Círculo de directores - Director circle

Una elipse, su cuadro delimitador mínimo y su círculo director.

En geometría , el círculo director de una elipse o hipérbola (también llamado círculo ortóptico o círculo de Fermat-Apolonio ) es un círculo que consta de todos los puntos donde se cruzan dos líneas tangentes perpendiculares a la elipse o hipérbola.

Propiedades

El círculo director de una elipse circunscribe el cuadro delimitador mínimo de la elipse. Tiene el mismo centro que la elipse, con radio , donde y son el semieje mayor y el semieje menor de la elipse. Además, tiene la propiedad de que, cuando se ve desde cualquier punto del círculo, la elipse abarca un ángulo recto . ${\ Displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$

El círculo director de una hipérbola tiene radio √ a ² - b ² , por lo que puede no existir en el plano euclidiano , pero podría ser un círculo con radio imaginario en el plano complejo .

Generalización

Más en general, para cualquier colección de puntos P _i , los pesos w _i , y constante C , se puede definir un círculo como el lugar geométrico de puntos X de tal manera que

${\ Displaystyle \ sum w_ {i} \, d ^ {2} (X, P_ {i}) = C.}$

El círculo director de una elipse es un caso especial de esta construcción más general con dos puntos P ₁ y P ₂ en los focos de la elipse, pesos w ₁  =  w ₂  = 1 y C igual al cuadrado del eje mayor de la elipse. El círculo de Apolonio , el lugar geométrico de los puntos X tal que la razón de las distancias de X a dos focos P ₁ y P ₂ es una constante fija r , es otro caso especial, con w ₁  = 1, w ₂  = - r ² , y C  = 0.

Construcciones relacionadas

En el caso de una parábola, el círculo director degenera en una línea recta, la directriz de la parábola.

Notas

Referencias

• Akopyan, AV; Zaslavsky, AA (2007), Geometry of Conics , Mathematical World, 26 , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4323-9.
• Cremona, Luigi (1885), Elementos de geometría proyectiva , Oxford: Clarendon Press, p. 369.
• Faulkner, T.Ewan (1952), Geometría proyectiva , Edimburgo y Londres: Oliver y Boyd
• Hawkesworth, Alan S. (1905), "Algunas nuevas proporciones de curvas cónicas", The American Mathematical Monthly , 12 (1): 1–8, doi : 10.2307 / 2968867 , MR  1516260.
• Loney, Sidney Luxton (1897), Los elementos de la geometría coordinada , Londres: Macmillan and Company, Limited, p. 365.
• Wentworth, George Albert (1886), Elementos de geometría analítica , Ginn & Company, p. 150.