Decágono - Decagon

Decágono regular
	Un decágono regular
Escribe	Polígono regular
Aristas y vértices	10
Símbolo de Schläfli	{10}, t {5}
Diagrama de Coxeter	;
Grupo de simetría	Diedro (D 10 ), orden 2 × 10
Ángulo interno ( grados )	144 °
Polígono dual	Uno mismo
Propiedades	Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal

En geometría , un decágono (del griego δέκα déka y γωνία gonía, "diez ángulos") es un polígono de diez lados o 10-gon. La suma total de los ángulos interiores de un decágono simple es 1440 °.

A autointerseca decágono regular es conocido como un decagramo .

Decágono regular

Un decágono regular tiene todos los lados de la misma longitud y cada ángulo interno siempre será igual a 144 °. Su símbolo de Schläfli es {10} y también se puede construir como un pentágono truncado , t {5}, un decágono cuasirregular que alterna dos tipos de aristas.

Área

El área de un decágono regular de lado a está dada por:

{\ Displaystyle A = {\ frac {5} {2}} a ^ {2} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {10}} \ right) = {\ frac {5} {2}} a ^ {2} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ simeq 7.694208843 \, a ^ {2}}

En términos del apotema r (ver también figura inscrita ), el área es:

{\ Displaystyle A = 10 \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {10}} \ right) r ^ {2} = 2r ^ {2} {\ sqrt {5 \ left (5-2 {\ sqrt {5}} \ right)}} \ simeq 3.249196962 \, r ^ {2}}

En términos del circunradio R , el área es:

{\ Displaystyle A = 5 \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {5}} \ right) R ^ {2} = {\ frac {5} {2}} R ^ {2} {\ sqrt { \ frac {5 - {\ sqrt {5}}} {2}}} \ simeq 2.938926261 \, R ^ {2}}

Una fórmula alternativa es donde d es la distancia entre lados paralelos, o la altura cuando el decágono está en un lado como base, o el diámetro del círculo inscrito del decágono . Por simple trigonometría , ${\ Displaystyle A = 2.5da}$

{\ Displaystyle d = 2a \ left (\ cos {\ tfrac {3 \ pi} {10}} + \ cos {\ tfrac {\ pi} {10}} \ right),}

y se puede escribir algebraicamente como

{\ Displaystyle d = a {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}.}

Lados

Un decágono regular tiene 10 lados y es equilátero . Tiene 35 diagonales

Construcción

Como 10 = 2 × 5, una potencia de dos veces un número primo de Fermat , se deduce que un decágono regular se puede construir usando compás y regla , o mediante una bisección de borde de un pentágono regular .

Construcción de decágono

Construcción del pentágono

Un método alternativo (pero similar) es el siguiente:

Construya un pentágono en un círculo mediante uno de los métodos que se muestran al construir un pentágono .
Extiende una línea desde cada vértice del pentágono a través del centro del círculo hasta el lado opuesto de ese mismo círculo. Donde cada línea corta el círculo es un vértice del decágono.
Las cinco esquinas del pentágono constituyen esquinas alternas del decágono. Une estos puntos a los nuevos puntos adyacentes para formar el decágono.

Decagón regular no convexo

Este mosaico de triángulos dorados , un pentágono regular , contiene una estelación de decágono regular , cuyo símbolo Schäfli es {10/3}.

La razón de longitud de dos aristas desiguales de un triángulo áureo es la razón áurea , denotada o su inverso multiplicativo : ${\ displaystyle {\ text {por}} \ Phi {\ text {,}}}$

{\ Displaystyle \ Phi -1 = {\ frac {1} {\ Phi}} = 2 \, \ cos 72 \, ^ {\ circ} = {\ frac {1} {\, 2 \, \ cos 36 \ , ^ {\ circ}}} = {\ frac {\, {\ sqrt {5}} - 1 \,} {2}} {\ text {.}}}

Entonces podemos obtener las propiedades de una estrella decagonal regular, a través de un mosaico de triángulos dorados que llena este polígono estelar .

La proporción áurea en decágono

Tanto en la construcción con un círculo circunferencial dado como con una longitud lateral dada, es la proporción áurea que divide un segmento de línea por división exterior el elemento constructivo determinante.

