Cours d'Analyse -Cours d'Analyse

Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique; Soy Partie. Analyze algébrique es un libro de texto fundamental en cálculo infinitesimal publicado por Augustin-Louis Cauchy en 1821. El artículo sigue la traducción de Bradley y Sandifer al describir su contenido.

Introducción

En la página 1 de la Introducción, Cauchy escribe: "Al hablar de la continuidad de funciones , no podría prescindir de un tratamiento de las propiedades principales de cantidades infinitamente pequeñas , propiedades que sirven como fundamento del cálculo infinitesimal". Los traductores comentan en una nota a pie de página: "Es interesante que Cauchy no mencione aquí los límites ".

Cauchy continúa: "En cuanto a los métodos, he tratado de darles todo el rigor que uno exige de la geometría , de modo que nunca sea necesario confiar en argumentos extraídos de la generalidad del álgebra ".

Preliminares

En la página 6, Cauchy primero analiza las cantidades variables y luego introduce la noción de límite en los siguientes términos: "Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable en particular se acercan indefinidamente a un valor fijo de tal manera que terminan difiriendo de ella por tan poco como deseamos, este valor fijo se llama límite de todos los demás valores ".

En la página 7, Cauchy define un infinitesimal de la siguiente manera: "Cuando los valores numéricos sucesivos de tal variable disminuyen indefinidamente, de tal manera que caen por debajo de cualquier número dado, esta variable se convierte en lo que llamamos infinitesimal , o una cantidad infinitamente pequeña . " Cauchy añade: "Una variable de este tipo tiene el cero como límite".

En la página 10, Bradley y Sandifer confunden el coseno versado con el seno cubierto . Cauchy definió originalmente el sinus versus ( versine ) como siv ( θ ) = 1  - cos ( θ ) y el cosinus versus (lo que ahora también se conoce como coversine ) como cosiv ( θ ) = 1  - sin ( θ ). En la traducción, sin embargo, el cosino versus (y cosiv) están incorrectamente asociados con el coseno versado (lo que ahora también se conoce como vercoseno ) en lugar del seno cubierto .

La notación

lim

se introduce en la página 12. Los traductores observan en una nota al pie: "La notación" Lim ". para el límite fue utilizado por primera vez por Simon Antoine Jean L'Huilier (1750-1840) en [L'Huilier 1787, p. 31]. Cauchy escribió esto como "lim". en [Cauchy 1821, p. 13]. El período había desaparecido en [Cauchy 1897, p. 26] ".

Capitulo 2

Este capítulo tiene el título extenso "Sobre cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes, y sobre la continuidad de funciones. Valores singulares de funciones en varios casos particulares". En la página 21, Cauchy escribe: "Decimos que una cantidad variable se vuelve infinitamente pequeña cuando su valor numérico disminuye indefinidamente de tal manera que converge hacia el límite cero". En la misma página, encontramos el único ejemplo explícito de una variable de este tipo que se encuentra en Cauchy, a saber

${\ Displaystyle {\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {6}}, {\ frac {1} {5}}, {\ frac {1} {8}}, {\ frac {1} {7}}, \ ldots}$

En la página 22, Cauchy comienza la discusión de los órdenes de magnitud de infinitesimales de la siguiente manera: "Sea una cantidad infinitamente pequeña, es decir, una variable cuyo valor numérico disminuye indefinidamente. Cuando las diversas potencias enteras de , a saber ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle \ alpha, \ alpha ^ {2}, \ alpha ^ {3}, \ ldots}$

entran en el mismo cálculo, estas diversas potencias se denominan, respectivamente, infinitamente pequeñas de primer , segundo , tercer orden , etc. Cauchy señala que "la forma general de cantidades infinitamente pequeñas de orden n (donde n representa un número entero ) estarán

${\ Displaystyle k \ alpha ^ {n} \ quad {}}$ o al menos .${\ Displaystyle {} \ quad k \ alpha ^ {n} (1 \ pm \ varepsilon)}$

En las páginas 23-25, Cauchy presenta ocho teoremas sobre propiedades de infinitesimales de varios órdenes.

Sección 2.2

Esta sección se titula "Continuidad de funciones". Cauchy escribe: "Si, comenzando con un valor de x contenido entre estos límites, agregamos a la variable x un incremento infinitamente pequeño , la función en sí se incrementa por la diferencia ${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle f (x + \ alpha) -f (x)}$"

y afirma que

"la función f ( x ) es una función continua de x entre los límites asignados si, para cada valor de x entre estos límites, el valor numérico de la diferencia disminuye indefinidamente con el valor numérico de ".${\ Displaystyle f (x + \ alpha) -f (x)}$${\ Displaystyle \ alpha}$

Cauchy continúa proporcionando una definición de continuidad en cursiva en los siguientes términos:

" la función f ( x ) es continua con respecto ax entre los límites dados si, entre estos límites, un incremento infinitamente pequeño en la variable siempre produce un incremento infinitamente pequeño en la función misma " .

En la página 32, Cauchy establece el teorema del valor intermedio .

Teorema de la suma

En el Teorema I de la sección 6.1 (página 90 en la traducción de Bradley y Sandifer), Cauchy presenta el teorema de la suma en los siguientes términos.

Cuando los diversos términos de la serie (1) son funciones de la misma variable x, continuas con respecto a esta variable en la vecindad de un valor particular para el cual la serie converge, la suma s de la serie también es una función continua de x en la vecindad de este valor particular.

Aquí la serie (1) aparece en la página 86: (1) ${\ Displaystyle u_ {0}, u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {n}, u_ {n + 1}, \ ldots}$

Bibliografía

• Cauchy, Augustin-Louis (1821). "Analizar Algébrique" . Cours d'Analyse de l'Ecole royale polytechnique . 1 . L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi . Consultado el 7 de noviembre de 2015 .* Versión gratuita en archive.org
• Bradley, Robert E .; Sandifer, C. Edward (14 de enero de 2010) [2009]. Buchwald, JZ (ed.). Cours d'analyse de Cauchy: una traducción anotada . Fuentes y estudios en Historia de las Matemáticas y Ciencias Físicas . Cauchy, Augustin-Louis . Springer Science + Business Media, LLC . págs. 10, 285. doi : 10.1007 / 978-1-4419-0549-9 . ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN  2009932254 . 1441905499, 978-1-4419-0549-9 . Consultado el 9 de noviembre de 2015 .
• Grabiner, Judith V. (1981). Los orígenes del riguroso cálculo de Cauchy . Cambridge: MIT Press. ISBN 0-387-90527-8.