Método de lápiz de función generalizado - Generalized pencil-of-function method

El método de lápiz de función generalizado ( GPOF ), también conocido como método de lápiz de matriz , es una técnica de procesamiento de señales para estimar una señal o extraer información con exponenciales complejos . Al ser similar a Prony y los métodos originales de lápiz de función, generalmente se prefiere a los de su robustez y eficiencia computacional.

El método fue desarrollado originalmente por Yingbo Hua y Tapan Sarkar para estimar el comportamiento de los sistemas electromagnéticos por su respuesta transitoria, basándose en el trabajo anterior de Sarkar sobre el método original del lápiz de función. El método tiene una plétora de aplicaciones en ingeniería eléctrica , particularmente relacionadas con problemas en electromagnetismo computacional , ingeniería de microondas y teoría de antenas .

Método

Base matemática

Una señal electromagnética transitoria se puede representar como:

${\ Displaystyle y (t) = x (t) + norte (t) \ approx \ sum _ {i = 1} ^ {M} R_ {i} e ^ {s_ {i} t} + n (t); 0 \ leq t \ leq T,}$

dónde

${\ Displaystyle y (t)}$ es la señal observada en el dominio del tiempo,

${\ Displaystyle n (t)}$es el ruido de la señal ,

${\ Displaystyle x (t)}$ es la señal real,

${\ Displaystyle R_ {i}}$son los residuos ( ),${\ Displaystyle R_ {i}}$

${\ Displaystyle s_ {i}}$son los polos del sistema, definidos como ,${\ Displaystyle s_ {i} = - \ alpha _ {i} + j \ omega _ {i}}$

${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$son los factores de amortiguamiento y

${\ Displaystyle \ omega _ {i}}$son las frecuencias angulares .

La misma secuencia, muestreada por un período de , se puede escribir de la siguiente manera: ${\ Displaystyle T_ {s}}$

${\ Displaystyle y [kT_ {s}] = x [kT_ {s}] + n [kT_ {s}] \ approx \ sum _ {i = 1} ^ {M} R_ {i} z_ {i} ^ { k} + n [kT_ {s}]; k = 0, ..., N-1; i = 1,2, ..., M}$,

donde por las identidades de Z-transform . El lápiz de función generalizado estima los y óptimos . ${\ Displaystyle z_ {i} = e ^ {(- \ alpha _ {i} + j \ omega _ {i}) T_ {s}}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle z_ {i}}$

Análisis sin ruido

Para el caso silencioso , se producen dos matrices, y ,: ${\ Displaystyle (NL) \ times L}$${\ Displaystyle Y_ {1}}$${\ Displaystyle Y_ {2}}$

${\ displaystyle [Y_ {1}] = {\ begin {bmatrix} x (0) & x (1) & \ cdots & x (L-1) \\ x (1) & x (2) & \ cdots & x (L) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x (NL-1) & x (NL) & \ cdots & x (N-2) \ end {bmatrix}} _ {(NL) \ times L}; }$ ${\ Displaystyle [Y_ {2}] = {\ begin {bmatrix} x (1) & x (2) & \ cdots & x (L) \\ x (2) & x (3) & \ cdots & x (L + 1) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x (NL) & x (N-L + 1) & \ cdots & x (N-1) \ end {bmatrix}} _ {(NL) \ times L }}$

donde se define como el parámetro de lápiz . y se puede descomponer en las siguientes matrices: ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle Y_ {1}}$${\ Displaystyle Y_ {2}}$

${\ Displaystyle [Y_ {1}] = [Z_ {1}] [B] [Z_ {2}]}$

${\ Displaystyle [Y_ {2}] = [Z_ {1}] [B] [Z_ {0}] [Z_ {2}]}$

dónde

${\ displaystyle [Z_ {1}] = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & \ cdots & 1 \\ z_ {1} & z_ {2} & \ cdots & z_ {M} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ z_ {1} ^ {(NL-1)} & z_ {2} ^ {(NL-1)} & \ cdots & z_ {M} ^ {(NL-1)} \ end {bmatrix}} _ {( NL) \ veces M};}$ ${\ displaystyle [Z_ {2}] = {\ begin {bmatrix} 1 & z_ {1} & \ cdots & z_ {1} ^ {L-1} \\ 1 & z_ {2} & \ cdots & z_ {2} ^ {L- 1} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & z_ {M} & \ cdots & z_ {M} ^ {L-1} \ end {bmatrix}} _ {M \ times L}}$

${\ textstyle [Z_ {0}]}$y son matrices diagonales con valores y colocados secuencialmente , respectivamente. ${\ textstyle [B]}$${\ textstyle M \ times M}$ ${\ textstyle z_ {i}}$${\ textstyle R_ {i}}$

Si , los valores propios generalizados del lápiz de matriz${\ textstyle M \ leq L \ leq NM}$

${\ Displaystyle [Y_ {2}] - \ lambda [Y_ {1}] = [Z_ {1}] [B] ([Z_ {0}] - \ lambda [I]) [Z_ {2}]}$

ceder los polos del sistema, que son . Entonces, los vectores propios generalizados se pueden obtener mediante las siguientes identidades: ${\ Displaystyle \ lambda = z_ {i}}$${\ Displaystyle p_ {i}}$

