Duplicar el cubo - Doubling the cube

Un cubo unitario (lado = 1) y un cubo con el doble de volumen (lado = ³ √ 2 = 1.2599210498948732… OEIS :  A002580 ).

Duplicar el cubo , también conocido como el problema de Delian , es un antiguo problema geométrico . Dado el borde de un cubo , el problema requiere la construcción del borde de un segundo cubo cuyo volumen es el doble que el del primero. Al igual que con los problemas relacionados de cuadrar el círculo y trisecar el ángulo , ahora se sabe que doblar el cubo es imposible usando solo un compás y una regla , pero incluso en la antigüedad se conocían soluciones que empleaban otras herramientas.

Los egipcios , los indios y, en particular, los griegos eran conscientes del problema e hicieron muchos intentos inútiles por resolver lo que veían como un problema obstinado pero soluble. Sin embargo, Pierre Wantzel finalmente demostró la inexistencia de una solución de brújula y regla en 1837.

En términos algebraicos, duplicar un cubo unitario requiere la construcción de un segmento de línea de longitud x , donde x ³ = 2 ; en otras palabras, x = ³ √ 2 , la raíz cúbica de dos . Esto se debe a que un cubo de longitud de lado 1 tiene un volumen de 1 ³ = 1 , y un cubo de dos veces ese volumen (un volumen de 2) tiene una longitud de lado de la raíz cúbica de 2. Por lo tanto, la imposibilidad de duplicar el cubo es equivalente a la afirmación de que ³ √ 2 no es un número construible . Esto es consecuencia del hecho de que las coordenadas de un nuevo punto construido por un compás y una regla son raíces de polinomios sobre el campo generado por las coordenadas de puntos anteriores, de grado no mayor que una cuadrática . Esto implica que el grado de extensión de campo generado por un punto construible debe ser una potencia de 2. La extensión de campo generada por ³ √ 2 , sin embargo, es de grado 3.

Prueba de imposibilidad

Comenzamos con el segmento de línea unitaria definido por los puntos (0,0) y (1,0) en el plano . Estamos obligados a construir un segmento de línea definido por dos puntos separados por una distancia de ³ √ 2 . Se muestra fácilmente que las construcciones de brújula y regla permitirían que tal segmento de línea se mueva libremente para tocar el origen , paralelo al segmento de línea unitario; de manera equivalente, podemos considerar la tarea de construir un segmento de línea de (0,0) a ( ³ √ 2 , 0), lo que implica construir el punto ( ³ √ 2 , 0).

Respectivamente, las herramientas de compás y regla nos permiten crear círculos centrados en un punto previamente definido y que pasan por otro, y crear líneas que pasan por dos puntos previamente definidos. Cualquier punto recién definido surge como resultado de la intersección de dos de esos círculos, como la intersección de un círculo y una línea, o como la intersección de dos líneas. Un ejercicio de geometría analítica elemental muestra que en los tres casos, las coordenadas x e y del punto recién definido satisfacen un polinomio de grado no mayor que un cuadrático, con coeficientes que son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones que involucran las coordenadas de los puntos previamente definidos (y números racionales). Reexpresado en la terminología más abstracto, los nuevos x - y Y coordenadas x tienen polinomios mínimos de grado en la mayoría de 2 sobre el subcampo de ℝ generada por las coordenadas anteriores. Por tanto, el grado de extensión del campo correspondiente a cada nueva coordenada es 2 o 1.

Entonces, dada una coordenada de cualquier punto construido, podemos proceder inductivamente hacia atrás a través de las coordenadas x e y de los puntos en el orden en que fueron definidos hasta que alcancemos el par original de puntos (0,0) y (1, 0). Como toda extensión de campo tiene un grado 2 o 1, y como la extensión de campo sobre ℚ de las coordenadas del par de puntos original es claramente de grado 1, de la regla de la torre se sigue que el grado de extensión del campo sobre ℚ de cualquier coordenada de un punto construido es una potencia de 2 .

Ahora, p ( x ) = x ³ - 2 = 0 se ve fácilmente como irreductible sobre ℤ ; cualquier factorización implicaría un factor lineal ( x - k ) para algún k ∈ ℤ , por lo que k debe ser una raíz de p ( x ) ; pero también k debe dividir 2, es decir, k = 1, 2, −1 o −2 , y ninguno de estos son raíces de p ( x ) . Según el lema de Gauss , p ( x ) también es irreducible sobre ℚ y, por lo tanto, es un polinomio mínimo sobre ℚ para ³ √ 2 . La extensión del campo ℚ ( ³ √ 2 ): ℚ es por lo tanto de grado 3. Pero esto no es una potencia de 2, por lo que por lo anterior, ³ √ 2 no es la coordenada de un punto construible, y por lo tanto un segmento de recta de ³ √ 2 no se puede construir y el cubo no se puede duplicar.

