Mecánica cuántica categórica - Categorical quantum mechanics
La mecánica cuántica categórica es el estudio de los fundamentos cuánticos y la información cuántica utilizando paradigmas de las matemáticas y la informática , en particular la teoría de categorías monoidales . Los objetos primitivos de estudio son los procesos físicos y las diferentes formas en que estos pueden componerse. Fue pionero en 2004 por Samson Abramsky y Bob Coecke .
Configuración matemática
Matemáticamente, la configuración básica es capturada por una categoría monoidal simétrica de daga : la composición de los morfismos modela la composición secuencial de los procesos, y el producto tensorial describe la composición paralela de los procesos. El papel de la daga es asignar a cada estado una prueba correspondiente. Luego, estos se pueden adornar con más estructura para estudiar varios aspectos. Por ejemplo:
- Una categoría compacta daga permite distinguir entre una "entrada" y una "salida" de un proceso. En el cálculo esquemático , permite que los cables se doblen, lo que permite una transferencia de información menos restringida. En particular, permite estados y mediciones entrelazados y proporciona descripciones elegantes de protocolos como la teletransportación cuántica . En la teoría cuántica, ser compacto y cerrado está relacionado con el isomorfismo Choi-Jamiołkowski (también conocido como dualidad proceso-estado ), mientras que la estructura de la daga captura la capacidad de tomar adjuntos de mapas lineales.
- Teniendo en cuenta solo los morfismos que son mapas completamente positivos , también se pueden manejar estados mixtos , lo que permite el estudio de canales cuánticos de manera categórica.
- Los cables siempre tienen dos extremos (y nunca se pueden dividir en una Y), lo que refleja los teoremas de no clonación y no eliminación de la mecánica cuántica.
- Las álgebras de Frobenius de la daga conmutativa especial modelan el hecho de que ciertos procesos producen información clásica, que puede ser clonada o borrada, capturando así la comunicación clásica .
- En los primeros trabajos, se utilizaron biproductos de daga para estudiar tanto la comunicación clásica como el principio de superposición . Posteriormente, estas dos características se han separado.
- Las álgebras de Frobenius complementarias incorporan el principio de complementariedad , que se utiliza con gran efecto en el cálculo cuántico, como en el cálculo ZX .
Una parte sustancial de la columna vertebral matemática de este enfoque se extrae de la teoría de categorías australiana , sobre todo del trabajo de Max Kelly y ML Laplaza, Andre Joyal y Ross Street , A. Carboni y RFC Walters y Steve Lack. Los libros de texto modernos incluyen categorías para la teoría cuántica y Representación de procesos cuánticos .
Cálculo esquemático
Una de las características más notables de la mecánica cuántica categórica es que la estructura compositiva se puede capturar fielmente mediante un cálculo puramente diagramático.
Estos lenguajes de diagramación se remontan a la notación gráfica de Penrose , desarrollada a principios de la década de 1970. El razonamiento diagramático se ha utilizado antes en la ciencia de la información cuántica en el modelo de circuito cuántico , sin embargo, en la mecánica cuántica categórica, las puertas primitivas como la puerta CNOT surgen como compuestos de álgebras más básicas, lo que da como resultado un cálculo mucho más compacto. En particular, el cálculo ZX ha surgido de la mecánica cuántica categórica como una contraparte esquemática del razonamiento algebraico lineal convencional sobre las puertas cuánticas . El cálculo ZX consiste en un conjunto de generadores que representan las puertas cuánticas comunes de Pauli y la puerta Hadamard equipados con un conjunto de reglas de reescritura gráfica que gobiernan su interacción. Aunque todavía no se ha establecido un conjunto estándar de reglas de reescritura, se ha demostrado que algunas versiones están completas , lo que significa que cualquier ecuación que se mantenga entre dos circuitos cuánticos representados como diagramas puede probarse utilizando las reglas de reescritura. El cálculo ZX se ha utilizado para estudiar, por ejemplo , la computación cuántica basada en mediciones .
