Ecuaciones de Laue - Laue equations

Ecuación de Laue

En cristalografía y física del estado sólido , las ecuaciones de Laue relacionan las ondas entrantes con las ondas salientes en el proceso de dispersión elástica , donde la energía del fotón o la frecuencia temporal de la luz no cambia por dispersión, por una red cristalina . Llevan el nombre del físico Max von Laue (1879-1960).

Las ecuaciones de Laue se pueden escribir como como la condición de dispersión de ondas elásticas por una red cristalina, en donde , , y son un entrante (al cristal) vector de onda , un vector de onda de salida (desde el cristal por dispersión), y un vector de la red recíproca para el cristal respectivamente. Debido a la dispersión elástica , tres vectores. , y , forman un rombo si se satisface la ecuación. Si la dispersión satisface esta ecuación, todos los puntos de la red cristalina dispersan la onda entrante hacia la dirección de dispersión (la dirección a lo largo ). Si la ecuación no se satisface, entonces, para cualquier dirección de dispersión, solo algunos puntos de la red dispersan la onda entrante. (Esta interpretación física de la ecuación se basa en la suposición de que la dispersión en un punto de la red se realiza de manera que la onda de dispersión y la onda entrante tienen la misma fase en el punto). También puede verse como la conservación de los momentos. ya que ya es el vector de onda para una onda plana asociada con planos de celosía de cristal paralelos. (Los frentes de onda de la onda plana coinciden con estos planos de celosía). ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} | ^ {2} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} | ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ Displaystyle - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ Displaystyle \ hbar \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} = \ hbar \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} + \ hbar \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$

Las ecuaciones son equivalentes a la ley de Bragg ; las ecuaciones de Laue son ecuaciones vectoriales, mientras que la ley de Bragg está en una forma que es más fácil de resolver, pero tienen el mismo contenido.

Las ecuaciones de Laue

Dejado ser vectores de traslación primitivos (poco denominadas vectores primitivos) de una red cristalina , donde se encuentran átomos en puntos de la red descritos por con , y como cualquier números enteros . (Entonces, indicar cada punto de celosía es una combinación lineal entera de los vectores primitivos). ${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ ,, \ mathbf {b} \ ,, \ mathbf {c}}$ ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} + q \, \ mathbf {b} + r \, \ mathbf {c}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$

Sea el vector de onda de un rayo u onda entrante (incidente) hacia la red cristalina , y sea ​​el vector de onda de un rayo u onda saliente (difractado) de . Luego, el vector , llamado vector de dispersión o vector de onda transferido , mide la diferencia entre los vectores de onda entrante y saliente. ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {\ Delta k}}$

Las tres condiciones que debe satisfacer el vector de dispersión , llamadas ecuaciones de Laue , son las siguientes: ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a} = 2 \ pi h}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {b} = 2 \ pi k}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {c} = 2 \ pi l}$

donde los números son números enteros . Cada elección de números enteros , denominados índices de Miller , determina un vector de dispersión . Por lo tanto, hay infinitos vectores de dispersión que satisfacen las ecuaciones de Laue, ya que hay infinitas opciones de índices de Miller . Los vectores de dispersión permitidos forman una red , llamada red recíproca de la red cristalina , ya que cada uno indica un punto de . (Este es el significado de las ecuaciones de Laue como se muestra a continuación). Esta condición permite que un solo haz incidente sea difractado en infinitas direcciones. Sin embargo, los haces correspondientes a índices de Miller altos son muy débiles y no se pueden observar. Estas ecuaciones son suficientes para encontrar una base de la red recíproca (ya que cada observado indica un punto de la red recíproca del cristal bajo la medición), a partir de la cual se puede determinar la red cristalina. Este es el principio de la cristalografía de rayos x . ${\ Displaystyle h, k, l}$${\ Displaystyle (h, k, l)}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$${\ Displaystyle (h, k, l)}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$${\ Displaystyle L ^ {*}}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$${\ Displaystyle L ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$

