Interés compuesto - Compound interest

Tasas de interés efectivas

El efecto de ganar un interés anual del 20% sobre una inversión inicial de $ 1,000 en varias frecuencias de capitalización

El interés compuesto es la suma de intereses a la suma principal de un préstamo o depósito, o en otras palabras, el interés sobre los intereses. Es el resultado de reinvertir los intereses, en lugar de pagarlos, de modo que los intereses del período siguiente se devengan sobre la suma principal más los intereses acumulados previamente. El interés compuesto es estándar en finanzas y economía .

El interés compuesto se contrasta con el interés simple , donde el interés acumulado previamente no se agrega al monto principal del período actual, por lo que no hay capitalización. La tasa de interés anual simple es el monto de interés por período, multiplicado por el número de períodos por año. La tasa de interés anual simple también se conoce como tasa de interés nominal (que no debe confundirse con la tasa de interés no ajustada por inflación , que lleva el mismo nombre).

Frecuencia de capitalización

La frecuencia de capitalización es el número de veces por año (o raramente, otra unidad de tiempo) que el interés acumulado se paga o se capitaliza (se acredita en la cuenta) de forma regular. La frecuencia puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, semanal, diaria o continua (o no, hasta el vencimiento).

Por ejemplo, la capitalización mensual con interés expresado como tasa anual significa que la frecuencia de capitalización es 12, con períodos de tiempo medidos en meses.

El efecto de la composición depende de:

El tipo de interés nominal que se aplica y
El interés de frecuencia se capitaliza.

Tasa anual equivalente

La tasa nominal no puede compararse directamente entre préstamos con diferentes frecuencias de capitalización. Tanto la tasa de interés nominal como la frecuencia de capitalización son necesarias para comparar instrumentos financieros que devengan intereses.

Para ayudar a los consumidores a comparar los productos financieros minoristas de forma más justa y sencilla, muchos países exigen que las instituciones financieras divulguen la tasa de interés compuesta anual sobre los depósitos o anticipos sobre una base comparable. La tasa de interés sobre una base anual equivalente puede ser denominado diversamente en los diferentes mercados como eficaz tasa anual porcentaje (EAPR), tasa anual equivalente (AER), tasa efectiva de interés , tasa efectiva anual , porcentaje de rendimiento anual y otros términos. La tasa anual efectiva es el interés total acumulado que sería pagadero hasta el final de un año, dividido por la suma principal.

Por lo general, hay dos aspectos en las reglas que definen estas tarifas:

La tasa es la tasa de interés compuesta anualizada y
Puede haber cargos distintos a los intereses. Se puede incluir el efecto de las tasas o impuestos que se cobran al cliente y que están directamente relacionados con el producto. Exactamente qué tarifas e impuestos están incluidos o excluidos varían según el país, pueden o no ser comparables entre diferentes jurisdicciones, porque el uso de dichos términos puede ser inconsistente y variar según la práctica local.

Ejemplos de

1.000 reales brasileños (BRL) se depositan en una cuenta de ahorros brasileña que paga el 20% anual, compuesto anualmente. Al final de un año, 1,000 × 20% = 200 BRL de interés se acreditan en la cuenta. Luego, la cuenta gana 1200 × 20% = 240 BRL en el segundo año.
Una tasa del 1% mensual equivale a una tasa de interés anual simple (tasa nominal) del 12%, pero teniendo en cuenta el efecto de la capitalización, la tasa compuesta equivalente anual es del 12,68% anual (1,01 ¹² - 1).
Los intereses de los bonos corporativos y los bonos del gobierno generalmente se pagan dos veces al año. El monto de interés pagado (cada seis meses) es la tasa de interés divulgada dividida por dos y multiplicada por el capital. La tasa compuesta anual es más alta que la tasa divulgada.
Los préstamos hipotecarios canadienses generalmente se capitalizan semestralmente con pagos mensuales (o más frecuentes).
Las hipotecas estadounidenses utilizan un préstamo amortizable , no un interés compuesto. Con estos préstamos, se utiliza un programa de amortización para determinar cómo aplicar los pagos al principal y los intereses. Los intereses generados por estos préstamos no se agregan al principal, sino que se pagan mensualmente a medida que se aplican los pagos.
A veces es matemáticamente más simple, por ejemplo, en la valoración de derivados , utilizar la capitalización continua , que es el límite cuando el período de capitalización se acerca a cero. La capitalización continua en el precio de estos instrumentos es una consecuencia natural del cálculo de Itō , donde los derivados financieros se valoran con una frecuencia cada vez mayor, hasta que se acerca al límite y el derivado se valora en tiempo continuo.

