Descenso (matemáticas) - Descent (mathematics)

En matemáticas , la idea de descendencia amplía la idea intuitiva de "pegar" en topología . Dado que el pegamento de los topólogos es el uso de relaciones de equivalencia en espacios topológicos , la teoría comienza con algunas ideas sobre identificación.

Descenso de paquetes de vectores

El caso de la construcción de paquetes vectoriales a partir de datos sobre una unión disjunta de espacios topológicos es un lugar sencillo para comenzar.

Suponga que X es un espacio topológico cubierto por conjuntos abiertos X _i . Sea Y la unión disjunta de X _i , de modo que haya un mapeo natural

${\ displaystyle p: Y \ rightarrow X.}$

Pensamos en Y como 'por encima' X , el X _i proyección de 'abajo' en X . Con este lenguaje, la descendencia implica un paquete vectorial en Y (entonces, un paquete dado en cada X _i ), y nuestra preocupación es 'pegar' esos paquetes V _i , para hacer un solo paquete V en X. Lo que queremos decir es que V debería, cuando se restringe a X _i , devolver V _i , hasta un isomorfismo de haz.

Los datos necesarios son entonces estos: en cada superposición

${\ Displaystyle X_ {ij},}$

intersección de X _i y X _j , necesitaremos asignaciones

${\ Displaystyle f_ {ij}: V_ {i} \ rightarrow V_ {j}}$

a utilizar para identificar allí V _i y V _j , fibra por fibra. Además, f _ij debe satisfacer condiciones basadas en las propiedades reflexivas, simétricas y transitivas de una relación de equivalencia (condiciones de pegado). Por ejemplo, la composición

${\ Displaystyle f_ {jk} \ circ f_ {ij} = f_ {ik}}$

para la transitividad (y la elección de la notación adecuada). El f _ii debe ser mapas de identidad y, por lo tanto, la simetría se convierte (de modo que es un isomorfismo en términos de fibra). ${\ Displaystyle f_ {ij} = f_ {ji} ^ {- 1}}$

De hecho, estas son condiciones estándar en la teoría de haces de fibras (ver mapa de transición ). Una aplicación importante a tener en cuenta es el cambio de fibra : si los f _ij son todo lo que necesita para hacer un paquete, entonces hay muchas formas de hacer un paquete asociado . Es decir, podemos tomar esencialmente la misma f _ij , actuando sobre varias fibras.

Otro punto importante es la relación con la regla de la cadena : la discusión de la forma en que se construyen los campos tensoriales se puede resumir como 'una vez que aprenda a descender por el haz tangente , para el cual la transitividad es la regla de la cadena jacobiana , el resto es solo' naturalidad de las construcciones tensoriales '.

Para acercarnos a la teoría abstracta necesitamos interpretar la unión disjunta de los

${\ Displaystyle X_ {ij}}$

no fue

${\ Displaystyle Y \ times _ {X} Y,}$

el producto de fibra (aquí un ecualizador ) de dos copias de la proyección p. Los haces en la X _ij que hay que controlar son V 'y V ", los retrocesos a la fibra de V a través de los dos proyección diferentes mapas a X .

Por tanto, yendo a un nivel más abstracto se puede eliminar el lado combinatorio (es decir, dejar de lado los índices) y obtener algo que tenga sentido para p no de la forma especial de cobertura con la que comenzamos. Esto permite entonces un enfoque de teoría de categorías : lo que queda por hacer es volver a expresar las condiciones de pegado.

Historia

Las ideas se desarrollaron en el período 1955-1965 (que fue aproximadamente el momento en que se cumplieron los requisitos de la topología algebraica, pero no los de la geometría algebraica ). Desde el punto de vista de la teoría de categorías abstractas , el trabajo de las comónadas de Beck fue una suma de esas ideas; véase el teorema de la monadicidad de Beck .

Las dificultades de la geometría algebraica con el paso al cociente son agudas. La urgencia (para decirlo así) del problema para los geómetras explica el título del seminario de Grothendieck TDTE de 1959 sobre teoremas de descendencia y técnicas de existencia (ver FGA ) que conecta la cuestión de la descendencia con la cuestión del functor representable en geometría algebraica en general, y el problema de los módulos en particular.

Descenso totalmente fiel

Deja . Cada gavilla F sobre X da lugar a un dato de descenso: ${\ Displaystyle p: X '\ a X}$

${\ displaystyle (F '= p ^ {*} F, \ alpha: p_ {0} ^ {*} F' \ simeq p_ {1} ^ {*} F '), \, p_ {i}: X' '= X' \ times _ {X} X '\ to X'}$

donde satisface la condición de ciclo: ${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle p_ {02} ^ {*} \ alpha = p_ {12} ^ {*} \ alpha \ circ p_ {01} ^ {*} \ alpha, \, p_ {ij}: X '' \ times _ {X '} X' '\ times _ {X'} X '' \ to X '' \ times _ {X '} X' '}$.

La descendencia totalmente fiel dice: es totalmente fiel. La teoría del descenso dice las condiciones para las que existe un descenso totalmente fiel. ${\ Displaystyle F \ mapsto (F ', \ alpha)}$

Ver también

• Conexión Grothendieck
• Pila (matemáticas)
• Descenso de Galois
• Topología de Grothendieck
• Categoría fibrada
• Teorema de la monadicidad de Beck
• Descendencia cohomológica

Referencias

• SGA 1 , Ch VIII - esta es la referencia principal
• Siegfried Bosch; Werner Lütkebohmert; Michel Raynaud (1990). Modelos Néron . Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 21 . Springer-Verlag . ISBN 3540505873. Un capítulo sobre la teoría de la descendencia es más accesible que el SGA.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001 .

Otras lecturas

Otras posibles fuentes incluyen:

• Angelo Vistoli, Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías de fibras y teoría de la descendencia arXiv : math.AG/0412512
• Mattieu Romagny, un camino directo a las pilas algebraicas

enlaces externos

• ¿Qué es la teoría de la descendencia?