Teorema de Borel-Weil-Bott - Borel–Weil–Bott theorem

En matemáticas , el teorema de Borel-Weil-Bott es un resultado básico en la teoría de representación de grupos de Lie , que muestra cómo se puede obtener una familia de representaciones a partir de secciones holomórficas de ciertos paquetes de vectores complejos y, de manera más general, de grupos de cohomología de gavillas superiores. asociado a tales paquetes. Se basa en el teorema anterior de Borel-Weil de Armand Borel y André Weil , que trata sólo del espacio de las secciones (el grupo de cohomología cero), la extensión a grupos de cohomología superior la proporciona Raoul Bott . De manera equivalente, a través de GAGA de Serre , se puede ver esto como resultado de una geometría algebraica compleja en la topología de Zariski .

Formulación

Deje que G sea un semisimple grupo de Lie o grupo algebraico sobre , y fijar un máximo toroide T , junto con un subgrupo Borel B que contiene T . Sea λ un peso integral de T ; λ define de una manera natural un unidimensional representación C _λ de B , tirando hacia atrás la representación en T = B / T , donde T es el unipotente radical de B . Dado que podemos pensar en el mapa de proyección G → G / B como un paquete B principal , para cada C _λ obtenemos un paquete de fibras asociado L _−λ en G / B (observe el signo), que obviamente es un paquete de líneas . Identificando L _λ con su haz de secciones holomórficas, consideramos los grupos de cohomología del haz . Dado que G actúa sobre el espacio total del paquete por automorfismos del paquete, esta acción naturalmente da una estructura de módulo G en estos grupos; y el teorema de Borel-Weil-Bott da una descripción explícita de estos grupos como módulos G.${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle H ^ {i} (G / B, \, L _ {\ lambda})}$${\ Displaystyle L _ {\ lambda}}$

Primero necesitamos describir la acción del grupo Weyl centrada en . Para cualquier peso integral λ y w en el grupo de Weyl W , fijamos , donde ρ denota la media de la suma de las raíces positivas de G . Es sencillo comprobar que esto define una acción grupal, aunque esta acción no es lineal, a diferencia de la acción grupal habitual de Weyl. Además, se dice que un peso μ es dominante si para todas las raíces simples α . Deje ℓ denotan la función de la longitud de W . ${\ Displaystyle - \ rho}$${\ Displaystyle w * \ lambda: = w (\ lambda + \ rho) - \ rho \,}$${\ Displaystyle \ mu (\ alpha ^ {\ vee}) \ geq 0}$

Dado un peso integral λ , ocurre uno de dos casos:

1. No hay tal que sea ​​dominante, equivalentemente, existe una no identidad tal que ; o${\ Displaystyle w \ in W}$${\ Displaystyle w * \ lambda}$${\ Displaystyle w \ in W}$${\ Displaystyle w * \ lambda = \ lambda}$
2. Hay un tal único que es dominante.${\ Displaystyle w \ in W}$${\ Displaystyle w * \ lambda}$

El teorema establece que en el primer caso, tenemos

${\ Displaystyle H ^ {i} (G / B, \, L _ {\ lambda}) = 0}$por todo yo ;

y en el segundo caso, tenemos

${\ Displaystyle H ^ {i} (G / B, \, L _ {\ lambda}) = 0}$para todos , mientras${\ Displaystyle i \ neq \ ell (w)}$

${\ Displaystyle H ^ {\ ell (w)} (G / B, \, L _ {\ lambda})}$es el dual de la representación irreducible de mayor peso de G con mayor peso .${\ Displaystyle w * \ lambda}$

Vale la pena señalar que el caso (1) anterior ocurre si y solo si para alguna raíz positiva β . Además, obtenemos el teorema clásico de Borel-Weil como un caso especial de este teorema tomando λ como dominante yw como elemento de identidad . ${\ Displaystyle (\ lambda + \ rho) (\ beta ^ {\ vee}) = 0}$${\ Displaystyle e \ in W}$

