecuación de Helmholtz y representa la impedancia de onda . Las condiciones de contorno se cumplen en una superficie PEC definida . EFIE es una ecuación integral de Fredholm del primer tipo. ${\ Displaystyle E _ {\ text {inc}}}$${\ Displaystyle G (r, r ')}$${\ Displaystyle \ eta}$

Ecuación integral del campo magnético (MFIE)

Otra ecuación integral de uso común en MoM es la ecuación integral de campo magnético (MFIE), que se puede escribir como:

${\ Displaystyle - {\ frac {1} {2}} J (r) + {\ hat {n}} \ times \ oint _ {S} J (r ') \ times \ nabla' G (r, r ' ) \, dS '= {\ hat {n}} \ times H _ {\ text {inc}} (r)}$

El MFIE a menudo se formula como una ecuación integral de Fredholm del segundo tipo y, en general, está bien planteado . Sin embargo, la formulación requiere el uso de superficies cerradas, lo que limita sus aplicaciones.

Otras formulaciones

Existen muchas formulaciones integrales de superficie y volumen diferentes para MoM. En muchos casos, los EFIE se convierten en ecuaciones integrales de potencial mixto (MFIE) mediante el uso de la condición de calibre de Lorenz ; esto tiene como objetivo reducir los órdenes de singularidades mediante el uso de vectores magnéticos y potenciales eléctricos escalares . Para evitar el problema de resonancia interna en los cálculos de dispersión dieléctrica, también se utilizan la ecuación integral de campo combinado (CFIE) y las formulaciones de Poggio-Miller-Chang-Harrington-Wu-Tsai (PMCHWT). Otro enfoque, la ecuación integral volumétrica, requiere la discretización de los elementos de volumen y, a menudo, es computacionalmente costoso.

MoM también se puede integrar con la teoría de la óptica física y el método de elementos finitos .

Funciones de Green

Un esquema de microcinta . El análisis MoM de tales estructuras en capas requiere la derivación de las funciones de Green apropiadas.

El análisis de onda completo de estructuras estratificadas planarmente, como microbandas o antenas de parche , requiere la derivación de las funciones de Green de dominio espacial que son peculiares de estas geometrías. Sin embargo, esto implica la transformada inversa de Hankel de la función espectral de Green, que se define en la ruta de integración de Sommerfeld. Esta integral no puede evaluarse analíticamente, y su evaluación numérica a menudo es computacionalmente costosa debido a los núcleos oscilatorios y la naturaleza de convergencia lenta de la integral. Después de la extracción de componentes cuasiestáticos y de polos superficiales , estas integrales pueden aproximarse como exponenciales complejas de forma cerrada mediante el método de Prony o el método de lápiz de función generalizado ; así, las funciones espaciales de Green pueden derivarse mediante el uso de identidades apropiadas como la identidad de Sommerfeld. Este método se conoce en la literatura electromagnética computacional como método de imagen compleja discreta (DCIM), ya que la función de Green se aproxima de manera efectiva con un número discreto de dipolos de imagen que se encuentran dentro de una distancia compleja . Las funciones de Green asociadas se denominan funciones de Green de forma cerrada. El método también se ha ampliado para estructuras de capas cilíndricas.

El método de ajuste de función racional, así como sus combinaciones con DCIM, también se pueden utilizar para aproximar las funciones de Green de forma cerrada. Alternativamente, la función de Green de forma cerrada se puede aproximar a través del método de descenso más pronunciado . Para las estructuras periódicas , como las matrices en fase , la suma de Ewald se utiliza a menudo para acelerar el cálculo de la función de Green periódica.

Ver también

• Método del elemento de contorno
• Análisis de modo característico
• Aproximación de dipolos discretos
• Método rápido multipolar
• Método de elementos finitos
• Método multipolar rápido multinivel

Notas

Referencias

Bibliografía

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