Historia

El problema debe su nombre a una historia sobre los ciudadanos de Delos , que consultaron el oráculo de Delfos para aprender cómo derrotar una plaga enviada por Apolo . Según Plutarco , fueron los ciudadanos de Delos quienes consultaron el oráculo de Delfos , buscando una solución a sus problemas políticos internos en ese momento, que habían intensificado las relaciones entre los ciudadanos. El oráculo respondió que debían duplicar el tamaño del altar de Apolo, que era un cubo regular. La respuesta les pareció extraña a los de Delos, y consultaron a Platón , quien supo interpretar el oráculo como el problema matemático de doblar el volumen de un cubo dado, explicando así el oráculo como el consejo de Apolo para que los ciudadanos de Delos se ocuparan. con el estudio de la geometría y las matemáticas para calmar sus pasiones.

De acuerdo con Plutarco , Platón dio el problema de Eudoxo y Arquitas y Menecmo , que resolvió el problema utilizando medios mecánicos, ganando una reprimenda de Platón por no resolver el problema con la geometría pura . Esta puede ser la razón por la que el autor del pseudoplatónico Sísifo (388e) se refiere al problema en el año 350 a. C. como aún sin resolver. Sin embargo, otra versión de la historia (atribuida a Eratóstenes por Eutocius de Ascalon ) dice que los tres encontraron soluciones pero eran demasiado abstractas para ser de valor práctico.

Un avance significativo en la búsqueda de una solución al problema fue el descubrimiento de Hipócrates de Quíos de que es equivalente a encontrar dos proporcionales medias entre un segmento de línea y otro con el doble de longitud. En notación moderna, esto significa que los segmentos dados de longitudes a y 2 a , la duplicación del cubo es equivalente a encontrar segmentos de longitudes de r y s de modo que

${\ Displaystyle {\ frac {a} {r}} = {\ frac {r} {s}} = {\ frac {s} {2a}}.}$

A su vez, esto significa que

${\ Displaystyle r = a \ cdot {\ sqrt [{3}] {2}}.}$

Pero Pierre Wantzel demostró en 1837 que la raíz cúbica de 2 no es construible ; es decir, no se puede construir con regla y compás .

Soluciones a través de medios distintos al compás y la regla

La solución original de Menaechmus implica la intersección de dos curvas cónicas . Otros métodos más complicados para doblar el cubo involucran a neusis , el cissoide de Diocles , el concoide de Nicomedes o la línea Philo . Pandrosion , una matemática probablemente mujer de la antigua Grecia, encontró una solución aproximada numéricamente precisa utilizando planos en tres dimensiones, pero fue muy criticada por Pappus de Alejandría por no proporcionar una prueba matemática adecuada . Archytas resolvió el problema en el siglo IV a. C. utilizando la construcción geométrica en tres dimensiones, determinando un cierto punto como la intersección de tres superficies de revolución.

Las afirmaciones falsas de doblar el cubo con brújula y regla abundan en la literatura de manivela matemática ( pseudomatemática ).

El origami también se puede usar para construir la raíz cúbica de dos doblando papel .

Usando una regla marcada

Hay una construcción neusis simple que usa una regla marcada para una longitud que es la raíz cúbica de 2 veces otra longitud.

1. Marque una regla con la longitud dada; esto eventualmente será GH.
2. Construye un triángulo equilátero ABC con la longitud dada como lado.
3. Extiende AB una cantidad igual de nuevo a D.
4. Extienda la línea BC formando la línea CE.
5. Extienda la línea DC formando la línea CF
6. Coloque la regla marcada de modo que pase por A y un extremo, G, de la longitud marcada caiga sobre el rayo CF y el otro extremo de la longitud marcada, H, sobre el rayo CE. Por tanto, GH es la longitud dada.

Entonces AG es la longitud dada multiplicada por ³ √ 2 .

En teoría musical

En teoría musical , un análogo natural de la duplicación es la octava (un intervalo musical causado por duplicar la frecuencia de un tono), y un análogo natural de un cubo es dividir la octava en tres partes, cada una con el mismo intervalo . En este sentido, el problema de doblar el cubo lo resuelve el tercio mayor en temperamento igual . Este es un intervalo musical que es exactamente un tercio de octava. Multiplica la frecuencia de un tono por 2 ^{4 ⁄ 12} = 2 ^{1 ⁄ 3} = ³ √ 2 , la longitud del lado del cubo de Delian.

Notas

Referencias

enlaces externos

• Medios relacionados con Duplicar el cubo en Wikimedia Commons
• "Duplicación del cubo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Duplicar el cubo . JJ O'Connor y EF Robertson en el archivo MacTutor History of Mathematics.
• Doblar un cubo: la solución de Archytas . Extraído con permiso de A History of Greek Mathematics por Sir Thomas Heath.
• Problema de Delian resuelto. ¿O es eso? al cortar el nudo .
• Duplicación del cubo, construcción de proximidad como animación (lado = 1,259921049894873)
• Video de Mathologer: "2000 años sin resolver: ¿Por qué es imposible doblar cubos y cuadrar círculos?"