Ecualizador (matemáticas) - Equaliser (mathematics)

En matemáticas , un ecualizador es un conjunto de argumentos donde dos o más funciones tienen valores iguales . Un ecualizador es el conjunto de solución de una ecuación . En ciertos contextos, un kernel de diferencia es el ecualizador de exactamente dos funciones.

Definiciones

Deje que X y Y ser conjuntos . Deje que f y g ser funciones , tanto desde X a Y . Entonces, el ecualizador de f y g es el conjunto de elementos x de X tal que f ( x ) es igual a g ( x ) en Y . Simbólicamente:

${\ Displaystyle \ operatorname {Eq} (f, g): = \ {x \ in X \ mid f (x) = g (x) \}.}$

El ecualizador puede denominarse Eq ( f , g ) o una variación de ese tema (como con letras minúsculas "eq"). En contextos informales, la notación { f = g } es común.

La definición anterior usó dos funciones f y g , pero no es necesario restringir solo a dos funciones, o incluso a un número finito de funciones. En general, si F es un conjunto de funciones de X a Y , entonces el ecualizador de los miembros de F es el conjunto de elementos x de X tal que, dados cualesquiera dos miembros f y g de F , f ( x ) es igual a g ( x ) en Y . Simbólicamente:

${\ Displaystyle \ operatorname {Eq} ({\ mathcal {F}}): = \ {x \ in X \ mid \ forall f, g \ in {\ mathcal {F}}, \; f (x) = g (X)\}.}$

Este ecualizador puede escribirse como Eq ( f , g , h , ...) si es el conjunto { f , g , h , ...}. En el último caso, también se puede encontrar { f = g = h = ···} en contextos informales. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Como caso degenerado de la definición general, sea F un singleton { f }. Desde f ( x ) siempre es igual a sí mismo, el ecualizador debe ser todo el dominio X . Como caso aún más degenerado, sea F el conjunto vacío . Entonces, el ecualizador es nuevamente el dominio X completo , ya que la cuantificación universal en la definición es vacuosamente verdadera .

Núcleos de diferencia

Un ecualizador binario (es decir, un ecualizador de solo dos funciones) también se denomina núcleo de diferencia . Esto también se puede denotar como DiffKer ( f , g ), Ker ( f , g ) o Ker ( f - g ). La última notación muestra de dónde proviene esta terminología y por qué es más común en el contexto del álgebra abstracta : el núcleo de diferencia de f y g es simplemente el núcleo de la diferencia f - g . Además, el núcleo de una sola función f se puede reconstruir como la diferencia del núcleo Eq ( f , 0), donde 0 es la función constante con valor cero .

Por supuesto, todo esto presupone un contexto algebraico donde el núcleo de una función es la preimagen de cero bajo esa función; eso no es cierto en todas las situaciones. Sin embargo, la terminología "núcleo de diferencia" no tiene otro significado.

En teoría de categorías

Los ecualizadores pueden definirse mediante una propiedad universal , que permite generalizar la noción de la categoría de conjuntos a categorías arbitrarias .

En el contexto general, X y Y son objetos, mientras que f y g son morfismos de X a Y . Estos objetos y morfismos forman un diagrama en la categoría en cuestión, y el ecualizador es simplemente el límite de ese diagrama.

En términos más explícitos, el ecualizador consiste en un objeto E y un morfismo eq  : E → X satisfactorio , y tal que, dado cualquier objeto O y morfismo m  : O → X , si , entonces existe un morfismo único u  : O → E tal que . ${\ Displaystyle f \ circ eq = g \ circ eq}$${\ Displaystyle f \ circ m = g \ circ m}$${\ Displaystyle eq \ circ u = m}$

Se dice que un morfismo iguala y si . ${\ displaystyle m: O \ rightarrow X}$ ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle f \ circ m = g \ circ m}$

En cualquier categoría algebraica universal , incluidas las categorías en las que se utilizan núcleos de diferencia, así como la categoría de conjuntos en sí, el objeto E siempre puede tomarse como la noción ordinaria de ecualizador, y el morfismo eq puede en ese caso tomarse como ser la función de inclusión de E como un subconjunto de X .

La generalización de esto a más de dos morfismos es sencilla; simplemente use un diagrama más grande con más morfismos. El caso degenerado de un solo morfismo también es sencillo; entonces eq puede ser cualquier isomorfismo de un objeto E a X .

El diagrama correcto para el caso degenerado sin morfismos es ligeramente sutil: uno podría dibujar inicialmente el diagrama como si estuviera compuesto por los objetos X e Y y sin morfismos. Sin embargo, esto es incorrecto, ya que el límite de dicho diagrama es el producto de X e Y , en lugar del ecualizador. (Y, de hecho, los productos y los ecualizadores son conceptos diferentes: la definición de producto de la teoría de conjuntos no concuerda con la definición de la teoría de conjuntos del ecualizador mencionada anteriormente, por lo tanto, en realidad son diferentes). En cambio, la idea adecuada es que cada diagrama de ecualizador está fundamentalmente relacionado con X , incluyendo Y sólo porque Y es el codominio de morfismos que aparecen en el diagrama. Con esta vista, vemos que si no hay morfismos involucrados, Y no hace acto de presencia y el diagrama del ecualizador consta de X solo. El límite de este diagrama es entonces cualquier isomorfismo entre E y X .

Se puede demostrar que cualquier ecualizador en cualquier categoría es un monomorfismo . Si lo contrario se cumple en una categoría dada, entonces se dice que esa categoría es regular (en el sentido de monomorfismos). De manera más general, un monomorfismo regular en cualquier categoría es cualquier morfismo m que sea un ecualizador de algún conjunto de morfismos. Algunos autores exigen más estrictamente que m sea ​​un ecualizador binario , es decir, un ecualizador de exactamente dos morfismos. Sin embargo, si la categoría en cuestión está completa , ambas definiciones concuerdan.

La noción de núcleo de diferencia también tiene sentido en un contexto de teoría de categorías. La terminología "núcleo de diferencias" es común en toda la teoría de categorías para cualquier ecualizador binario. En el caso de una categoría preaditiva (una categoría enriquecida sobre la categoría de grupos abelianos ), el término "núcleo de diferencia" puede interpretarse literalmente, ya que la resta de morfismos tiene sentido. Es decir, Eq ( f , g ) = Ker ( f - g ), donde Ker denota el núcleo de teoría de categorías .

Cualquier categoría con productos de fibra (pullbacks) y productos tiene ecualizadores.

Ver también

• Coequaliser , la noción dual , que se obtiene invirtiendo las flechas en la definición del ecualizador.
• Teoría de la coincidencia , un enfoque topológico de los conjuntos de ecualizadores en espacios topológicos .
• Pullback , un límite especial que se puede construir a partir de ecualizadores y productos.

Notas

Referencias

• Ecualizador en nLab

enlaces externos

• Página web interactiva que genera ejemplos de ecualizadores en la categoría de conjuntos finitos. Escrito por Jocelyn Paine .