Teorema del núcleo de Carathéodory - Carathéodory kernel theorem

En matemáticas , el teorema del núcleo de Carathéodory es el resultado del análisis complejo y la teoría de funciones geométricas establecida por el matemático griego Constantin Carathéodory en 1912. La convergencia uniforme en conjuntos compactos de una secuencia de funciones univalentes holomórficas , definidas en el disco unitario en el plano complejo y la fijación de 0, se puede formular de forma puramente geométrica en términos del comportamiento limitante de las imágenes de las funciones. El teorema del núcleo tiene una amplia aplicación en la teoría de funciones univalentes y, en particular, proporciona la base geométrica para la ecuación diferencial de Loewner .

Núcleo de una secuencia de conjuntos abiertos

Sea U _n una secuencia de conjuntos abiertos en C que contiene 0. Sea V _n el componente conectado del interior de U _n ∩ U _{n + 1} ∩ ... que contiene 0. El núcleo de la secuencia se define como la unión de los V _n , siempre que no esté vacío; de lo contrario, se define como . Por tanto, el núcleo es un conjunto abierto conectado que contiene 0 o el conjunto de un punto . Se dice que la secuencia converge en un kernel si cada subsecuencia tiene el mismo kernel. ${\ Displaystyle \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ {0 \}}$

Ejemplos

• Si U _n es una secuencia creciente de conjuntos abiertos conectados que contienen 0, entonces el núcleo es solo la unión.
• Si U _n es una secuencia decreciente de conjuntos abiertos conectados que contienen 0, entonces, si 0 es un punto interior de U ₁ ∩ U ₂ ∩ ..., la secuencia converge al componente del interior que contiene 0. De lo contrario, si 0 es no un punto interior, la secuencia converge .${\ Displaystyle \ {0 \}}$

Teorema del kernel

Sea f _n ( z ) una secuencia de funciones univalentes holomórficas en el disco unitario D , normalizadas de modo que f _n (0) = 0 y f ' _n (0)> 0. Entonces f _n converge uniformemente en compacta en D a a función f si y sólo si T _n = f _n ( D ) converge a su núcleo y este núcleo no es C . Si el núcleo está , entonces f = 0. De lo contrario el núcleo es un conjunto abierto conectado U , f es univalente en D y f ( D ) = U . ${\ Displaystyle \ {0 \}}$

Prueba

Usando el teorema de Hurwitz y el teorema de Montel , es sencillo para comprobar que si f _n tiende uniformemente sobre compacta a f entonces cada subsecuencia de U _n tiene kernel U = f ( D ).

A la inversa, si U _n converge a un núcleo no igual a C , entonces, según el teorema del cuarto de Koebe, U _n contiene el disco de radio f ' _n (0) / 4 con centro 0. La suposición de que U ≠ C implica que estos radios son uniformemente encerrado. Por el teorema de la distorsión de Koebe

${\ Displaystyle | f_ {n} (z) | \ leq f_ {n} ^ {\ prime} (0) {| z | \ over (1- | z |) ^ {2}}.}$

Por tanto, la secuencia f _n está uniformemente acotada en conjuntos compactos. Si dos subsecuencias convergen a los límites holomórficos f y g , entonces f (0) = g (0) y con f '(0), g' (0) ≥ 0. Por la primera parte y los supuestos se deduce que f ( D ) = g ( D ). La unicidad en el teorema de mapeo de Riemann fuerza a f = g , por lo que la secuencia original f _n es uniformemente convergente en conjuntos compactos.

Referencias

• Carathéodory, C. (1912), "Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veranderlichen Gebieten" (PDF) , Math. Ana. , 72 : 107–144, doi : 10.1007 / bf01456892
• Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15 , Vandenhoeck & Ruprecht