Aproximación WKB - WKB approximation

En física matemática , la aproximación WKB o método WKB es un método para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes que varían espacialmente. Por lo general, se usa para un cálculo semiclásico en mecánica cuántica en el que la función de onda se reformula como una función exponencial, se expande de manera semiclásica, y luego se considera que la amplitud o la fase cambian lentamente.

El nombre es una inicial de Wentzel – Kramers – Brillouin . También se conoce como método LG o Liouville-Green . Otras combinaciones de letras de uso frecuente incluyen JWKB y WKBJ , donde la "J" significa Jeffreys.

Breve historia

Este método lleva el nombre de los físicos Gregor Wentzel , Hendrik Anthony Kramers y Léon Brillouin , quienes lo desarrollaron en 1926. En 1923, el matemático Harold Jeffreys había desarrollado un método general para aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, una clase que incluye la ecuación de Schrödinger . La ecuación de Schrödinger en sí no se desarrolló hasta dos años después, y Wentzel, Kramers y Brillouin aparentemente desconocían este trabajo anterior, por lo que a menudo se descuida el crédito de Jeffreys. Los primeros textos de la mecánica cuántica contienen cualquier número de combinaciones de sus iniciales, incluidas WBK, BWK, WKBJ, JWKB y BWKJ. Robert B. Dingle ha ofrecido una discusión autorizada y una encuesta crítica.

Apariciones anteriores de métodos esencialmente equivalentes son: Francesco Carlini en 1817, Joseph Liouville en 1837, George Green en 1837, Lord Rayleigh en 1912 y Richard Gans en 1915. Se puede decir que Liouville y Green fundaron el método en 1837, y es también conocido como método Liouville-Green o LG.

La importante contribución de Jeffreys, Wentzel, Kramers y Brillouin al método fue la inclusión del tratamiento de los puntos de inflexión , conectando las soluciones evanescentes y oscilatorias a ambos lados del punto de inflexión. Por ejemplo, esto puede ocurrir en la ecuación de Schrödinger, debido a una colina de energía potencial .

Método WKB

Generalmente, la teoría WKB es un método para aproximar la solución de una ecuación diferencial cuya derivada más alta se multiplica por un pequeño parámetro ε . El método de aproximación es el siguiente.

Para una ecuación diferencial

${\ Displaystyle \ varepsilon {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} + a (x) {\ frac {d ^ {n-1} y} {dx ^ {n-1} }} + \ cdots + k (x) {\ frac {dy} {dx}} + m (x) y = 0,}$

asumir una solución de la forma de una expansión asintótica en serie

${\ Displaystyle y (x) \ sim \ exp \ left [{\ frac {1} {\ delta}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n} (x )\derecho]}$

en el límite δ → 0 . La escala asintótica de δ en términos de ε estará determinada por la ecuación; consulte el ejemplo a continuación.

Sustituir el ansatz anterior en la ecuación diferencial y cancelar los términos exponenciales permite resolver un número arbitrario de términos S _n (x) en la expansión.

La teoría WKB es un caso especial de análisis de múltiples escalas .

Un ejemplo

Este ejemplo proviene del texto de Carl M. Bender y Steven Orszag . Considere la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

${\ Displaystyle \ epsilon ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = Q (x) y,}$

donde . Sustituyendo ${\ Displaystyle Q (x) \ neq 0}$

${\ Displaystyle y (x) = \ exp \ left [{\ frac {1} {\ delta}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n} (x) \derecho]}$

da como resultado la ecuación

${\ Displaystyle \ epsilon ^ {2} \ left [{\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n} '\ right) ^ {2} + {\ frac {1} {\ delta}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n}' '\ right ] = Q (x).}$

Al orden inicial (asumiendo, por el momento, que la serie será asintóticamente consistente), lo anterior se puede aproximar como

${\ displaystyle {\ frac {\ epsilon ^ {2}} {\ delta ^ {2}}} S_ {0} '^ {2} + {\ frac {2 \ epsilon ^ {2}} {\ delta}} S_ {0} 'S_ {1}' + {\ frac {\ epsilon ^ {2}} {\ delta}} S_ {0} '' = Q (x).}$

