Expansión (geometría) - Expansion (geometry)

Un ejemplo de expansión del pentágono en un decágono alejando los bordes del centro e insertando nuevos bordes en los espacios. La expansión es uniforme si todos los bordes tienen la misma longitud.

Animación que muestra un cubo expandido (y un octaedro)

En geometría , la expansión es una operación politopo donde las facetas se separan y se mueven radialmente, y se forman nuevas facetas en elementos separados (vértices, aristas, etc.). De manera equivalente, esta operación se puede imaginar manteniendo las facetas en la misma posición pero reduciendo su tamaño.

La expansión de un politopo regular crea un politopo uniforme , pero la operación se puede aplicar a cualquier politopo convexo, como se demostró para los poliedros en la notación de poliedro de Conway . Para los poliedros, un poliedro expandido tiene todas las caras del poliedro original, todas las caras del poliedro dual y nuevas caras cuadradas en lugar de los bordes originales.

Expansión de politopos regulares

Según Coxeter , este término multidimensional fue definido por Alicia Boole Stott para crear nuevos politopos, específicamente partiendo de politopos regulares para construir nuevos politopos uniformes .

La operación de expansión es simétrica con respecto a un politopo regular y su dual . La figura resultante contiene las facetas tanto de lo regular como de su dual, junto con varias facetas prismáticas que llenan los espacios creados entre elementos dimensionales intermedios.

Tiene significados algo diferentes por dimensión . En una construcción de Wythoff , se genera una expansión por los reflejos del primer y último espejos. En dimensiones superiores, las expansiones de dimensiones inferiores se pueden escribir con un subíndice, por lo que e ₂ es lo mismo que t _0,2 en cualquier dimensión.

Por dimensión:

• Un polígono {p} regular se expande en un 2n-gon regular.
  • La operación es idéntica al truncamiento de polígonos, e {p} = e ₁ {p} = t _0,1 {p} = t {p} y tiene el diagrama de Coxeter-Dynkin .
• Un poliedro {p, q} regular (3-politopo) se expande en un poliedro con figura de vértice p.4.q.4 .
  • Esta operación para poliedros también se llama cantelación , e {p, q} = e ₂ {p, q} = t _0,2 {p, q} = rr {p, q}, y tiene el diagrama de Coxeter.

    

    Por ejemplo, un rhombicuboctahedron puede ser llamado un cubo expandido , expandido octaedro , así como un cubo cantellated o cantellated octaedro .

• Un 4-politopo (4-politopo) regular {p, q, r} se expande en un nuevo 4-politopo con las celdas {p, q} originales, nuevas celdas {r, q} en lugar de los viejos vértices, p prismas gonales en lugar de las caras antiguas y prismas r-gonales en lugar de los bordes antiguos.
  • Esta operación para 4-politopos también se llama runcinación , e {p, q, r} = e ₃ {p, q, r} = t _0,3 {p, q, r}, y tiene el diagrama de Coxeter.
• De manera similar, un 5-politopo {p, q, r, s} regular se expande en un nuevo 5-politopo con facetas {p, q, r}, {s, r, q}, {p, q} × {} prismas , {s, r} × {} prismas y {p} × {s} duoprismas .
  • Esta operación se llama esterificación , e {p, q, r, s} = e ₄ {p, q, r, s} = t _0,4 {p, q, r, s} = 2r2r {p, q, r , s} y tiene diagrama de Coxeter.

El operador general para la expansión de un n-politopo regular es t _{0, n-1} {p, q, r, ...}. Se agregan nuevas facetas regulares en cada vértice, y se agregan nuevos politopos prismáticos en cada borde dividido, cara, ... cresta , etc.

Ver también

• Notación de poliedro de Conway

Notas

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Expansión" . MathWorld .
• Coxeter, HSM , politopos regulares . 3a edición, Dover, (1973) ISBN  0-486-61480-8 .
• Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
  • NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966

Operadores de poliedro

[

• v
• t
• mi

]

Semilla	Truncamiento	Rectificación	Bitruncation	Doble	Expansión	Omnitruncación	Alternancias
t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p, q} t {p, q}	t 1 {p, q} r {p, q}	t 12 {p, q} 2t {p, q}	t 2 {p, q} 2r {p, q}	t 02 {p, q} rr {p, q}	t 012 {p, q} tr {p, q}	ht 0 {p, q} h {q, p}	ht 12 {p, q} s {q, p}	ht 012 {p, q} sr {p, q}