Tabla matemática - Mathematical table

Páginas opuestas de un libro de 1619 de tablas matemáticas de Matthias Bernegger , que muestran los valores de las funciones trigonométricas seno, tangente y secante . Los ángulos menores a 45 ° se encuentran en la página izquierda, ángulos mayores a 45 ° a la derecha. El coseno, la cotangente y la cosecante se encuentran usando la entrada en la página opuesta.

Las tablas matemáticas son listas de números que muestran los resultados de un cálculo con diferentes argumentos. Las tablas de funciones trigonométricas se utilizaron en la antigua Grecia y la India para aplicaciones a la astronomía y la navegación celeste . Continuaron utilizándose ampliamente hasta que las calculadoras electrónicas se volvieron baratas y abundantes, con el fin de simplificar y acelerar drásticamente los cálculos . Las tablas de logaritmos y funciones trigonométricas eran comunes en los libros de texto de matemáticas y ciencias, y se publicaron tablas especializadas para numerosas aplicaciones.

Historia y uso

Las primeras tablas de funciones trigonométricas conocidas fueron hechas por Hiparco (hacia 190 - hacia 120 a. C.) y Menelao (hacia 70 a 140 d. C.), pero ambas se han perdido. Junto con la tabla sobreviviente de Ptolomeo (c. 90 - c. 168 d. C.), todas eran tablas de acordes y no de medios acordes, es decir, la función seno . La tabla producida por el matemático indio Āryabhaṭa (476-550 d. C.) se considera la primera tabla de senos jamás construida. La mesa de Āryabhaṭa siguió siendo la tabla de seno estándar de la antigua India. Hubo continuos intentos de mejorar la precisión de esta tabla, que culminaron con el descubrimiento de las expansiones en series de potencia de las funciones seno y coseno por Madhava de Sangamagrama (c.1350 - c.1425), y la tabulación de una tabla de senos por Madhava con valores precisos hasta siete u ocho lugares decimales.

Estas tablas matemáticas de 1925 fueron distribuidas por la Junta de Examen de Entrada a la Universidad a los estudiantes que tomaban las porciones de matemáticas de las pruebas.

Las tablas de logaritmos comunes se utilizaron hasta la invención de las computadoras y las calculadoras electrónicas para hacer multiplicaciones, divisiones y exponenciaciones rápidas, incluida la extracción de raíces n .

Las computadoras mecánicas de propósito especial conocidas como motores de diferencia se propusieron en el siglo XIX para tabular aproximaciones polinomiales de funciones logarítmicas, es decir, para calcular tablas logarítmicas grandes. Esto fue motivado principalmente por errores en las tablas logarítmicas hechas por las computadoras humanas de la época. Las primeras computadoras digitales se desarrollaron durante la Segunda Guerra Mundial en parte para producir tablas matemáticas especializadas para apuntar la artillería . A partir de 1972, con el lanzamiento y el uso creciente de las calculadoras científicas , la mayoría de las tablas matemáticas dejaron de utilizarse.

Uno de los últimos grandes esfuerzos para construir tales tablas fue el Proyecto de Tablas Matemáticas que se inició en los Estados Unidos en 1938 como un proyecto de Works Progress Administration (WPA), empleando a 450 empleados sin trabajo para tabular funciones matemáticas superiores. Duró hasta la Segunda Guerra Mundial.

Todavía se utilizan tablas de funciones especiales . Por ejemplo, el uso de tablas de valores de la función de distribución acumulada de la distribución normal , las llamadas tablas normales estándar , sigue siendo un lugar común hoy en día, especialmente en las escuelas, aunque el uso de calculadoras científicas y gráficas hace que tales tablas sean redundantes.

La creación de tablas almacenadas en la memoria de acceso aleatorio es una técnica de optimización de código común en la programación de computadoras, donde el uso de tales tablas acelera los cálculos en aquellos casos en los que la búsqueda de una tabla es más rápida que los cálculos correspondientes (particularmente si la computadora en cuestión no lo hace). tener una implementación de hardware de los cálculos). En esencia, se cambia la velocidad de cálculo por el espacio de memoria de la computadora necesario para almacenar las tablas.

Tablas de logaritmos

Una página de Henry Briggs '1617 Logarithmorum Chilias Prima que muestra el logaritmo en base 10 (común) de los números enteros de 0 a 67 a catorce lugares decimales.

Parte de una tabla de logaritmos comunes del siglo XX en el libro de referencia Abramowitz y Stegun .

Una página de una tabla de logaritmos de funciones trigonométricas del 2002 American Practical Navigator . Se incluyen columnas de diferencias para facilitar la interpolación .