En el límite δ → 0 , el saldo dominante viene dado por

${\ displaystyle {\ frac {\ epsilon ^ {2}} {\ delta ^ {2}}} S_ {0} '^ {2} \ sim Q (x).}$

Entonces δ es proporcional a ε . Establecerlos iguales y comparar los rendimientos de potencias

${\ Displaystyle \ epsilon ^ {0}: \ quad S_ {0} '^ {2} = Q (x),}$

que puede reconocerse como la ecuación de Eikonal , con solución

${\ Displaystyle S_ {0} (x) = \ pm \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ sqrt {Q (t)}} \, dt.}$

Considerando los poderes de primer orden de los arreglos ε

${\ Displaystyle \ epsilon ^ {1}: \ quad 2S_ {0} 'S_ {1}' + S_ {0} '' = 0.}$

Esta tiene la solucion

${\ Displaystyle S_ {1} (x) = - {\ frac {1} {4}} \ ln Q (x) + k_ {1},}$

donde k ₁ es una constante arbitraria.

Ahora tenemos un par de aproximaciones al sistema (un par, porque S ₀ puede tomar dos signos); la aproximación WKB de primer orden será una combinación lineal de los dos:

${\ Displaystyle y (x) \ approx c_ {1} Q ^ {- {\ frac {1} {4}}} (x) \ exp \ left [{\ frac {1} {\ epsilon}} \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ sqrt {Q (t)}} \, dt \ right] + c_ {2} Q ^ {- {\ frac {1} {4}}} (x) \ exp \ left [- {\ frac {1} {\ epsilon}} \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ sqrt {Q (t)}} \, dt \ right].}$

Los términos de orden superior se pueden obtener observando ecuaciones para potencias superiores de δ . Explícitamente,

${\ Displaystyle 2S_ {0} 'S_ {n}' + S '' _ {n-1} + \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} S '_ {j} S' _ {nj} = 0}$

para n ≥ 2.

Precisión de la serie asintótica

La serie asintótica para y ( x ) suele ser una serie divergente , cuyo término general δ ⁿ S _n (x) comienza a aumentar después de un cierto valor n  =  n _máx . Por lo tanto, el error más pequeño logrado por el método WKB es, en el mejor de los casos, del orden del último término incluido.

Para la ecuación

${\ Displaystyle \ epsilon ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = Q (x) y,}$

con Q (x) <0 una función analítica, el valor y la magnitud del último término se pueden estimar de la siguiente manera: ${\ Displaystyle n _ {\ max}}$

${\ Displaystyle n _ {\ max} \ approx 2 \ epsilon ^ {- 1} \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x _ {\ ast}} {\ sqrt {-Q (z)}} \ , dz \ right |,}$

${\ Displaystyle \ delta ^ {n _ {\ max}} S_ {n _ {\ max}} (x_ {0}) \ approx {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n _ {\ max}}}} \ exp [-n _ {\ max}],}$

donde es el punto en el que necesita ser evaluado y es el punto de inflexión (complejo) donde , más cercano a . ${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle y (x_ {0})}$${\ Displaystyle x _ {\ ast}}$${\ Displaystyle Q (x _ {\ ast}) = 0}$${\ Displaystyle x = x_ {0}}$

El número n _max se puede interpretar como el número de oscilaciones entre y el punto de inflexión más cercano. ${\ Displaystyle x_ {0}}$

Si es una función que cambia lentamente, ${\ Displaystyle \ epsilon ^ {- 1} Q (x)}$

${\ Displaystyle \ epsilon \ left | {\ frac {dQ} {dx}} \ right | \ ll Q ^ {2},}$

el número n _max será grande y el error mínimo de la serie asintótica será exponencialmente pequeño.