Ramas de actividad
Axiomatización y nuevos modelos
Uno de los principales éxitos del programa de investigación de la mecánica cuántica categórica es que a partir de restricciones abstractas aparentemente débiles en la estructura compositiva, resultó posible derivar muchos fenómenos de la mecánica cuántica. En contraste con los enfoques axiomáticos anteriores, que tenían como objetivo reconstruir la teoría cuántica espacial de Hilbert a partir de supuestos razonables, esta actitud de no apuntar a una axiomatización completa puede conducir a nuevos modelos interesantes que describen fenómenos cuánticos, que podrían ser útiles al elaborar teorías futuras.
Resultados de integridad y representación
Hay varios teoremas que relacionan la configuración abstracta de la mecánica cuántica categórica con la configuración tradicional de la mecánica cuántica.
- Completitud del cálculo diagramático: una igualdad de morfismos puede demostrarse en la categoría de espacios de Hilbert de dimensión finita si y solo si puede demostrarse en el lenguaje gráfico de categorías cerradas compactas de daga.
- Las álgebras conmutativas de Frobenius tipo daga en la categoría de espacios de Hilbert de dimensión finita corresponden a bases ortogonales . Una versión de esta correspondencia también se mantiene en una dimensión arbitraria.
- Ciertos axiomas adicionales garantizan que los escalares se incrustan en el campo de los números complejos , a saber, la existencia de biproductos de daga finitos y ecualizadores de daga, precisión y una restricción de cardinalidad en los escalares.
- Ciertos axiomas adicionales además de lo anterior garantizan que una categoría monoidal simétrica de daga se incrusta en la categoría de espacios de Hilbert, es decir, si cada mónica de daga es un núcleo de daga. En ese caso, los escalares forman un campo involutivo en lugar de simplemente incrustarse en uno. Si la categoría es compacta, la incrustación aterriza en espacios de Hilbert de dimensión finita.
- Seis axiomas caracterizan por completo la categoría de espacios de Hilbert, cumpliendo con el programa de reconstrucción. Dos de estos axiomas se refieren a una daga y un producto tensorial, un tercero se refiere a biproductos.
- Las álgebras de Frobenius conmutativas especiales de la daga en la categoría de conjuntos y relaciones corresponden a grupos abelianos discretos .
- Encontrar estructuras de base complementarias en la categoría de conjuntos y relaciones corresponde a resolver problemas combinatorios que involucran cuadrados latinos .
- Daga álgebras de Frobenius conmutativa en qubits tienen que ser especial o antispecial, en relación con el hecho de que como máximo enredados estados tripartitas son SLOCC -equivalente a cualquiera de los GHZ o el estado de W .
La mecánica cuántica categórica como lógica
La mecánica cuántica categórica también puede verse como una forma teórica de tipo de lógica cuántica que, en contraste con la lógica cuántica tradicional , apoya el razonamiento deductivo formal. Existe un software que apoya y automatiza este razonamiento.
Existe otra conexión entre la mecánica cuántica categórica y la lógica cuántica, ya que los subobjetos en las categorías del núcleo de la daga y las categorías de biproductos complementados con la daga forman rejillas ortomodulares . De hecho, la primera configuración permite cuantificadores lógicos , cuya existencia nunca se abordó satisfactoriamente en la lógica cuántica tradicional.
La mecánica cuántica categórica como fundamento de la mecánica cuántica
La mecánica cuántica categórica permite una descripción de teorías más generales que la teoría cuántica. Esto le permite a uno estudiar qué características destacan la teoría cuántica en contraste con otras teorías no físicas, lo que con suerte proporciona una idea de la naturaleza de la teoría cuántica. Por ejemplo, el marco permite una descripción sucinta de la composición de la teoría del juguete de Spekkens que permite identificar qué ingrediente estructural hace que sea diferente de la teoría cuántica.
Mecánica cuántica categórica como semántica distributiva composicional categórica
Ha habido intentos de construir gramáticas utilizando la mecánica cuántica categórica: un proceso cuántico puede percibirse como una oración donde la función principal actúa como el verbo y toma al sujeto como entrada y al objeto como salida. Un principal problema abierto con la semántica distributiva compositiva categórica es la representación de palabras que no tienen significado propio desde una perspectiva distributiva, como determinantes, preposiciones, pronombres relativos, coordinadores, etc.