Instrumentos de descuento

Las letras del tesoro de Estados Unidos y Canadá (deuda pública a corto plazo) tienen una convención diferente. Su interés se calcula sobre una base de descuento como (100 - P ) / Pbnm , donde P es el precio pagado. En lugar de normalizarlo a un año, el interés se prorratea por el número de días t : (365 / t ) × 100. (Ver la convención de conteo de días ).

Cálculo

Composición periódica

El valor acumulado total, incluida la suma principal más el interés compuesto , viene dado por la fórmula: ${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle I}$

{\ Displaystyle P '= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

dónde:

P es la suma principal original
P ' es la nueva suma principal
r es la tasa de interés nominal anual
n es la frecuencia de capitalización
t es el período total de tiempo que se aplica el interés (expresado utilizando las mismas unidades de tiempo que r , generalmente años).

El interés compuesto total generado es el valor final menos el principal inicial:

{\ Displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt} -P}

Ejemplo 1

Suponga que se deposita una cantidad de capital de $ 1,500 en un banco que paga una tasa de interés anual del 4,3%, compuesto trimestralmente.
Luego, el saldo después de 6 años se calcula usando la fórmula anterior, con P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 4 y t = 6:

{\ Displaystyle P '= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ approx 1 \, 938.84}

Entonces, el nuevo capital después de 6 años es aproximadamente $ 1,938.84. ${\ Displaystyle P '}$

Restar el capital original de esta cantidad da la cantidad de interés recibido:

{\ Displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438,84}

Ejemplo 2

Suponga que la misma cantidad de $ 1,500 se capitaliza cada dos años (cada 2 años). (Esto es muy inusual en la práctica). Luego, el saldo después de 6 años se calcula usando la fórmula anterior, con P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 1/2 (el interés se capitaliza cada dos años) y t = 6:

{\ Displaystyle P '= 1 \, 500 \ times \ left (1+ (0.043 \ times 2) \ right) ^ {\ frac {6} {2}} \ approx 1 \, 921.24}

Entonces, el saldo después de 6 años es de aproximadamente $ 1,921.24.

La cantidad de interés recibido se puede calcular restando el principal de esta cantidad.

{\ Displaystyle 1 \, 921.24-1 \, 500 = 421.24}

El interés es menor en comparación con el caso anterior, como resultado de la menor frecuencia de capitalización.

Función de acumulación

Dado que el principal P es simplemente un coeficiente, a menudo se elimina por simplicidad y en su lugar se usa la función de acumulación resultante . La función de acumulación muestra a qué crece $ 1 después de cualquier período de tiempo.

Las funciones de acumulación para interés simple y compuesto son

{\ Displaystyle a (t) = 1 + rt}

{\ Displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Si , entonces estas dos funciones son las mismas. ${\ Displaystyle nt = 1}$

Capitalización continua

A medida que n , el número de períodos de capitalización por año, aumenta sin límite, el caso se conoce como capitalización continua, en cuyo caso la tasa anual efectiva se acerca a un límite superior de $e r - 1$ , donde $e$ es una constante matemática que es la base. del logaritmo natural .

Se puede pensar que la capitalización continua hace que el período de capitalización sea infinitesimalmente pequeño, lo que se logra tomando el límite cuando n llega al infinito . Vea las definiciones de la función exponencial para la prueba matemática de este límite. La cantidad después de t períodos de capitalización continua se puede expresar en términos de la cantidad inicial P ₀ como

{\ Displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Fuerza de interés

A medida que el número de períodos de capitalización alcanza el infinito en la capitalización continua, la tasa de interés compuesta continua se denomina fuerza de interés . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ delta}$

En matemáticas, las funciones de acumulación a menudo se expresan en términos de e , la base del logaritmo natural . Esto facilita el uso del cálculo para manipular fórmulas de interés.

Para cualquier función de acumulación continuamente diferenciable a ( t ), la fuerza de interés, o más generalmente el retorno logarítmico o compuesto continuamente, es una función del tiempo definida como sigue:

{\ Displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a '(t)} {a (t)}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Esta es la derivada logarítmica de la función de acumulación.

En cambio:

{\ Displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \ ,,}

(ya que esto puede verse como un caso particular de una integral de producto ).

{\ Displaystyle a (0) = 1}

Cuando la fórmula anterior está escrita en formato de ecuación diferencial, entonces la fuerza de interés es simplemente el coeficiente de la cantidad de cambio:

{\ Displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt}

Para el interés compuesto con una tasa de interés anual constante r , la fuerza de interés es una constante, y la función de acumulación del interés compuesto en términos de fuerza de interés es una potencia simple de e :

{\ Displaystyle \ delta = \ ln (1 + r)}

o

{\ Displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta}}

La fuerza del interés es menor que la tasa de interés efectiva anual, pero mayor que la tasa de descuento efectiva anual . Es el recíproco del tiempo de

plegado electrónico . Consulte también la notación de tipos de interés .

