Crystal (matemáticas) - Crystal (mathematics)
En matemáticas, los cristales son secciones cartesianas de ciertas categorías con fibras . Fueron introducidos por Alexander Grothendieck ( 1966a ), quien los llamó cristales porque en cierto sentido son "rígidos" y "crecen". En particular, los cristales cuasicoherentes sobre el sitio cristalino son análogos a los módulos cuasicoherentes sobre un esquema .
Un isocristal es un cristal hasta la isogenia. Son p -adic análogos de Q l étalé -adic gavillas , introducido por Grothendieck (1966a) y Berthelot y Ogus ( 1983 ) (aunque la definición de isocrystal sólo aparece en la parte II de este documento por Ogus (1984) ). Los isocristales convergentes son una variación de los isocristales que funcionan mejor sobre campos no perfectos, y los isocristales sobreconvergentes son otra variación relacionada con las teorías de cohomología sobreconvergentes.
Un cristal Dieudonné es un cristal con mapas de Verschiebung y Frobenius. Un cristal F es una estructura en álgebra semilineal algo relacionada con los cristales.
Cristales sobre los sitios infinitesimales y cristalinos
El sitio infinitesimal Inf ( X / S ) tiene como objetos las extensiones infinitesimales de conjuntos abiertos de X . Si X es un esquema sobre S, entonces la gavilla O X / S está definida por O X / S ( T ) = anillo de coordenadas de T , donde escribimos T como una abreviatura de un objeto U → T de Inf ( X / S ) . Las poleas en este sitio crecen en el sentido de que pueden extenderse desde conjuntos abiertos hasta extensiones infinitesimales de conjuntos abiertos.
Un cristal en el sitio Inf ( X / S ) es un haz F de módulos O X / S que es rígido en el siguiente sentido:
- para cualquier mapa f entre los objetos T , T ′ de Inf ( X / S ), el mapa natural de f * F ( T ) a F ( T ′) es un isomorfismo.
Esto es similar a la definición de un haz cuasicoherente de módulos en la topología de Zariski.
Un ejemplo de un cristal es la gavilla O X / S .
Los cristales en el sitio cristalino se definen de manera similar.
Cristales en categorías de fibras
En general, si E es una categoría con fibras sobre F , entonces un cristal es una sección cartesiana de la categoría con fibras. En el caso especial cuando F es la categoría de extensiones infinitesimales de un esquema X y E la categoría de módulos cuasicoherentes sobre objetos de F , entonces los cristales de esta categoría con fibras son los mismos que los cristales del sitio infinitesimal.
Referencias
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