Aplicación a la ecuación de Schrödinger

El ejemplo anterior se puede aplicar específicamente a la ecuación de Schrödinger unidimensional e independiente del tiempo ,

${\ Displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ Psi (x) + V (x) \ Psi ( x) = E \ Psi (x),}$

que se puede reescribir como

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ Psi (x) = {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) - E \ derecha) \ Psi (x).}$

Aproximación lejos de los puntos de inflexión

La función de onda se puede reescribir como el exponencial de otra función Φ (estrechamente relacionada con la acción ), que podría ser compleja,

${\ Displaystyle \ Psi (x) = e ^ {\ Phi (x)},}$

así que eso

${\ Displaystyle \ Phi '' (x) + \ left [\ Phi '(x) \ right] ^ {2} = {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) -E \ derecha),}$

donde Φ 'indica la derivada de Φ con respecto ax . Esta derivada Φ 'se puede separar en partes reales e imaginarias introduciendo las funciones reales A y B ,

${\ Displaystyle \ Phi '(x) = A (x) + iB (x).}$

La amplitud de la función de onda es entonces

${\ Displaystyle \ exp \ left [\ int _ {x_ {0}} ^ {x} A (x ') \, dx' \ right],}$

mientras la fase es

${\ Displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x} B (x ') \, dx'.}$

Las partes reales e imaginarias de la ecuación de Schrödinger se convierten en

${\ Displaystyle A '(x) + A (x) ^ {2} -B (x) ^ {2} = {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) - E \ derecha),}$

${\ Displaystyle B '(x) + 2A (x) B (x) = 0.}$

A continuación, se utiliza la aproximación semiclásica. Esto significa que cada función se expande como una serie de potencias en ħ . De las ecuaciones anteriores, se puede ver que la serie de potencias debe comenzar con al menos un orden de 1 / ħ para satisfacer la parte real de la ecuación. Para lograr un buen límite clásico, es necesario comenzar con una potencia de la constante de Planck ħ tan alta como sea posible:

${\ Displaystyle A (x) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ hbar ^ {n} A_ {n} (x),}$

${\ Displaystyle B (x) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ hbar ^ {n} B_ {n} (x).}$

En el orden cero de esta expansión, las condiciones en A y B se pueden escribir,

${\ Displaystyle A_ {0} (x) ^ {2} -B_ {0} (x) ^ {2} = 2m \ left (V (x) -E \ right),}$

${\ Displaystyle A_ {0} (x) B_ {0} (x) = 0 \ ;.}$

Se descartaron las primeras derivadas A '(x) y B' (x) , porque incluyen factores de orden 1 / ħ , superiores al dominante ħ ⁻² .

Entonces, si la amplitud varía lo suficientemente lentamente en comparación con la fase ( ), se deduce que ${\ Displaystyle A_ {0} (x) = 0}$

${\ Displaystyle B_ {0} (x) = \ pm {\ sqrt {2m \ left (EV (x) \ right)}},}$

lo cual solo es válido cuando la energía total es mayor que la energía potencial, como siempre ocurre en el movimiento clásico .

Después del mismo procedimiento en el siguiente orden de expansión, se sigue que

Por otro lado, si es la fase la que varía lentamente (en comparación con la amplitud), ( ) entonces ${\ Displaystyle B_ {0} (x) = 0}$

${\ Displaystyle A_ {0} (x) = \ pm {\ sqrt {2m \ left (V (x) -E \ right)}},}$

que solo es válido cuando la energía potencial es mayor que la energía total (el régimen en el que se produce el túnel cuántico ).

Encontrar el siguiente orden de la expansión produce, como en el ejemplo de la sección anterior,

En la región clásicamente permitida, es decir, la región donde el integrando del exponente es imaginario y la función de onda aproximada es oscilatoria. En la región clásicamente prohibida , las soluciones están creciendo o decayendo. Es evidente en el denominador que ambas soluciones aproximadas se vuelven singulares cerca de los puntos de inflexión clásicos , donde E = V (x) , y no pueden ser válidas. (Los puntos de inflexión son los puntos donde la partícula clásica cambia de dirección). ${\ Displaystyle V (x) <E}$${\ Displaystyle V (x)> E}$