Una forma de modelar la fuerza de la inflación es la fórmula de Stoodley: donde p , r y s son estimados. ${\ Displaystyle \ delta _ {t} = p + {s \ over {1 + rse ^ {st}}}}$

Base de capitalización

Para convertir una tasa de interés de una base de capitalización a otra base de capitalización, utilice

{\ Displaystyle r_ {2} = \ left [\ left (1 + {\ frac {r_ {1}} {n_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {n_ {1}} {n_ {2} }} - 1 \ right] {n_ {2}},}

donde r ₁ es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n ₁ , y r ₂ es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n ₂ .

Cuando el interés se capitaliza continuamente , utilice

{\ Displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right)},}

donde es la tasa de interés sobre una base de capitalización continua, y r es la tasa de interés establecida con una frecuencia de capitalización n . ${\ Displaystyle \ delta}$

Pagos mensuales de préstamos o hipotecas amortizados

Los intereses de préstamos e hipotecas que se amortizan, es decir, que tienen un pago mensual uniforme hasta que se cancela el préstamo, a menudo se capitalizan mensualmente. La fórmula para los pagos se encuentra a partir del siguiente argumento.

Fórmula exacta para pago mensual

Una fórmula exacta para el pago mensual ( ) es ${\ Displaystyle c}$

{\ Displaystyle c = {\ frac {rP} {1 - {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}

o equivalente

{\ Displaystyle c = {\ frac {rP} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}}

dónde:

${\ Displaystyle c}$ = pago mensual
${\ Displaystyle P}$ = principal
${\ Displaystyle r}$ = tasa de interés mensual
${\ Displaystyle n}$ = número de períodos de pago

Esto se puede derivar considerando cuánto queda por pagar después de cada mes.
El capital restante después del primer mes es

{\ Displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

es decir, el monto inicial más intereses menos el pago.
Si todo el préstamo se reembolsa después de un mes,

{\ Displaystyle P_ {1} = 0,}

asi que

{\ Displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Después de que quede el segundo mes , entonces

{\ Displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c}

{\ Displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Si la totalidad del préstamo se reembolsó después de dos meses,

{\ Displaystyle P_ {2} = 0,}

asi que

{\ Displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}}

Esta ecuación generaliza para un término de n meses, . Esta es una serie geométrica que tiene la suma ${\ textstyle P = c \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {1} {(1 + r) ^ {j}}}}$

{\ Displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 - {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

que se puede reorganizar para dar

{\ Displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 - {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}}

Fórmula de hoja de cálculo

En hojas de cálculo, se utiliza la función PMT () . La sintaxis es:

PMT( interest_rate, number_payments, present_value, future_value, [Type] )

Consulte Excel , Mac Numbers , LibreOffice , Open Office , Google Sheets para obtener más detalles.

Por ejemplo, para una tasa de interés del 6% (0.06 / 12), 25 años * 12 pa, PV de $ 150,000, FV de 0, el tipo de 0 da:

= PMT(0.06/12, 25 * 12, -150000, 0, 0)
= $966.45

Fórmula aproximada de pago mensual

Se puede encontrar una fórmula con una precisión de un pequeño porcentaje si se observa que para las tasas de notas típicas de EE. UU. ( Y términos = 10-30 años), la tasa de notas mensual es pequeña en comparación con 1: de modo que la cual produce una simplificación de modo que ${\ Displaystyle I <8 \%}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle r << 1}$ ${\ Displaystyle \ ln (1 + r) \ approx r}$

{\ Displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {- nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}} }}

que sugiere definir variables auxiliares

{\ Displaystyle Y \ equiv nr = IT}

{\ Displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}.}

Aquí está el pago mensual requerido para un préstamo sin interés pagado en cuotas. En términos de estas variables, la aproximación se puede escribir ${\ Displaystyle c_ {0}}$ ${\ Displaystyle n}$

{\ Displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}},}

La función es pareja: ${\ textstyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} - {\ frac {Y} {2}}}$

{\ Displaystyle f (Y) = f (-Y)}

lo que implica que se puede expandir incluso en potencias de . ${\ Displaystyle Y}$

De ello se deduce inmediatamente que se puede ampliar en potencias pares de más el término único: ${\ textstyle {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}}}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle Y / 2.}$

Resultará conveniente entonces definir

{\ Displaystyle X = {\ frac {1} {2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

así que eso

{\ Displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

que se puede ampliar:

{\ Displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} - {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + \ cdots \ Derecha)}

donde las elipses indican términos que son de orden superior en potencias pares de . La expansión ${\ Displaystyle X}$

