Energía de enlace gravitacional - Gravitational binding energy

Los cúmulos de galaxias son las estructuras unidas gravitacionalmente más grandes del universo.

La energía de enlace gravitacional de un sistema es la energía mínima que debe agregarse para que el sistema deje de estar en un estado de enlace gravitacional . Un sistema ligado gravitacionalmente tiene una energía potencial gravitacional menor ( es decir , más negativa) que la suma de las energías de sus partes cuando están completamente separadas; esto es lo que mantiene el sistema agregado de acuerdo con el principio de energía potencial mínima total .

Para un cuerpo esférico de densidad uniforme , la energía de enlace gravitacional U viene dada por la fórmula

${\ Displaystyle U = {\ frac {3GM ^ {2}} {5R}}}$

donde G es la constante gravitacional , M es la masa de la esfera y R es su radio.

Suponiendo que la Tierra es una esfera de densidad uniforme (que no lo es, pero está lo suficientemente cerca para obtener una estimación del orden de magnitud ) con M = 5,97 × 10 ²⁴  kg y r = 6,37 × 10 ⁶  m , entonces U = 2,24 × 10 ³²  J . Esto es aproximadamente igual a una semana de la producción total de energía del Sol . Es 37,5 MJ / kg , 60% del valor absoluto de la energía potencial por kilogramo en superficie.

La dependencia de la profundidad real de la densidad, inferida de los tiempos de viaje sísmico (ver la ecuación de Adams-Williamson ), se da en el Modelo Terrestre de Referencia Preliminar (PREM). Usando esto, la energía de enlace gravitacional real de la Tierra se puede calcular numéricamente como U = 2,49 × 10 ³²  J .

Según el teorema del virial , la energía de enlace gravitacional de una estrella es aproximadamente dos veces su energía térmica interna para que se mantenga el equilibrio hidrostático . A medida que el gas en una estrella se vuelve más relativista , la energía de enlace gravitacional requerida para el equilibrio hidrostático se acerca a cero y la estrella se vuelve inestable (altamente sensible a perturbaciones), lo que puede conducir a una supernova en el caso de una estrella de gran masa debido a fuertes presión de radiación o hacia un agujero negro en el caso de una estrella de neutrones .

Derivación para una esfera uniforme

La energía de enlace gravitacional de una esfera con radio se encuentra imaginando que se separa moviendo sucesivamente conchas esféricas hasta el infinito, la más externa primero, y encontrando la energía total necesaria para eso. ${\ Displaystyle R}$

Suponiendo una densidad constante , las masas de un caparazón y la esfera en su interior son: ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle m _ {\ mathrm {shell}} = 4 \ pi r ^ {2} \ rho \, dr}$       y       ${\ Displaystyle m _ {\ mathrm {interior}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho}$

La energía requerida para un caparazón es el negativo de la energía potencial gravitacional:

${\ Displaystyle {\ it {dU}} = - G {\ frac {m _ {\ mathrm {shell}} m _ {\ mathrm {interior}}} {r}}}$

La integración sobre todas las conchas rinde:

${\ Displaystyle U = -G \ int _ {0} ^ {R} {\ frac {(4 \ pi r ^ {2} \ rho) ({\ tfrac {4} {3}} \ pi r ^ {3 } \ rho)} {r}} dr = -G {\ frac {16} {3}} \ pi ^ {2} \ rho ^ {2} \ int _ {0} ^ {R} {r ^ {4 }} dr = -G {\ frac {16} {15}} {\ pi} ^ {2} {\ rho} ^ {2} R ^ {5}}$

Dado que es simplemente igual a la masa del todo dividida por su volumen para objetos con densidad uniforme, por lo tanto ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ rho = {\ frac {M} {{\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}}}}$

Y finalmente, conectar esto a nuestro resultado conduce a

${\ Displaystyle U = -G {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {2} R ^ {5} \ left ({\ frac {M} {{\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}}} \ right) ^ {2} = - {\ frac {3GM ^ {2}} {5R}}}$

Componente de masa negativo

Dos cuerpos, colocados a una distancia R entre sí y sin movimiento recíproco, ejercen una fuerza gravitacional sobre un tercer cuerpo ligeramente más pequeño cuando R es pequeño. Esto puede verse como un componente de masa negativo del sistema, igual, para soluciones uniformemente esféricas, a:

${\ displaystyle M _ {\ mathrm {vinculante}} = - {\ frac {3GM ^ {2}} {5Rc ^ {2}}}}$

Por ejemplo, el hecho de que la Tierra sea una esfera unida gravitacionalmente de su tamaño actual cuesta 2.49421 × 10 ¹⁵ kg de masa (aproximadamente un cuarto de la masa de Fobos - ver arriba para el mismo valor en julios ), y si sus átomos fueran escasos sobre un volumen arbitrariamente grande, la Tierra pesaría su masa actual más 2.49421 × 10 ¹⁵ kilogramos (y su atracción gravitacional sobre un tercer cuerpo sería en consecuencia más fuerte).

Se puede demostrar fácilmente que este componente negativo nunca puede exceder el componente positivo de un sistema. Una energía de enlace negativa mayor que la masa del sistema en sí requeriría de hecho que el radio del sistema fuera menor que:

${\ Displaystyle R \ leq {\ frac {3GM} {5c ^ {2}}}}$

que es más pequeño que su radio de Schwarzschild : ${\ Displaystyle {\ frac {3} {10}}}$

${\ Displaystyle R \ leq {\ frac {3} {10}} r _ {\ mathrm {s}}}$

y por lo tanto nunca visible para un observador externo. Sin embargo, esta es solo una aproximación newtoniana y, en condiciones relativistas , también deben tenerse en cuenta otros factores.

Esferas no uniformes

Los planetas y las estrellas tienen gradientes de densidad radial desde sus superficies de menor densidad hasta sus núcleos comprimidos mucho más densos. Los objetos de materia degenerada (enanas blancas; púlsares de estrellas de neutrones) tienen gradientes de densidad radial más correcciones relativistas.

Las ecuaciones relativistas de estado de las estrellas de neutrones incluyen un gráfico de radio vs. masa para varios modelos. Los radios más probables para una masa de estrella de neutrones dada están delimitados por los modelos AP4 (radio más pequeño) y MS2 (radio más grande). BE es la relación entre la masa de energía de enlace gravitacional equivalente a la masa gravitacional observada de la estrella de neutrones de M con radio R ,

${\ displaystyle BE = {\ frac {0.60 \, \ beta} {1 - {\ frac {\ beta} {2}}}}}$      ${\ Displaystyle \ beta \ = G \, M / R \, {c} ^ {2}.}$

Dados los valores actuales

${\ Displaystyle G = 6.6743 \ times 10 ^ {- 11} \, \ mathrm {m ^ {3} {\ cdot} kg ^ {- 1} {\ cdot} s ^ {- 2}}}$

${\ Displaystyle c ^ {2} = 8,98755 \ times 10 ^ {16} \, \ mathrm {m ^ {2} {\ cdot} s ^ {- 2}}}$

${\ Displaystyle M _ {\ odot} = 1.98844 \ times 10 ^ {30} \, \ mathrm {kg}}$

y la masa de la estrella M expresada en relación con la masa solar,

${\ Displaystyle M_ {x} = {\ frac {M} {M _ {\ odot}}},}$

entonces la energía de enlace fraccional relativista de una estrella de neutrones es

${\ displaystyle BE = {\ frac {885.975 \, M_ {x}} {R-738.313 \, M_ {x}}}}$

Ver también

• Tensor de estrés-energía
• Estrés-energía-pseudotensor de impulso
• Efecto Nordtvedt

Referencias