Impredicatividad - Impredicativity

En matemáticas , lógica y filosofía de las matemáticas , algo que es impredicativo es una definición autorreferencial . En términos generales, una definición es impredicativa si invoca (menciona o cuantifica sobre) el conjunto que se está definiendo, o (más comúnmente) otro conjunto que contiene la cosa que se está definiendo. No existe una definición precisa generalmente aceptada de lo que significa ser predicativo o impredicativo. Los autores han dado definiciones diferentes pero relacionadas.

Lo opuesto a la impredicatividad es la predicatividad, que esencialmente implica la construcción de teorías estratificadas (o ramificadas) en las que la cuantificación en niveles inferiores da como resultado variables de algún tipo nuevo, que se distinguen de los tipos inferiores sobre los que se extiende la variable. Un ejemplo prototípico es la teoría de tipos intuicionista , que conserva la ramificación para descartar la impredicatividad.

La paradoja de Russell es un ejemplo famoso de una construcción impredicativa, es decir, el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. La paradoja es que tal conjunto no puede existir: si existiera, la pregunta podría plantearse si se contiene a sí mismo o no; si lo hace, entonces por definición no debería, y si no existe, entonces por definición debería.

El límite inferior más grande de un conjunto X , glb ( X ) , también tiene una definición impredicativa: y = glb ( X ) si y solo si para todos los elementos x de X , y es menor o igual ax , y cualquier z menor que o igual a todos los elementos de X es menor o igual que y . Esta definición cuantifica sobre el conjunto (potencialmente infinito , dependiendo del orden en cuestión) cuyos miembros son los límites inferiores de X , uno de los cuales es el glb mismo. Por tanto, el predicativismo rechazaría esta definición.

Historia

Los términos "predicativo" e "impredicativo" fueron introducidos por Russell (1907) , aunque el significado ha cambiado un poco desde entonces.

Solomon Feferman proporciona una revisión histórica de la predicatividad, conectándola con problemas de investigación actuales pendientes.

El principio del círculo vicioso fue sugerido por Henri Poincaré (1905-6, 1908) y Bertrand Russell a raíz de las paradojas como un requisito de las especificaciones establecidas legítimas. Los conjuntos que no cumplen con el requisito se denominan impredicativos .

La primera paradoja moderna apareció con la pregunta sobre números transfinitos de 1897 de Cesare Burali-Forti y se conocería como la paradoja de Burali-Forti . Cantor aparentemente había descubierto la misma paradoja en su teoría de conjuntos "ingenua" (de Cantor) y esto se conoce como la paradoja de Cantor . La conciencia de Russell del problema se originó en junio de 1901 con su lectura del tratado de lógica matemática de Frege , su Begriffsschrift de 1879 ; la sentencia ofensiva en Frege es la siguiente:

Por otro lado, también puede ser que el argumento sea determinado y la función indeterminada.

En otras palabras, dado f ( a ) la función f es la variable y a es la parte invariante. Entonces, ¿por qué no sustituir el valor f ( a ) por f mismo? Russell le escribió rápidamente a Frege una carta señalando que:

Afirmas ... que una función también puede actuar como elemento indeterminado. Esto lo creía antes, pero ahora este punto de vista me parece dudoso debido a la siguiente contradicción. Sea w el predicado: ser un predicado que no puede predicarse por sí mismo. ¿Se puede predicar w por sí mismo? De cada respuesta se sigue su opuesto. Allí debemos concluir que w no es un predicado. Asimismo, no hay clase (como una totalidad) de aquellas clases que cada una tomada como una totalidad, no se pertenece a sí misma. De esto llego a la conclusión de que, en determinadas circunstancias, una colección definible no forma una totalidad.

Frege respondió rápidamente a Russell reconociendo el problema:

Su descubrimiento de la contradicción me causó la mayor sorpresa y, casi diría, consternación, ya que ha sacudido la base sobre la que pretendía construir la aritmética.

Si bien el problema tuvo consecuencias personales adversas para ambos hombres (ambos tenían trabajos en las imprentas que tuvieron que ser enmendados), van Heijenoort observa que "La paradoja sacudió el mundo de los lógicos, y los rumores todavía se sienten hoy ... La paradoja de Russell , que utiliza las nociones básicas de conjunto y elemento, cae de lleno en el campo de la lógica. La paradoja fue publicada por primera vez por Russell en Los principios de las matemáticas (1903) y se discute allí con gran detalle ... ". Russell, después de seis años de comienzos en falso, eventualmente respondería al asunto con su teoría de tipos de 1908 al "proponer su axioma de reducibilidad . Dice que cualquier función es coextensiva con lo que él llama una función predicativa : una función en la que los tipos de las variables aparentes no superan los tipos de argumentos ". Pero este "axioma" se encontró con la resistencia de todos los sectores.

El rechazo de los objetos matemáticos definidos de manera impredicativa (mientras acepta los números naturales como se entienden clásicamente) conduce a la posición en la filosofía de las matemáticas conocida como predicativismo, defendida por Henri Poincaré y Hermann Weyl en su Das Kontinuum . Poincaré y Weyl argumentaron que las definiciones impredicativas son problemáticas solo cuando uno o más conjuntos subyacentes son infinitos.

