Ecuación de estado (cosmología) - Equation of state (cosmology)

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En cosmología , la ecuación de estado de un fluido perfecto se caracteriza por un número adimensional , igual a la relación entre su presión y su densidad de energía  : ${\ Displaystyle w}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle w \ equiv {\ frac {p} {\ rho}}}$.

Está estrechamente relacionado con la ecuación termodinámica del estado y la ley de los gases ideales .

La ecuacion

La ecuación de estado del gas perfecto se puede escribir como

${\ Displaystyle p = \ rho _ {m} RT = \ rho _ {m} C ^ {2}}$

donde es la densidad de masa, es la constante de gas particular, es la temperatura y es una velocidad térmica característica de las moléculas. Por lo tanto ${\ Displaystyle \ rho _ {m}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle C = {\ sqrt {RT}}}$

${\ Displaystyle w \ equiv {\ frac {p} {\ rho}} = {\ frac {\ rho _ {m} C ^ {2}} {\ rho _ {m} c ^ {2}}} = { \ frac {C ^ {2}} {c ^ {2}}} \ approx 0}$

dónde está la velocidad de la luz, y para un gas "frío". ${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle \ rho = \ rho _ {m} c ^ {2}}$${\ Displaystyle C \ ll c}$

Ecuaciones FLRW y ecuación de estado

La ecuación de estado se puede utilizar en las ecuaciones de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) para describir la evolución de un universo isotrópico lleno de un fluido perfecto. Si es el factor de escala, entonces ${\ Displaystyle a}$

${\ Displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 3 (1 + w)}.}$

Si el fluido es la forma dominante de materia en un universo plano , entonces

${\ Displaystyle a \ propto t ^ {\ frac {2} {3 (1 + w)}},}$

donde es el momento adecuado. ${\ Displaystyle t}$

En general, la ecuación de aceleración de Friedmann es

${\ Displaystyle 3 {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = \ Lambda -4 \ pi G (\ rho + 3p)}$

donde es la constante cosmológica y es la constante de Newton , y es la segunda derivada de tiempo propia del factor de escala. ${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ ddot {a}}}$

Si definimos (lo que podría llamarse "efectivo") la densidad de energía y la presión como

${\ Displaystyle \ rho ^ {\ prime} \ equiv \ rho + {\ frac {\ Lambda} {8 \ pi G}}}$

${\ Displaystyle p ^ {\ prime} \ equiv p - {\ frac {\ Lambda} {8 \ pi G}}}$

y

${\ Displaystyle p ^ {\ prime} = w ^ {\ prime} \ rho ^ {\ prime}}$

la ecuación de aceleración se puede escribir como

${\ Displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4} {3}} \ pi G \ left (\ rho ^ {\ prime} + 3p ^ {\ prime} \ derecha) = - {\ frac {4} {3}} \ pi G (1 + 3w ^ {\ prime}) \ rho ^ {\ prime}}$

Partículas no relativistas

La ecuación de estado para la "materia" ordinaria no relativista (por ejemplo, polvo frío) es , lo que significa que su densidad de energía disminuye a medida que , donde es un volumen. En un universo en expansión, la energía total de la materia no relativista permanece constante y su densidad disminuye a medida que aumenta el volumen. ${\ Displaystyle w = 0}$${\ Displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 3} = V ^ {- 1}}$${\ Displaystyle V}$

Partículas ultrarrelativistas

La ecuación de estado para la 'radiación' ultrarrelativista (incluidos los neutrinos y, en el universo temprano, otras partículas que luego se volvieron no relativistas) es lo que significa que su densidad de energía disminuye a medida que . En un universo en expansión, la densidad de energía de la radiación disminuye más rápidamente que la expansión de volumen, porque su longitud de onda se desplaza hacia el rojo . ${\ Displaystyle w = 1/3}$${\ Displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 4}}$

Aceleración de la inflación cósmica

La inflación cósmica y la expansión acelerada del universo se pueden caracterizar por la ecuación de estado de la energía oscura . En el caso más simple, la ecuación de estado de la constante cosmológica es . En este caso, la expresión anterior para el factor de escala no es válida y , donde la constante H es el parámetro de Hubble . De manera más general, la expansión del universo se acelera para cualquier ecuación de estado . De hecho, se observó la expansión acelerada del Universo. Según las observaciones, el valor de la ecuación de estado de la constante cosmológica está cerca de -1. ${\ Displaystyle w = -1}$${\ Displaystyle a \ propto e ^ {Ht}}$${\ Displaystyle w <-1/3}$

La energía fantasma hipotética tendría una ecuación de estado y causaría un Big Rip . Usando los datos existentes, todavía es imposible distinguir entre fantasmas y no fantasmas . ${\ Displaystyle w <-1}$${\ Displaystyle w <-1}$${\ Displaystyle w \ geq -1}$

Fluidos

En un universo en expansión, los fluidos con ecuaciones de estado más grandes desaparecen más rápidamente que aquellos con ecuaciones de estado más pequeñas. Este es el origen de los problemas de planitud y monopolos del Big Bang : la curvatura tiene y los monopolos , por lo que si existían en el momento del Big Bang temprano, todavía deberían ser visibles hoy. Estos problemas se resuelven mediante la inflación cósmica que tiene . Medir la ecuación de estado de la energía oscura es uno de los mayores esfuerzos de la cosmología observacional . Al medir con precisión , se espera que la constante cosmológica pueda distinguirse de la quintaesencia que tiene . ${\ Displaystyle w = -1 / 3}$${\ Displaystyle w = 0}$${\ Displaystyle w \ approx -1}$${\ Displaystyle w}$${\ Displaystyle w \ neq -1}$

Modelado escalar

Un campo escalar puede verse como una especie de fluido perfecto con ecuación de estado ${\ Displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle {w = {\ frac {{\ frac {1} {2}} {\ dot {\ phi}} ^ {2} -V (\ phi)} {{\ frac {1} {2}} {\ dot {\ phi}} ^ {2} + V (\ phi)}},}}$

donde es la derivada en el tiempo de y es la energía potencial. A libre campo escalar tiene , y uno con fuga energía cinética es equivalente a una constante cosmológica: . Cualquier ecuación de estado en el medio, pero sin cruzar la barrera conocida como Línea Divisoria Fantasma (PDL), es alcanzable, lo que hace que los campos escalares sean modelos útiles para muchos fenómenos en cosmología. ${\ Displaystyle {\ dot {\ phi}}}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle V (\ phi)}$${\ Displaystyle (V = 0)}$${\ Displaystyle w = 1}$${\ Displaystyle w = -1}$${\ Displaystyle w = -1}$

Notas