Ecuaciones de Friedmann - Friedmann equations

Las ecuaciones de Friedmann son un conjunto de ecuaciones en cosmología física que gobiernan la expansión del espacio en modelos homogéneos e isotrópicos del universo dentro del contexto de la relatividad general . Fueron derivados por primera vez por Alexander Friedmann en 1922 a partir de las ecuaciones de campo de gravitación de Einstein para la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker y un fluido perfecto con una determinada densidad de masa y presión . Las ecuaciones para la curvatura espacial negativa fueron dadas por Friedmann en 1924.

Supuestos

Las ecuaciones de Friedmann comienzan con el supuesto simplificador de que el universo es espacialmente homogéneo e isotrópico , es decir, el principio cosmológico ; empíricamente, esto se justifica en escalas superiores a ~ 100 Mpc . El principio cosmológico implica que la métrica del universo debe ser de la forma

donde es una métrica tridimensional que debe ser una de (a) espacio plano, (b) una esfera de curvatura positiva constante o (c) un espacio hiperbólico con curvatura negativa constante. Esta métrica se denomina métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). El parámetro que se analiza a continuación toma el valor 0, 1, -1 o la curvatura gaussiana , en estos tres casos respectivamente. Es este hecho el que nos permite hablar con sensatez de un " factor de escala " .

Las ecuaciones de Einstein ahora relacionan la evolución de este factor de escala con la presión y la energía de la materia en el universo. A partir de la métrica FLRW calculamos los símbolos de Christoffel y luego el tensor de Ricci . Con el tensor de tensión-energía para un fluido perfecto, los sustituimos en las ecuaciones de campo de Einstein y las ecuaciones resultantes se describen a continuación.

Ecuaciones

Hay dos ecuaciones de Friedmann independientes para modelar un universo isotrópico homogéneo. El primero es:

que se deriva del componente 00 de las ecuaciones de campo de Einstein . La segunda es:

que se deriva de la primera junto con la traza de las ecuaciones de campo de Einstein (la dimensión de las dos ecuaciones es el tiempo -2 ).

es el factor de escala , G , Λ yc son constantes universales ( G es la constante gravitacional de Newton , Λ es la constante cosmológica (su dimensión es la longitud -2 ) yc es la velocidad de la luz en el vacío ). ρ y p son la densidad de masa volumétrica (y no la densidad de energía volumétrica) y la presión, respectivamente. k es constante en una solución particular, pero puede variar de una solución a otra.

En las ecuaciones anteriores,, ρ y p son funciones del tiempo. es la curvatura espacial en cualquier segmento de tiempo del universo; es igual a un sexto del escalar de curvatura espacial R de Ricci ya que

en el modelo de Friedmann. es el parámetro de Hubble .

Vemos que en las ecuaciones de Friedmann, a (t) no depende del sistema de coordenadas que elegimos para los cortes espaciales. Hay dos opciones de uso común para y k que describen la física de los mismos:

  • k = +1, 0 o -1 dependiendo de si la forma del universo es una esfera cerrada de 3 , plana (es decir, un espacio euclidiano ) o un hiperboloide 3- abierto , respectivamente. Si k = +1, entonces es el radio de curvatura del universo. Si k = 0, entonces puede fijarse a cualquier número positivo arbitrario en un momento particular. Si k = −1, entonces (en términos generales) se puede decir que es el radio de curvatura del universo.
  • es el factor de escala que se considera 1 en la actualidad. es la curvatura espacial cuando (es decir, hoy). Si la forma del universo es hiperesférica y es el radio de curvatura ( en la actualidad), entonces . Si es positivo, entonces el universo es hiperesférico. Si es cero, entonces el universo es plano . Si es negativo, entonces el universo es hiperbólico .

Usando la primera ecuación, la segunda ecuación se puede volver a expresar como

que elimina y expresa la conservación de masa-energía

Estas ecuaciones a veces se simplifican reemplazando

dar:

La forma simplificada de la segunda ecuación es invariante bajo esta transformación.