Ernst Zermelo en su 1908 "Una nueva prueba de la posibilidad de un buen ordenamiento" presenta una sección completa "b. Objeción relativa a la definición no predictiva " donde argumentó en contra de "Poincaré (1906, p. 307) [quien afirma que] una definición es 'predicativo' y lógicamente admisible sólo si excluye todos los objetos que dependen de la noción definida, es decir, que pueden ser determinados de alguna manera por ella ". Da dos ejemplos de definiciones impredicativas: (i) la noción de cadenas de Dedekind y (ii) "en el análisis donde el máximo o mínimo de un conjunto" completo "de números Z previamente definido se utiliza para inferencias adicionales. Esto sucede, por ejemplo, , en la conocida prueba de Cauchy ... ". Termina su sección con la siguiente observación: "Una definición puede muy bien basarse en nociones que son equivalentes a la que se está definiendo; de hecho, en toda definición definiens y definiendum son nociones equivalentes, y la estricta observancia de la exigencia de Poincaré haría que toda definición , de ahí que toda la ciencia, imposible ".

El ejemplo de Zermelo de mínimo y máximo de un conjunto de números "completo" previamente definido reaparece en Kleene 1952: 42-42 donde Kleene usa el ejemplo del límite superior mínimo en su discusión de las definiciones impredicativas; Kleene no resuelve este problema. En los párrafos siguientes se analiza el intento de Weyl en su 1918 Das Kontinuum ( El Continuum ) para eliminar las definiciones impredicativas y su incapacidad para retener el "teorema de que una arbitraria que no esté vacía conjunto M de números reales que tiene un límite superior tiene un extremo superior ( cf. también Weyl 1919) ".

Ramsey argumentó que las definiciones "impredicativas" pueden ser inofensivas: por ejemplo, la definición de "persona más alta en la habitación" es impredicativa, ya que depende de un conjunto de cosas de las que es un elemento, a saber, el conjunto de todas las personas en el habitación. Con respecto a las matemáticas, un ejemplo de una definición impredicativa es el número más pequeño de un conjunto, que se define formalmente como: y = min ( X ) si y solo si para todos los elementos x de X , y es menor o igual ax , y Y está en X .

Burgess (2005) discute teorías predicativos y impredicativas con cierta extensión, en el contexto de Frege lógica 's, aritmética Peano , aritmética de segundo orden , y la teoría de conjuntos axiomático .

Ver también

• Gödel, Escher, Bach
• Polimorfismo impredecible
• Logicismo
• La paradoja de Richard

Notas

Referencias

• "Definiciones Predicativas e Impredicativas" . Enciclopedia de Filosofía de Internet .
• Artículo de PlanetMath sobre predicativismo
• John Burgess , 2005. Arreglando a Frege . Universidad de Princeton Prensa.
• Solomon Feferman , 2005, " Predicatividad " en The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic . Prensa de la Universidad de Oxford: 590–624.
• Russell, B. (1907), "Sobre algunas dificultades en la teoría de números transfinitos y tipos de órdenes" , Proc. London Math. Soc. , t2–4 (1): 29–53, doi : 10.1112 / plms / s2-4.1.29
• Stephen C. Kleene 1952 (edición de 1971), Introducción a las metamatemáticas , North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN   0-7204-2103-9 . En particular cf. su §11 Las paradojas (págs. 36-40) y §12 Primeras inferencias de las paradojas DEFINICIÓN IMPREDICATIVA (pág. 42). Afirma que sus 6 o más (famosos) ejemplos de paradojas (antinomias) son todos ejemplos de definición impredicativa, y dice que Poincaré (1905–6, 1908) y Russell (1906, 1910) "enunciaron la causa de las paradojas para mentir en estas definiciones impredicativas "(p. 42), sin embargo," partes de las matemáticas que queremos retener, en particular el análisis, también contienen definiciones impredicativas ". (ibídem). Weyl en su 1918 ("Das Kontinuum") intentó derivar tanto análisis como fuera posible sin el uso de definiciones impredicativas, "pero no el teorema de que un conjunto arbitrario no vacío M de números reales que tienen un límite superior tiene un mínimo límite superior (CF. también Weyl 1919) "(p. 43).
• Hans Reichenbach 1947, Elementos de lógica simbólica , Dover Publications, Inc., NY, ISBN   0-486-24004-5 . Cf. su §40. Las antinomias y la teoría de tipos (págs. 218 - donde demuestra cómo crear antinomias, incluida la definición de lo impredicable en sí mismo ("¿Es la definición de" impredicable "impredicable?"). Afirma mostrar métodos para eliminar las "paradojas de sintaxis "(" paradojas lógicas ") - mediante el uso de la teoría de tipos - y" las paradojas de la semántica "- mediante el uso del metalenguaje (su" teoría de los niveles del lenguaje "). Atribuye la sugerencia de esta noción a Russell y más concretamente a Ramsey.
• Jean van Heijenoort 1967, tercera edición 1976, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN   0-674-32449-8 (pbk.)