${\ Displaystyle [Y_ {1}] ^ {+} [Y_ {1}] p_ {i} = p_ {i};}$    ${\ Displaystyle i = 1, ..., M}$

${\ Displaystyle [Y_ {1}] ^ {+} [Y_ {2}] p_ {i} = z_ {i} p_ {i};}$    ${\ Displaystyle i = 1, ..., M}$

donde denota la inversa de Moore-Penrose , también conocida como la pseudo-inversa. Se puede emplear la descomposición de valores singulares para calcular el pseudo-inverso. ${\ Displaystyle ^ {+}}$

Filtrado de ruido

Si hay ruido en el sistema y se combinan en una matriz de datos general : ${\ textstyle [Y_ {1}]}$${\ textstyle [Y_ {2}]}$${\ textstyle [Y]}$

${\ Displaystyle [Y] = {\ begin {bmatrix} y (0) & y (1) & \ cdots & y (L) \\ y (1) & y (2) & \ cdots & y (L + 1) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ y (NL-1) & y (NL) & \ cdots & y (N-1) \ end {bmatrix}} _ {(NL) \ times (L + 1)} }$

¿Dónde están los datos ruidosos? Para un filtrado eficiente , L se elige entre y . Una descomposición de valor singular en los rendimientos: ${\ Displaystyle y}$${\ textstyle {\ frac {N} {3}}}$${\ textstyle {\ frac {N} {2}}}$${\ textstyle [Y]}$

${\ Displaystyle [Y] = [U] [\ Sigma] [V] ^ {H}}$

En esta descomposición, y son matrices unitarias con respectivos autovectores y y es una matriz diagonal con valores singulares de . El superíndice denota la transposición conjugada . ${\ textstyle [U]}$${\ textstyle [V]}$ ${\ textstyle [Y] [Y] ^ {H}}$${\ textstyle [Y] ^ {H} [Y]}$${\ textstyle [\ Sigma]}$${\ textstyle [Y]}$${\ textstyle H}$

Luego, se elige el parámetro para filtrar. Los valores singulares posteriores , que están por debajo del umbral de filtrado, se establecen en cero; para un valor singular arbitrario , el umbral se indica mediante la siguiente fórmula: ${\ textstyle M}$${\ textstyle M}$${\ estilo de texto \ sigma _ {c}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ sigma _ {c}} {\ sigma _ {max}}} = 10 ^ {- p}}$,

${\ textstyle \ sigma _ {max}}$y p son el valor singular máximo y dígitos decimales significativos , respectivamente. Para datos con dígitos significativos precisos hasta p , los valores singulares siguientes se consideran ruido. ${\ textstyle 10 ^ {- p}}$

${\ textstyle [V_ {1} ']}$y se obtienen eliminando la última y la primera fila y columna de la matriz filtrada , respectivamente; columnas de representar . Las matrices filtradas y se obtienen como: ${\ textstyle [V_ {2} ']}$${\ textstyle [V ']}$${\ textstyle M}$${\ textstyle [\ Sigma]}$${\ textstyle [\ Sigma ']}$${\ textstyle [Y_ {1}]}$${\ textstyle [Y_ {2}]}$

${\ Displaystyle [Y_ {1}] = [U] [\ Sigma '] [V_ {1}'] ^ {H}}$

${\ Displaystyle [Y_ {2}] = [U] [\ Sigma '] [V_ {2}'] ^ {H}}$

El prefiltrado se puede utilizar para combatir el ruido y mejorar la relación señal / ruido (SNR). El método de lápiz de matriz de paso de banda (BPMP) es una modificación del método GPOF a través de filtros de paso de banda FIR o IIR .

GPOF puede manejar hasta 25 dB SNR. Para GPOF, así como para BPMP, la variación de las estimaciones alcanza aproximadamente el límite de Cramér-Rao .

Cálculo de residuos

Los residuos de los polos complejos se obtienen mediante el problema de mínimos cuadrados :

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} y (0) \\ y (1) \\\ vdots \\ y (N-1) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & \ cdots & 1 \\ z_ {1} & z_ {2} & \ cdots & z_ {M} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ z_ {1} ^ {N-1} & z_ {2} ^ {N-1} & \ cdots & z_ {M} ^ {N-1} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} R_ {1} \\ R_ {2} \\\ vdots \\ R_ {M} \ end {bmatrix} }}$

Aplicaciones

El método se usa generalmente para la evaluación de integrales de Sommerfeld en el método de imagen compleja discreta para el método de momentos , donde la función espectral de Green se aproxima como una suma de exponenciales complejos. Además, el método se utiliza en análisis de antenas , estimación de parámetros S en circuitos integrados de microondas , análisis de propagación de ondas, indicación de objetivos en movimiento y procesamiento de señales de radar .

Ver también

• Problema generalizado de valores propios
• Lápiz de matriz
• El método de Prony

Referencias