Tercer teorema de Lie - Lie's third theorem

En las matemáticas de la teoría de Lie , tercer teorema de Lie estados que cada dimensión finita álgebra de Lie sobre los números reales se asocia a un grupo de Lie G . El teorema es parte de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie .

Históricamente, el tercer teorema se refería a un resultado diferente pero relacionado. Los dos teoremas precedentes de Sophus Lie , reformulados en el lenguaje moderno, se relacionan con las transformaciones infinitesimales de una acción grupal sobre una variedad suave . El tercer teorema de la lista estableció la identidad de Jacobi para las transformaciones infinitesimales de un grupo de Lie local . Por el contrario, en presencia de un álgebra de Lie de campos vectoriales , la integración da una acción de grupo de Lie local . El resultado ahora conocido como el tercer teorema proporciona un inverso intrínseco y global al teorema original.

Teorema de cartan

La equivalencia entre la categoría de grupos de Lie reales simplemente conectados y álgebras de Lie reales de dimensión finita se suele llamar (en la literatura de la segunda mitad del siglo XX) teorema de Cartan o Cartan-Lie, como lo demostró Élie Cartan . Sophus Lie había probado previamente la versión infinitesimal: solvabilidad local de la ecuación de Maurer-Cartan , o la equivalencia entre la categoría de álgebras de Lie de dimensión finita y la categoría de grupos de Lie locales.

Lie enumeró sus resultados como tres teoremas directos y tres inversos. La variante infinitesimal del teorema de Cartan era esencialmente el tercer teorema inverso de Lie. En un influyente libro, Jean-Pierre Serre lo llamó el tercer teorema de Lie . El nombre es históricamente algo engañoso, pero a menudo se usa en conexión con generalizaciones.

Serre proporcionó dos pruebas en su libro: una basada en el teorema de Ado y otra que cuenta la prueba de Élie Cartan.

Ver también

Referencias

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