El parámetro de Hubble puede cambiar con el tiempo si otras partes de la ecuación dependen del tiempo (en particular, la densidad de masa, la energía del vacío o la curvatura espacial). La evaluación del parámetro de Hubble en el momento actual produce la constante de Hubble, que es la constante de proporcionalidad de la ley de Hubble . Aplicadas a un fluido con una ecuación de estado dada , las ecuaciones de Friedmann producen la evolución temporal y la geometría del universo en función de la densidad del fluido.

Algunos cosmólogos llaman a la segunda de estas dos ecuaciones la ecuación de aceleración de Friedmann y reservan el término ecuación de Friedmann solo para la primera ecuación.

Parámetro de densidad

El parámetro de densidad se define como la relación entre la densidad real (u observada) y la densidad crítica del universo de Friedmann. La relación entre la densidad real y la densidad crítica determina la geometría general del universo; cuando son iguales, la geometría del universo es plana (euclidiana). En modelos anteriores, que no incluían un término de constante cosmológica , la densidad crítica se definía inicialmente como el punto de división entre un Universo en expansión y uno en contracción.

Hasta la fecha, se estima que la densidad crítica es de aproximadamente cinco átomos (de hidrógeno monoatómico ) por metro cúbico, mientras que se cree que la densidad media de la materia ordinaria en el Universo es de 0,2 a 0,25 átomos por metro cúbico.

Distribución relativa estimada de los componentes de la densidad de energía del universo. La energía oscura domina la energía total (74%) mientras que la materia oscura (22%) constituye la mayor parte de la masa. De la materia bariónica restante (4%), solo una décima parte es compacta. En febrero de 2015, el equipo de investigación liderado por Europa detrás de la sonda cosmológica de Planck publicó nuevos datos que refinaban estos valores a un 4,9% de materia ordinaria, un 25,9% de materia oscura y un 69,1% de energía oscura.

Una densidad mucho mayor proviene de la materia oscura no identificada ; tanto la materia ordinaria como la oscura contribuyen a la contracción del universo. Sin embargo, la mayor parte proviene de la llamada energía oscura , que explica el término constante cosmológica. Aunque la densidad total es igual a la densidad crítica (exactamente, hasta el error de medición), la energía oscura no conduce a la contracción del universo sino que puede acelerar su expansión. Por lo tanto, es probable que el universo se expanda para siempre.

Se encuentra una expresión para la densidad crítica asumiendo que Λ es cero (como lo es para todos los universos de Friedmann básicos) y estableciendo la curvatura espacial normalizada, k , igual a cero. Cuando se aplican las sustituciones a la primera de las ecuaciones de Friedmann encontramos:

(donde h = H o / (100 km / s / Mpc). Para H o = 67,4 km / s / Mpc, es decir, h = 0,674, ρ c = 8,5 × 10 −27 kg / m 3 )

El parámetro de densidad (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se define entonces como:

Este término originalmente se usó como un medio para determinar la geometría espacial del universo, donde es la densidad crítica para la cual la geometría espacial es plana (o euclidiana). Suponiendo una densidad de energía del vacío cero, si es mayor que la unidad, las secciones espaciales del universo están cerradas; el universo finalmente dejará de expandirse y luego colapsará. Si es menor que la unidad, están abiertos; y el universo se expande para siempre. Sin embargo, también se pueden subsumir los términos de curvatura espacial y energía del vacío en una expresión más general, en cuyo caso este parámetro de densidad es exactamente igual a la unidad. Entonces se trata de medir los diferentes componentes, generalmente designados por subíndices. Según el modelo ΛCDM , hay componentes importantes de debido a bariones , materia oscura fría y energía oscura . La nave espacial WMAP ha medido que la geometría espacial del universo es casi plana. Esto significa que el universo puede aproximarse bien mediante un modelo en el que el parámetro de curvatura espacial es cero; sin embargo, esto no implica necesariamente que el universo sea infinito: podría ser simplemente que el universo es mucho más grande que la parte que vemos. (De manera similar, el hecho de que la Tierra sea ​​aproximadamente plana a la escala de los Países Bajos no implica que la Tierra sea plana: solo implica que es mucho más grande que los Países Bajos).

