Circuncónico e incónico - Circumconic and inconic
En geometría triangular , una circuncónica es una sección cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo, y una incónica es una sección cónica inscrita en los lados, posiblemente extendidos , de un triángulo.
Supongamos que A, B, C son distintos puntos no colineales, y permiten ΔABC denotan el triángulo cuyos vértices son A, B, C . Siguiendo la práctica común, A denota no solo el vértice sino también el ángulo BAC en el vértice A , y de manera similar para B y C como ángulos en ΔABC . Sea a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |, las longitudes laterales de Δ ABC .
En coordenadas trilineales , la circuncónica general es el lugar geométrico de un punto variable X = x : y : z que satisface una ecuación
- uyz + vzx + wxy = 0,
para algún punto u: v: w . El conjugado isogonal de cada punto X en la circuncónica, que no sea A, B, C , es un punto en la línea.
- ux + vy + wz = 0.
Esta línea se encuentra con el circuncírculo de ΔABC en 0,1, o 2 puntos según que el circuncónico sea una elipse, parábola o hipérbola.
El incónico general es tangente a las tres líneas laterales de ΔABC y viene dado por la ecuación
- u 2 x 2 + v 2 y 2 + w 2 z 2 - 2 vwyz - 2 wuzx - 2 uvxy = 0.
Centros y rectas tangentes
Circuncónico
El centro de la circuncónica general es el punto
- u (- au + bv + cw ): v ( au - bv + cw ): w ( au + bv - cw ).
Las rectas tangentes a la circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,
- wv + vz = 0,
- uz + wx = 0,
- vx + uy = 0.
Incónico
El centro del incónico general es el punto
- cv + bw : aw + cu : bu + av .
Las rectas tangentes al incónico general son las líneas laterales de ΔABC , dadas por las ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0.
Otras características
Circuncónico
- Cada circuncónico no circular se encuentra con el círculo circunferencial de ΔABC en un punto que no sea A, B y C, a menudo llamado el cuarto punto de intersección , dado por coordenadas trilineales
- ( cx - az ) ( ay - bx ): ( ay - bx ) ( bz - cy ): ( bz - cy ) ( cx - az )
- Si P = p: q: r es un punto en la circuncónica general, entonces la recta tangente a la cónica en P está dada por
- ( vr + wq ) x + ( wp + ur ) y + ( uq + vp ) z = 0.
- La circuncónica general se reduce a una parábola si y sólo si
- u 2 a 2 + v 2 b 2 + w 2 c 2 - 2 vwbc - 2 wuca - 2 uvab = 0,
- y a una hipérbola rectangular si y solo si
- u cos A + v cos B + w cos C = 0.
- De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el centroide del que tiene mayor área coincide con el centro de la elipse. La elipse dada, que atraviesa los tres vértices de este triángulo y está centrada en el centroide del triángulo, se llama la circunferencia de Steiner del triángulo .
Incónico
- El incónico general se reduce a una parábola si y sólo si
- ubc + vca + wab = 0,
- en cuyo caso es tangente externamente a uno de los lados del triángulo y es tangente a las extensiones de los otros dos lados .
- Suponga que p 1 : q 1 : r 1 y p 2 : q 2 : r 2 son puntos distintos, y sean
- X = ( p 1 + p 2 t ): ( q 1 + q 2 t ): ( r 1 + r 2 t ).
- Como el parámetro t varía entre los números reales , el lugar geométrico de X es una línea. Definir
- X 2 = ( p 1 + p 2 t ) 2 : ( q 1 + q 2 t ) 2 : ( r 1 + r 2 t ) 2 .
- El lugar geométrico de X 2 es el incónico, necesariamente una elipse , dado por la ecuación
- L 4 x 2 + M 4 y 2 + N 4 z 2 - 2 M 2 N 2 yz - 2 N 2 L 2 zx - 2 L 2 M 2 xy = 0,
- dónde
- L = q 1 r 2 - r 1 q 2 ,
- M = r 1 p 2 - p 1 r 2 ,
- N = p 1 q 2 - q 1 p 2 .
- Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo original. Para un punto dado dentro de ese triángulo medial , la inelipse con su centro en ese punto es única.
- La inelipse con el área más grande es la inellipse de Steiner , también llamada inellipse del punto medio, con su centro en el centroide del triángulo . En general, la razón del área del inellipse al área del triángulo, en términos de las coordenadas baricéntricas de suma unitaria del centro del inellipse, es
- que se maximiza por las coordenadas baricéntricas del centroide
- Las rectas que conectan los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes.
Extensión a cuadriláteros
Todos los centros de inelipsis de un cuadrilátero dado caen en el segmento de línea que conecta los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero.
Ejemplos de
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Circuncónicas
- Circumcircle , el círculo único que pasa por los tres vértices de un triángulo.
- Steiner circumellipse , la elipse única que pasa a través de los tres vértices de un triángulo y está centrada en el centroide del triángulo.
- Hipérbola de Kiepert , la cónica única que pasa a través de los tres vértices de un triángulo, su centroide y su ortocentro.
- Hipérbola de Jeřábek , una hipérbola rectangular centrada en el círculo de nueve puntos de un triángulo y que pasa por los tres vértices del triángulo, así como su circuncentro , ortocentro y varios otros centros notables.
- Hipérbola de Feuerbach , una hipérbola rectangular que pasa a través del ortocentro de un triángulo, el punto Nagel y varios otros puntos notables, y tiene el centro en el círculo de nueve puntos.
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Incónicos
- Incircle , el círculo único que es internamente tangente a los tres lados de un triángulo
- Steiner inellipse , la elipse única que es tangente a los tres lados de un triángulo en sus puntos medios
- Mandart inellipse , la elipse única tangente a los lados de un triángulo en los puntos de contacto de sus excircles
- Parábola de Kiepert
- Parábola de Yff
Referencias
enlaces externos
- Circumconic en MathWorld
- Inconic en MathWorld