Comportamiento cerca de los puntos de inflexión

Consideremos ahora el comportamiento de la función de onda cerca de los puntos de inflexión. Para ello, necesitamos un método diferente. Cerca de los primeros puntos de inflexión, x ₁ , el término se puede expandir en una serie de potencias, ${\ Displaystyle {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) -E \ right)}$

${\ Displaystyle {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) -E \ right) = U_ {1} \ cdot (x-x_ {1}) + U_ {2} \ cdot (x-x_ {1}) ^ {2} + \ cdots \ ;.}$

Al primer orden, se encuentra

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ Psi (x) = U_ {1} \ cdot (x-x_ {1}) \ cdot \ Psi (x).}$

Esta ecuación diferencial se conoce como la ecuación de Airy , y la solución se puede escribir en términos de funciones de Airy ,

${\ Displaystyle \ Psi (x) = C_ {A} {\ textrm {Ai}} \ left ({\ sqrt [{3}] {U_ {1}}} \ cdot (x-x_ {1}) \ right ) + C_ {B} {\ textrm {Bi}} \ left ({\ sqrt [{3}] {U_ {1}}} \ cdot (x-x_ {1}) \ right).}$

Aunque para cualquier valor fijo de , la función de onda está limitada cerca de los puntos de inflexión, la función de onda alcanzará su punto máximo allí, como se puede ver en las imágenes de arriba. A medida que se hace más pequeña, la altura de la función de onda en los puntos de inflexión aumenta. ${\ Displaystyle \ hbar}$${\ Displaystyle \ hbar}$

Las condiciones coincidentes

Ahora queda por construir una solución global (aproximada) a la ecuación de Schrödinger. Para que la función de onda sea integrable al cuadrado, debemos tomar solo la solución que decae exponencialmente en las dos regiones clásicamente prohibidas. Estos deben entonces "conectarse" correctamente a través de los puntos de inflexión a la región clásicamente permitida. Para la mayoría de los valores de E , este procedimiento de coincidencia no funcionará: la función obtenida al conectar la solución cerca de la región clásicamente permitida no concordará con la función obtenida al conectar la solución cerca de la región clásicamente permitida. El requisito de que las dos funciones coincidan impone una condición a la energía E , que dará una aproximación a los niveles exactos de energía cuántica. ${\ Displaystyle + \ infty}$${\ Displaystyle - \ infty}$

Dados los dos coeficientes de un lado del punto de inflexión clásico, los 2 coeficientes del otro lado del punto de inflexión clásico se pueden determinar utilizando la función Airy para conectarlos. Por tanto, se puede encontrar una relación entre y . Esta relación se obtiene utilizando una asintótica conocida de la función de Airy. La relación puede ser la siguiente (a menudo denominada "fórmulas de conexión"): ${\ Displaystyle C_ {0}, \ theta}$${\ Displaystyle C _ {+}, C _ {-}}$

${\ Displaystyle C _ {+} = + {\ frac {1} {2}} C_ {0} \ cos {\ left (\ theta - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)},}$

${\ Displaystyle C _ {-} = - {\ frac {1} {2}} C_ {0} \ sin {\ left (\ theta - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)}.}$

Ahora se pueden construir las soluciones globales (aproximadas). Lo mismo se puede hacer en los otros puntos de inflexión; suponga que solo hay otro, x ₂ . La expresión allí, sin embargo, aparecerá diferente a la determinada arriba en x ₁ por una diferencia en el argumento de estas funciones trigonométricas.

La condición de coincidencia, necesaria para obtener una solución aproximada de un solo valor, integrable en cuadrado, toma la siguiente forma:

${\ Displaystyle \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {\ sqrt {2m \ left (EV (x) \ right)}} \, dx = (n + 1/2) \ pi \ hbar,}$

donde se discuten los puntos de inflexión del potencial, donde el integrando se desvanece. Aquí n es un número entero no negativo. Esta condición también se puede reescribir diciendo que ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$

El área encerrada por la curva de energía clásica es .${\ Displaystyle 2 \ pi \ hbar (n + 1/2)}$

De cualquier manera, la condición de la energía es una versión de la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld , con una " corrección de Maslov " igual a 1/2.