{\ Displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ right)}

es válido para mejor que el 1% proporcionado . ${\ Displaystyle X \ leq 1}$

Ejemplo de pago de hipoteca

Para una hipoteca de $ 10,000 con un plazo de 30 años y una tasa de pagaré del 4.5%, pagadera anualmente, encontramos:

{\ Displaystyle T = 30}

{\ Displaystyle I = 0.045}

lo que da

{\ Displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

así que eso

{\ Displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333,33 (1 + .675 + .675 ^ {2} / 3) = \ $ 608,96}

El monto exacto del pago es por lo que la aproximación es una sobreestimación de alrededor de un sexto de un por ciento. ${\ Displaystyle P = \ $ 608.02}$

Inversión: depósitos mensuales

Dado un depósito principal (inicial) y un depósito recurrente, el rendimiento total de una inversión se puede calcular a través del interés compuesto ganado por unidad de tiempo. Si es necesario, el interés sobre depósitos adicionales no recurrentes y recurrentes también se puede definir dentro de la misma fórmula (ver más abajo).

${\ Displaystyle P}$ = Depósito de capital
${\ Displaystyle r}$ = Tasa de retorno (mensual)
${\ Displaystyle M}$ = Depósito mensual y
${\ Displaystyle t}$ = Tiempo, en meses

El interés compuesto por cada depósito es:

{\ Displaystyle M '= M (1 + r) ^ {t}}

y sumando todos los depósitos recurrentes durante el período total t (i estrellas en 0 si los depósitos comienzan con la inversión del principal; i estrellas en 1 si los depósitos comienzan el mes siguiente):

{\ Displaystyle M '= \ sum _ {i = 0} ^ {t-1} {M (1 + r) ^ {ti}}}

reconociendo la serie geométrica : y aplicando la fórmula de forma cerrada (razón común:) obtenemos:

{\ Displaystyle M '= M \ sum _ {i = 0} ^ {t-1} (1 + r) ^ {t} {\ frac {1} {(1 + r) ^ {i}}}}

{\ Displaystyle 1 / (1 + r)}

{\ Displaystyle P '= M {\ frac {(1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Si se producen dos o más tipos de depósitos (recurrentes o no recurrentes), el valor compuesto ganado se puede representar como

{\ Displaystyle {\ text {Valor}} = M {\ frac {(1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t} + k {\ frac {( 1 + r) ^ {tx} -1} {r}} + C (1 + r) ^ {ty}}

donde C es cada suma global yk son depósitos recurrentes no mensuales, respectivamente, yxey son las diferencias en el tiempo entre un nuevo depósito y el período total que t está modelando.

Una estimación práctica para el cálculo inverso de la tasa de rendimiento cuando se desconoce la fecha exacta y el monto de cada depósito recurrente, una fórmula que asume un depósito mensual recurrente uniforme durante el período, es:

{\ Displaystyle r = \ left ({\ frac {P'-P- \ sum {M}} {P + \ sum {M} / 2}} \ right) ^ {1 / t}}

o

{\ Displaystyle r = \ left ({\ frac {P '- \ sum {M} / 2} {P + \ sum {M} / 2}} \ right) ^ {1 / t} -1}

Historia

El interés compuesto, cuando lo cobraron los prestamistas, se consideró una vez como el peor tipo de usura y fue severamente condenado por el derecho romano y el

derecho común de muchos otros países.

El comerciante florentino Francesco Balducci Pegolotti proporcionó una tabla de interés compuesto en su libro Pratica della mercatura de aproximadamente 1340. Da el interés sobre 100 liras, para tasas del 1% al 8%, hasta por 20 años. La Summa de arithmetica de Luca Pacioli (1494) da la Regla del 72 , indicando que para encontrar el número de años para que una inversión a interés compuesto se duplique, se debe dividir la tasa de interés en 72.

El libro Arithmeticall Questions de Richard Witt , publicado en 1613, fue un hito en la historia del interés compuesto. Estaba totalmente dedicado al tema (anteriormente llamado anatocismo ), mientras que los escritores anteriores solían tratar brevemente el interés compuesto en un solo capítulo de un libro de texto de matemáticas. El libro de Witt proporcionó tablas basadas en el 10% (la tasa de interés máxima permitida en ese momento para los préstamos) y en otras tasas para diferentes propósitos, como la valoración de arrendamientos de propiedades. Witt era un matemático de Londres y su libro se destaca por su claridad de expresión, profundidad de conocimiento y precisión de cálculo, con 124 ejemplos resueltos.

Jacob Bernoulli descubrió la constante en 1683 al estudiar una pregunta sobre el interés compuesto. ${\ Displaystyle e}$

En el siglo XIX, y posiblemente antes, los comerciantes persas utilizaron una aproximación lineal de Taylor ligeramente modificada a la fórmula de pago mensual que se podía calcular fácilmente en sus cabezas.

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