Ejemplo

Por ejemplo, considere G = SL ₂ ( C ) , para la cual G / B es la esfera de Riemann , un peso integral se especifica simplemente por un número entero n , y ρ = 1 . El haz de líneas L _n es , cuyas secciones son los polinomios homogéneos de grado n (es decir, las formas binarias ). Como representación de G , las secciones se pueden escribir como Sym ⁿ ( C ² ) * , y son canónicamente isomorfas a Sym ⁿ ( C ² ) . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (n)}$

Esto nos da un golpe de la teoría de la representación de : es la representación estándar, y es su n º de potencia simétrica . Incluso tenemos una descripción unificada de la acción del álgebra de Lie, derivada de su realización como campos vectoriales en la esfera de Riemann: si H , X , Y son los generadores estándar de , entonces ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbf {C})}$${\ Displaystyle \ Gamma ({\ mathcal {O}} (1))}$${\ Displaystyle \ Gamma ({\ mathcal {O}} (n))}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbf {C})}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} H & = x {\ frac {d} {dx}} - y {\ frac {d} {dy}}, \\ [5pt] X & = x {\ frac {d} { dy}}, \\ [5pt] Y & = y {\ frac {d} {dx}}. \ end {alineado}}}$

Característica positiva

También se tiene una forma más débil de este teorema en característica positiva. Es decir, sea G un grupo algebraico semisimple sobre un campo característico algebraicamente cerrado . Entonces sigue siendo cierto que para todo i si λ es un peso tal que no es dominante para todos siempre que λ sea ​​"cercano a cero". Esto se conoce como el teorema de desaparición de Kempf . Sin embargo, los otros enunciados del teorema no siguen siendo válidos en este contexto. ${\ Displaystyle p> 0}$${\ Displaystyle H ^ {i} (G / B, \, L _ {\ lambda}) = 0}$${\ Displaystyle w * \ lambda}$${\ Displaystyle w \ in W}$

Más explícitamente, sea λ un peso integral dominante; entonces sigue siendo cierto que para todos , pero ya no es cierto que este módulo G sea ​​simple en general, aunque contiene el módulo único de mayor peso de mayor peso λ como un submódulo G. Si λ es un peso integral arbitrario, de hecho es un gran problema sin resolver en la teoría de la representación describir los módulos de cohomología en general. A diferencia de over , Mumford dio un ejemplo que muestra que no es necesario que sea el caso para una λ fija que estos módulos sean todos cero excepto en un solo grado i . ${\ Displaystyle H ^ {i} (G / B, \, L _ {\ lambda}) = 0}$${\ Displaystyle i> 0}$${\ Displaystyle H ^ {i} (G / B, \, L _ {\ lambda})}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Teorema de Borel-Weil

El teorema de Borel-Weil proporciona un modelo concreto para representaciones irreductibles de grupos de Lie compactos y representaciones holomórficas irreductibles de grupos de Lie semisimplejos complejos . Estas representaciones se realizan en los espacios de secciones globales de haces de líneas holomórficas en la variedad de banderas del grupo. El teorema de Borel-Weil-Bott es su generalización a espacios de cohomología superior. El teorema se remonta a principios de la década de 1950 y se puede encontrar en Serre & 1951-4 y Tits (1955) . error de harvtxt: sin destino: CITEREFSerre1951-4 ( ayuda )

Declaración del teorema

El teorema puede afirmarse ya sea para un complejo grupo de Lie semisimple G o por su forma compacta K . Sea G un grupo de Lie semisimple complejo conectado , B un subgrupo Borel de G y X = G / B la variedad de bandera . En este escenario, X es un colector de complejo y una algebraica no singular G -Variedad . La variedad bandera también puede ser descrito como un compacto espacio homogéneo K / T , donde T = K ∩ B es A (compacto) Cartan subgrupo de K . Un peso integral λ determina un haz de líneas holomorfas G -equivariante L _λ sobre X y el grupo G actúa sobre su espacio de secciones globales,

${\ Displaystyle \ Gamma (G / B, L _ {\ lambda}). \}$

El teorema de Borel-Weil establece que si λ es un peso integral dominante, entonces esta representación es una representación holomórfica irreducible de mayor peso de G con el mayor peso λ . Su restricción a K es una representación unitaria irreductible de K con el mayor peso λ , y cada representación unitaria irreducible de K se obtiene de esta manera para un valor único de λ . (Una representación holomórfica de un grupo de Lie complejo es aquella para la que la representación del álgebra de Lie correspondiente es lineal compleja ).