En la construcción con circunferencia dada, el arco circular alrededor de G con radio GE ₃ produce el segmento AH , cuya división corresponde a la proporción áurea.

{\ Displaystyle {\ frac {\ overline {AM}} {\ overline {MH}}} = {\ frac {\ overline {AH}} {\ overline {AM}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ Phi \ approx 1.618 {\ text {.}}}

En la construcción con longitud de lado dada, el arco circular alrededor de D con radio DA produce el segmento E ₁₀ F , cuya división corresponde a la proporción áurea .

{\ Displaystyle {\ frac {\ overline {E_ {1} E_ {10}}} {\ overline {E_ {1} F}}} = {\ frac {\ overline {E_ {10} F}} {\ overline {E_ {1} E_ {10}}}} = {\ frac {R} {a}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ Phi \ approx 1.618 {\ texto{.}}}

Decágono con circunferencia dada, animación

Decágono con una longitud de lado determinada, animación

Simetría

Simetrías de un decágono regular. Los vértices están coloreados por sus posiciones de simetría. Los espejos azules se dibujan a través de vértices y los espejos morados se dibujan a través de bordes. Las órdenes de giro se dan en el centro.

El decágono regular tiene simetría Dih ₁₀ , orden 20. Hay 3 simetrías diédricas de subgrupos: Dih ₅ , Dih ₂ y Dih ₁ , y 4 simetrías de grupos cíclicos : Z ₁₀ , Z ₅ , Z ₂ y Z ₁ .

Estas 8 simetrías se pueden ver en 10 simetrías distintas en el decágono, un número mayor porque las líneas de reflejos pueden atravesar vértices o bordes. John Conway los etiqueta por carta y orden de grupo. La simetría completa de la forma regular es r20 y ninguna simetría se etiqueta a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o bordes ( p para perpendiculares), yi cuando las líneas de reflexión atraviesan ambos bordes y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro central.

La simetría de cada subgrupo permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g10 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .

Los decágonos irregulares de mayor simetría son d10 , un decágono isogonal construido por cinco espejos que pueden alternar bordes largos y cortos, y p10 , un decágono isotóxico , construido con longitudes de borde iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del decágono regular.

Disección

Proyección de 10 cubos	40 disección de rombos

Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el decágono regular , m = 5, y se puede dividir en 10 rombos, con ejemplos que se muestran a continuación. Esta descomposición se puede ver como 10 de 80 caras en un plano de proyección del polígono de Petrie del 5-cubo . Una disección se basa en 10 de 30 caras del triacontaedro rómbico . La lista OEIS : A006245 define el número de soluciones como 62, con 2 orientaciones para la primera forma simétrica y 10 orientaciones para las otras 6.

Decágono regular diseccionado en 10 rombos
5 cubos

Inclinar decagon

3 decagones en zig-zag sesgados regulares
{5} # {}	{5/2} # {}	{5/3} # {}

Un decágono sesgado regular se ve como bordes en zigzag de un antiprisma pentagonal , un antiprisma pentagrammico y un antiprisma cruzado pentagrammico .

Un decágono sesgado es un polígono sesgado con 10 vértices y aristas, pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal decágono no está generalmente definido. Un decágono en zig-zag sesgado tiene vértices que alternan entre dos planos paralelos.

Un decágono de sesgo regular es transitivo a vértices con longitudes de borde iguales. En 3-dimensiones que será un decágono skew zig-zag y se puede ver en los vértices y aristas laterales de una antiprisma pentagonal , antiprisma pentagrammic , y pentagrammic-antiprisma cruzado con el mismo D _5d , [2 ⁺ , 10] simetría, orden 20.

Estos también se pueden ver en estos 4 poliedros convexos con simetría icosaédrica . Los polígonos en el perímetro de estas proyecciones son decagones sesgados regulares.

Proyecciones ortogonales de poliedros en 5 ejes
Dodecaedro	Icosaedro	Icosidodecaedro	Triacontaedro rómbico

Polígonos de Petrie

El decágono de sesgo regular es el polígono de Petrie para muchos politopos de dimensiones superiores, que se muestra en estas proyecciones ortogonales en varios planos de Coxeter : El número de lados en el polígono de Petrie es igual al número de Coxeter , h , para cada familia de simetría.