Es posible demostrar que después de juntar las aproximaciones en las diversas regiones, se obtiene una buena aproximación a la función propia real. En particular, las energías de Bohr-Sommerfeld corregidas por Maslov son buenas aproximaciones a los valores propios reales del operador de Schrödinger. Específicamente, el error en las energías es pequeño en comparación con el espaciado típico de los niveles de energía cuántica. Así, aunque la "vieja teoría cuántica" de Bohr y Sommerfeld fue finalmente reemplazada por la ecuación de Schrödinger, queda algún vestigio de esa teoría, como una aproximación a los valores propios del operador de Schrödinger apropiado.

La densidad de probabilidad

A continuación, se puede calcular la densidad de probabilidad asociada a la función de onda aproximada. La probabilidad de que la partícula cuántica se encuentre en la región clásicamente prohibida es pequeña. En la región clásicamente permitida, mientras tanto, la probabilidad de que la partícula cuántica se encuentre en un intervalo dado es aproximadamente la fracción de tiempo que la partícula clásica pasa en ese intervalo durante un período de movimiento. Dado que la velocidad de la partícula clásica llega a cero en los puntos de inflexión, pasa más tiempo cerca de los puntos de inflexión que en otras regiones clásicamente permitidas. Esta observación explica el pico en la función de onda (y su densidad de probabilidad) cerca de los puntos de inflexión.

Las aplicaciones del método WKB a las ecuaciones de Schrödinger con una gran variedad de potenciales y la comparación con métodos de perturbación e integrales de ruta se tratan en Müller-Kirsten.

Ver también

Referencias

Referencias modernas

• Bender, Carl ; Orszag, Steven (1978). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Niño, MS (1991). Mecánica semiclásica con aplicaciones moleculares . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-855654-3.
• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Liboff, Richard L. (2003). Introducción a la mecánica cuántica (4ª ed.) . Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Olver, Frank William John (1974). Asintótica y funciones especiales . Prensa académica. ISBN 0-12-525850-X.
• Razavy, Mohsen (2003). Teoría cuántica de la tunelización . World Scientific. ISBN 981-238-019-1.
• Sakurai, JJ (1993). Mecánica cuántica moderna . Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2.

Referencias históricas

• Carlini, Francesco (1817). Ricerche sulla convergenza della serie che serva alla soluzione del problema di Keplero . Milano.
• Liouville, Joseph (1837). "Sur le développement des fonctions et séries.". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 : 16–35.
• Green, George (1837). "Sobre el movimiento de las olas en un canal variable de pequeña profundidad y anchura". Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 6 : 457–462.
• Rayleigh, Lord (John William Strutt) (1912). "Sobre la propagación de ondas a través de un medio estratificado, con especial referencia a la cuestión de la reflexión" . Proceedings of the Royal Society A . 86 (586): 207–226. Código Bib : 1912RSPSA..86..207R . doi : 10.1098 / rspa.1912.0014 .
• Gans, Richard (1915). "Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium" . Annalen der Physik . 47 (14): 709–736. Código Bibliográfico : 1915AnP ... 352..709G . doi : 10.1002 / yp.19153521402 .
• Jeffreys, Harold (1924). "Sobre determinadas soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden". Actas de la London Mathematical Society . 23 : 428–436. doi : 10.1112 / plms / s2-23.1.428 .
• Brillouin, Léon (1926). "La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par aproximaciones sucesivas". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 183 : 24-26.
• Kramers, Hendrik A. (1926). "Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung". Zeitschrift für Physik . 39 (10-11): 828-840. Bibcode : 1926ZPhy ... 39..828K . doi : 10.1007 / BF01451751 . S2CID  122955156 .
• Wentzel, Gregor (1926). "Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik". Zeitschrift für Physik . 38 (6–7): 518–529. Bibcode : 1926ZPhy ... 38..518W . doi : 10.1007 / BF01397171 . S2CID  120096571 .

enlaces externos

• Fitzpatrick, Richard (2002). "La aproximación WKB" . (Una aplicación de la aproximación WKB a la dispersión de ondas de radio de la ionosfera).