Descripción concreta

El peso λ da lugar a un carácter (representación unidimensional) del subgrupo B de Borel , que se denota χ _λ . Las secciones holomórficas del haz de líneas holomórficas L _λ sobre G / B pueden describirse más concretamente como mapas holomórficos

${\ Displaystyle f: G \ to \ mathbb {C} _ {\ lambda}: f (gb) = \ chi _ {\ lambda} (b ^ {- 1}) f (g)}$

para todos g ∈ G y b ∈ B .

La acción de G sobre estas secciones viene dada por

${\ Displaystyle g \ cdot f (h) = f (g ^ {- 1} h)}$

para g , h ∈ G .

Ejemplo

Sea G el grupo lineal especial complejo SL (2, C ) , con un subgrupo de Borel que consta de matrices triangulares superiores con determinante uno. Los pesos integrales para G pueden identificarse con números enteros , con pesos dominantes correspondientes a enteros no negativos, y los caracteres correspondientes χ _n de B tienen la forma

${\ Displaystyle \ chi _ {n} {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & a ^ {- 1} \ end {pmatrix}} = a ^ {n}.}$

La variedad de bandera G / B puede identificarse con la línea proyectiva compleja CP ¹ con coordenadas homogéneas X , Y y el espacio de las secciones globales del haz de líneas L _n se identifica con el espacio de polinomios homogéneos de grado n sobre C ² . Para n ≥ 0 , este espacio tiene dimensión n + 1 y forma una representación irreducible bajo la acción estándar de G sobre el álgebra polinomial C [ X , Y ] . Los vectores de peso están dados por monomios

${\ Displaystyle X ^ {i} Y ^ {ni}, \ quad 0 \ leq i \ leq n}$

de pesos 2 i - n , y el vector de peso más alto X ⁿ tiene un peso n .

Ver también

• Teorema del mayor peso

Notas

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor  1153249 . OCLC  246650103 ..
• Baston, Robert J .; Eastwood, Michael G. (1989), La transformación de Penrose: su interacción con la teoría de la representación , Oxford University Press. ( reimpreso por Dover)
• "Teorema de Bott-Borel-Weil" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Una prueba del teorema de Borel-Weil-Bott , por Jacob Lurie . Consultado el 13 de julio de 2014.
• Serre, Jean-Pierre (1954) [1951], "Représentations linéaires et espaces homogènes kählériens des groupes de Lie compacts (d'après Armand Borel et André Weil)", Séminaire Bourbaki , 2 (100): 447–454. En francés; título traducido: "Representaciones lineales y espacios homogéneos de Kähler de grupos de Lie compactos (según Armand Borel y André Weil)".
• Tits, Jacques (1955), Sur certaines classes d'espaces homogènes de groupes de Lie , Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. Mém. Coll., 29 En francés.
• Sepanski, Mark R. (2007), Grupos de Compact Lie. , Textos de posgrado en matemáticas, 235 , Nueva York: Springer, ISBN 9780387302638.
• Knapp, Anthony W. (2001), Teoría de representación de grupos semisimple: una descripción general basada en ejemplos , Princetonmarks in Mathematics, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. Reimpresión del original de 1986.

Otras lecturas

• Teleman, Constantin (1998). "Teoría de Borel-Weil-Bott sobre la pila de módulos de paquetes G sobre una curva". Inventiones Mathematicae . 134 (1): 1–57. doi : 10.1007 / s002220050257 . Señor  1646586 .

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