Derivación matemática

Para una onda plana incidente a una sola frecuencia (y la frecuencia angular ) en un cristal, las ondas difractadas del cristal pueden pensarse como la suma de las ondas planas salientes del cristal. (De hecho, cualquier onda puede representarse como la suma de ondas planas, consulte Óptica de Fourier ). La onda incidente y una de las ondas planas de la onda difractada se representan como ${\ Displaystyle \ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle f _ {\ mathrm {in}} (t, \ mathbf {x}) = A _ {\ mathrm {in}} \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm { en}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {en}}),}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle f _ {\ mathrm {fuera}} (t, \ mathbf {x}) = A _ {\ mathrm {fuera}} \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm { fuera}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {fuera}}),}$

donde y son vectores de onda para las ondas planas incidentes y salientes, es el vector de posición , y es un escalar que representa el tiempo, y y son las fases iniciales de las ondas. Por simplicidad, aquí tomamos ondas como escalares , aunque el caso principal de interés es un campo electromagnético, que es un vector . Podemos pensar en estas ondas escalares como componentes de ondas vectoriales a lo largo de un cierto eje (eje x , y o z ) del sistema de coordenadas cartesianas . ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {fuera}}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {x}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle t}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {in}}}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {fuera}}}$

Las ondas incidentes y difractadas se propagan por el espacio de forma independiente, excepto en puntos de la red del cristal, donde resuenan con los osciladores, por lo que las fases de estas ondas deben coincidir. En cada punto de la celosía , tenemos ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} + q \, \ mathbf {b} + r \, \ mathbf {c}}$${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {in}}) = \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {fuera}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {fuera}}),}$

o equivalentemente, debemos tener

${\ Displaystyle \ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {in}} = \ omega \, t- \ mathbf { k} _ {\ mathrm {fuera}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {fuera}} +2 \ pi n,}$

para algún número entero , eso depende del punto . Dado que esta ecuación se mantiene en , en algún número entero . Entonces ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = 0}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {in}} = \ varphi _ {\ mathrm {out}} +2 \ pi n '}$${\ Displaystyle n '}$

${\ Displaystyle \ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} \ cdot \ mathbf {x} = \ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {x} +2 \ pi n.}$

(Todavía usamos en lugar de, ya que ambas notaciones esencialmente indican algún número entero). Al reordenar los términos, obtenemos ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle (n-n ')}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {x} = (\ mathbf {k} _ {\ mathrm {fuera}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {en}}) \ cdot \ mathbf {x} = 2 \ pi n.}$

Ahora, basta con comprobar que esta condición se cumple en los vectores primitivos (que es exactamente lo que dicen las ecuaciones de Laue), porque, en cualquier punto de la red , tenemos ${\ Displaystyle \ mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} + q \, \ mathbf {b} + r \, \ mathbf {c}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {\ Delta k} \ cdot (p \, \ mathbf {a} + q \, \ mathbf {b} + r \, \ mathbf {c}) = p (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a}) + q (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {b}) + r (\ mathbf {\ Delta k } \ cdot \ mathbf {c}) = p \, (2 \ pi h) + q \, (2 \ pi k) + r \, (2 \ pi l) = 2 \ pi (ph + qk + rl) = 2 \ pi n,}$

donde es el entero . La afirmación de que cada paréntesis, por ejemplo , debe ser un múltiplo de (es decir, cada ecuación de Laue) está justificada, ya que de otro modo no es válida para ningún número entero arbitrario . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle ph + qk + rl}$${\ Displaystyle (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a})}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle p (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a}) + q (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {b}) + r (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {c}) = 2 \ pi n}$${\ Displaystyle p, q, r}$

Esto asegura que si se satisfacen las ecuaciones de Laue, entonces la onda entrante y saliente (difractada) tienen la misma fase en cada punto de la red cristalina, por lo que las oscilaciones de los átomos del cristal, que siguen a la onda entrante, pueden al mismo tiempo tiempo genera la onda saliente en la misma fase de la onda entrante.

Relación con las celosías recíprocas y la ley de Bragg

Si con , , como enteros representa la red recíproca para una red cristalina (definida por ) en el espacio real, sabemos que con un número entero debido a la ortogonalidad conocido entre los vectores primitivos para la red recíproca y los de la red cristalina. (Usamos la definición física, no la del cristalógrafo, para los vectores reticulares recíprocos que da el factor de ). Pero observe que esto no es más que las ecuaciones de Laue. Por lo tanto, identificamos los medios que los vectores de dispersión permitidos son aquellos iguales a los vectores de red recíprocos para un cristal en difracción, y este es el significado de las ecuaciones de Laue. Este hecho a veces se denomina condición de Laue . En este sentido, los patrones de difracción son una forma de medir experimentalmente la red recíproca de una red cristalina.${\ Displaystyle \ mathbf {G} = h \ mathbf {A} + k \ mathbf {B} + l \ mathbf {C}}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} + q \, \ mathbf {b} + r \, \ mathbf {c}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G} \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {G} \ cdot (p \ mathbf {a} + q \ mathbf {b} + r \ mathbf {c}) = 2 \ pi ( hp + kq + lr) = 2 \ pi n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$