Las tablas que contienen logaritmos comunes (base 10) se usaron ampliamente en los cálculos antes de la llegada de las calculadoras electrónicas y las computadoras porque los logaritmos convierten los problemas de multiplicación y división en problemas de suma y resta mucho más fáciles. Los logaritmos de base 10 tienen una propiedad adicional que es única y útil: el logaritmo común de números mayores que uno que difieren solo por un factor de una potencia de diez tienen todos la misma parte fraccionaria, conocida como mantisa . Las tablas de logaritmos comunes incluían típicamente solo las mantisas ; la parte entera del logaritmo, conocida como característica , se puede determinar fácilmente contando los dígitos del número original. Un principio similar permite el cálculo rápido de logaritmos de números positivos menores que 1. Por lo tanto, se puede usar una sola tabla de logaritmos comunes para todo el rango de números decimales positivos. Consulte el logaritmo común para obtener detalles sobre el uso de características y mantisas.

Historia

En 1544, Michael Stifel publicó Arithmetica integra , que contiene una tabla de números enteros y potencias de 2 que se ha considerado una versión temprana de una tabla logarítmica.

El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos ). El libro contenía cincuenta y siete páginas de material explicativo y noventa páginas de tablas relacionadas con los logaritmos naturales . El matemático inglés Henry Briggs visitó Napier en 1615 y propuso una nueva escala de los logaritmos de Napier para formar lo que ahora se conoce como logaritmos comunes o de base 10. Napier delegó en Briggs el cálculo de una tabla revisada. En 1617, publicaron Logarithmorum Chilias Prima ("Los primeros mil logaritmos"), que dio una breve descripción de los logaritmos y una tabla para los primeros 1000 enteros calculados con el decimocuarto lugar decimal.

El avance computacional disponible a través de logaritmos comunes, el inverso de los números potenciados o la notación exponencial , fue tal que hizo cálculos a mano mucho más rápido.

Tablas trigonométricas

Los cálculos trigonométricos jugaron un papel importante en los primeros estudios de la astronomía. Las primeras tablas se construyeron aplicando repetidamente identidades trigonométricas (como las identidades de medio ángulo y suma de ángulos) para calcular nuevos valores a partir de los antiguos.

Un simple ejemplo

Para calcular la función seno de 75 grados, 9 minutos, 50 segundos usando una tabla de funciones trigonométricas como la tabla de Bernegger de 1619 ilustrada arriba, uno podría simplemente redondear hasta 75 grados, 10 minutos y luego encontrar la entrada de 10 minutos en el Página de 75 grados, que se muestra arriba a la derecha, que es 0.9666746.

Sin embargo, esta respuesta solo tiene una precisión de cuatro decimales. Si se quisiera una mayor precisión, se podría interpolar linealmente de la siguiente manera:

De la mesa de Bernegger:

pecado (75 ° 10 ′) = 0,9666746

pecado (75 ° 9 ′) = 0,9666001

La diferencia entre estos valores es 0,0000745.

Como hay 60 segundos en un minuto de arco, multiplicamos la diferencia por 50/60 para obtener una corrección de (50/60) * 0.0000745 ≈ 0.0000621; y luego agregue esa corrección al pecado (75 ° 9 ′) para obtener:

sin (75 ° 9 ′ 50 ″) ≈ sin (75 ° 9 ′) + 0.0000621 = 0.9666001 + 0.0000621 = 0.9666622

Una calculadora moderna da sin (75 ° 9 ′ 50 ″) = 0.96666219991, por lo que nuestra respuesta interpolada es exacta a la precisión de 7 dígitos de la tabla de Bernegger.

Para tablas con mayor precisión (más dígitos por valor), es posible que se necesite una interpolación de orden superior para obtener una precisión total. En la era anterior a las computadoras electrónicas, la interpolación de datos de tablas de esta manera era la única forma práctica de obtener valores de alta precisión de funciones matemáticas necesarias para aplicaciones como navegación, astronomía y topografía.

Para comprender la importancia de la precisión en aplicaciones como la navegación, tenga en cuenta que, al nivel del mar, un minuto de arco a lo largo del ecuador de la Tierra o un meridiano (de hecho, cualquier círculo máximo ) equivale aproximadamente a una milla náutica (1.852 km o 1.151 mi).

Ver también

• Manual de funciones matemáticas de Abramowitz y Stegun
• Motor de diferencia
• Efemérides
• Mesa de grupo
• Historia de los logaritmos
• Almanaque náutico
• Matriz
• Tabla de multiplicación
• Tabla de números aleatorios

  Un millón de dígitos aleatorios con 100.000 desviaciones normales

• Tabla (información)
• Mesa de la verdad
• Jurij Vega

Referencias

• Campbell-Kelly, Martin (2003), La historia de las tablas matemáticas: de Sumer a las hojas de cálculo , beca de Oxford en línea, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850841-0

enlaces externos

• Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Tabla, Matemática"  . Encyclopædia Britannica (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.
• LOCOMAT  : Censo de tablas matemáticas y astronómicas.