La primera ecuación de Friedmann se ve a menudo en términos de los valores actuales de los parámetros de densidad, es decir

Aquí está la densidad de radiación hoy (es decir, cuándo ), es la densidad de materia ( oscura más bariónica ) hoy, es la "densidad de curvatura espacial" hoy, y es la constante cosmológica o densidad de vacío hoy.

Soluciones útiles

Las ecuaciones de Friedmann se pueden resolver exactamente en presencia de un fluido perfecto con ecuación de estado

donde es la presión , es la densidad de masa del fluido en el marco comoving y es una constante.

En un caso espacialmente plano ( k  = 0), la solución para el factor de escala es

donde hay alguna constante de integración que se fijará mediante la elección de las condiciones iniciales. Esta familia de soluciones etiquetadas por es extremadamente importante para la cosmología. Por ejemplo, describe un universo dominado por la materia , donde la presión es insignificante con respecto a la densidad de masa. De la solución genérica uno ve fácilmente que en un universo dominado por la materia el factor de escala va

dominado por la materia

Otro ejemplo importante es el caso de un universo dominado por la radiación , es decir, cuándo . Esto lleva a

radiación dominada

Tenga en cuenta que esta solución no es válida para el dominio de la constante cosmológica, que corresponde a un . En este caso, la densidad de energía es constante y el factor de escala crece exponencialmente.

Se pueden encontrar soluciones para otros valores de k en Tersic, Balsa. "Notas de la conferencia sobre astrofísica" (PDF) . Consultado el 20 de julio de 2011 ..

Mezclas

Si la materia es una mezcla de dos o más fluidos que no interactúan, cada uno con tal ecuación de estado, entonces

se sostiene por separado para cada uno de estos fluidos f . En cada caso,

de donde obtenemos

Por ejemplo, se puede formar una combinación lineal de tales términos

donde: A es la densidad del "polvo" (materia ordinaria, w  = 0) cuando  = 1; B es la densidad de radiación ( w  = 1/3) cuando  = 1; y C es la densidad de la "energía oscura" ( w = -1). Luego se sustituye esto en

y resuelve en función del tiempo.

Derivación detallada

Para hacer las soluciones más explícitas, podemos derivar las relaciones completas de la primera ecuación de Friedman:

con

Reorganizar y cambiar para usar variables y para la integración

Se pueden encontrar soluciones para la dependencia del factor de escala con respecto al tiempo para universos dominados por cada componente. En cada uno también hemos asumido que , que es lo mismo que asumir que la fuente dominante de densidad de energía es .

Porque la Materia dominaba los universos, dónde y , así como .

que recupera lo antes mencionado

Para los universos dominados por la radiación, donde y , así como

Para los universos dominados, dónde y , así como , y dónde ahora cambiaremos nuestros límites de integración de a y de la misma manera a .

La solución del universo dominado es de particular interés porque la segunda derivada con respecto al tiempo es positiva, distinta de cero; en otras palabras, implica una expansión acelerada del universo, lo que lo convierte en un candidato para la energía oscura :

Donde por construcción , nuestras suposiciones fueron , y se ha medido que son positivas, lo que obligó a la aceleración a ser mayor que cero.

Ecuación de Friedmann reescalada

Establecer , dónde y son por separado el factor de escala y el parámetro de Hubble hoy. Entonces podemos tener

donde . Para cualquier forma del potencial efectivo , existe una ecuación de estado que lo producirá.

Ver también

Notas

Otras lecturas