La condición de Laue se puede reescribir como sigue.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} &=\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {G} |^{2}\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}-2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} +|\mathbf {G} |^{2}.\end{aligned}}}$

Aplicando la condición de dispersión elástica (en otras palabras, las ondas entrantes y difractadas tienen la misma frecuencia (temporal). También podemos decir que la energía por fotón no cambia) a la ecuación anterior, obtenemos ${\ Displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} | ^ {2} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} | ^ {2}}$

${\ Displaystyle 2 \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {G} | ^ {2},}$

${\ Displaystyle 2 {{\ mathbf {k}} _ {\ text {in}}} \ cdot (- \ mathbf {G}) = | \ mathbf {G} {{|} ^ {2}}.}$

La segunda ecuación se obtiene de la primera ecuación usando . ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {G}}$

El resultado (también ) es una ecuación para un plano (geometría) (como el conjunto de todos los puntos indicados al satisfacer esta ecuación) ya que su ecuación equivalente es una ecuación plana en geometría. Otra ecuación equivalente, que puede ser más fácil de entender, es (también ). Esto indica que el plano que es perpendicular a la línea recta entre el origen de la red recíproca y y situado en el centro de la línea. Tal plano se llama plano de Bragg. Este plano puede entenderse desde para que se produzca dispersión (Es la condición Laue, equivalentes a las ecuaciones de Laue.) Y la dispersión elástica se ha asumido por lo que , y forman un rombo . Cada uno es por definición el vector de onda de una onda plana en la serie de Fourier de una función espacial cuya periodicidad sigue a la red cristalina (por ejemplo, la función que representa la densidad electrónica del cristal), los frentes de onda de cada onda plana en la serie de Fourier es perpendicular a el vector de onda de la onda plana , y estos frentes de onda coinciden con planos de celosía de cristal paralelos. Esto significa que los rayos X aparentemente se "reflejan" en los planos de la red cristalina paralelos, perpendiculares al mismo ángulo que su ángulo de aproximación al cristal con respecto a los planos de la red; en la luz elástica ( típicamente rayos X ) -dispersión de cristal, planos de celosía de cristal paralelos perpendiculares a un vector de celosía recíproca para el juego de celosía de cristal como espejos paralelos para la luz que, junto con , entra (al cristal) y sale (desde el cristal por dispersión) los vectores de onda forman un rombo.${\ Displaystyle 2 \ mathbf {k} _ {\ mathrm {fuera}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {G} | ^ {2}}$${\ Displaystyle 2 {{\ mathbf {k}} _ {\ text {in}}} \ cdot (- \ mathbf {G}) = | \ mathbf {G} {{|} ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G} \ cdot (2 {{\ mathbf {k}} _ {\ text {out}}} - \ mathbf {G}) = 0}$${\ Displaystyle {{\ mathbf {k}} _ {\ text {out}}} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {G}}} = {\ frac {1} {2}} \ left | \ mathbf { G} \ right |}$${\ Displaystyle (- {{\ mathbf {k}} _ {\ text {in}}}) \ cdot {\ widehat {\ mathbf {G}}} = {\ frac {1} {2}} \ left | \ mathbf {G} \ right |}$${\ Displaystyle \ mathbf {G} = 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ Displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} | ^ {2} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} | ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ Displaystyle - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$

Dado que el ángulo entre y es , (debido a la dispersión similar a un espejo, el ángulo entre y también es .) . Recuerde, con como la longitud de onda de la luz (típicamente rayos X), y con como la distancia entre planos de celosía de cristal paralelos adyacentes y como un número entero. Con estos, ahora derivamos la ley de Bragg que es equivalente a las ecuaciones de Laue (también llamada condición de Laue): ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ pi / 2- \ theta}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$${\ Displaystyle \ pi / 2- \ theta}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} || \ mathbf {G} | \ sin \ theta }$${\ Displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} | = 2 \ pi / \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle | \ mathbf {G} | = {\ frac {2 \ pi} {d}} n}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} 2 \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {G} | ^ {2} \\ 2 | \ mathbf {k } _ {\ mathrm {fuera}} || \ mathbf {G} | \ sin \ theta = | \ mathbf {G} | ^ {2} \\ 2 (2 \ pi / \ lambda) (2 \ pi n / d) \ sin \ theta = (2 \ pi n / d) ^ {2} \\ 2d \ sin \ theta = n \ lambda. \ end {alineado}}}$

Referencias

• Kittel, C. (1976). Introducción a la física del estado sólido , Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-49024-5

Notas