Medidas alternativas de estrés - Alternative stress measures

En la mecánica del continuo , la medida más comúnmente utilizada de estrés es el tensor de tensiones de Cauchy , a menudo llamado simplemente el tensor de tensiones o "tensión real". Sin embargo, se pueden definir varias medidas alternativas de estrés:

1. El estrés de Kirchhoff ( ). ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$
2. La tensión nominal ( ). ${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$
3. El primer estrés de Piola-Kirchhoff ( ). Este tensor de tensión es la transposición de la tensión nominal ( ). ${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} = {\ boldsymbol {N}} ^ {T}}$
4. El segundo estrés de Piola-Kirchhoff o estrés PK2 ( ). ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$
5. El estrés de Biot ( ) ${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$

Definiciones

Considere la situación que se muestra en la siguiente figura. Las siguientes definiciones utilizan las notaciones que se muestran en la figura.

Cantidades utilizadas en la definición de medidas de estrés

En la configuración de referencia , la normal hacia afuera a un elemento de superficie es y la tracción que actúa sobre esa superficie conduce a un vector de fuerza . En la configuración deformada , el elemento de superficie cambia a un vector de tracción y normal hacia afuera que conduce a una fuerza . Tenga en cuenta que esta superficie puede ser un corte hipotético dentro del cuerpo o una superficie real. La cantidad es el tensor del gradiente de deformación , es su determinante. ${\ Displaystyle \ Omega _ {0}}$${\ Displaystyle d \ Gamma _ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {N} \ equiv \ mathbf {n} _ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {t} _ {0}}$${\ Displaystyle d \ mathbf {f} _ {0}}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle d \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {t}}$${\ Displaystyle d \ mathbf {f}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$${\ Displaystyle J}$

Estrés de Cauchy

La tensión de Cauchy (o tensión verdadera) es una medida de la fuerza que actúa sobre un elemento de área en la configuración deformada. Este tensor es simétrico y se define mediante

${\ Displaystyle d \ mathbf {f} = \ mathbf {t} ~ d \ Gamma = {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} ~ d \ Gamma}$

o

${\ Displaystyle \ mathbf {t} = {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n}}$

donde está la tracción y es la normal a la superficie sobre la que actúa la tracción. ${\ Displaystyle \ mathbf {t}}$${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$

Estrés de Kirchhoff

La cantidad,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = J ~ {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

se llama tensor de tensión de Kirchhoff , con el determinante de . Se usa ampliamente en algoritmos numéricos en plasticidad de metales (donde no hay cambios de volumen durante la deformación plástica). También se puede llamar tensor de tensión de Cauchy ponderado . ${\ Displaystyle J}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$

Estrés de Piola-Kirchhoff

Estrés nominal / Primer estrés de Piola-Kirchhoff

La tensión nominal es la transposición de la primera tensión de Piola-Kirchhoff (tensión PK1, también llamada tensión de ingeniería) y se define mediante ${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} = {\ boldsymbol {P}} ^ {T}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$

${\ displaystyle d \ mathbf {f} = \ mathbf {t} ~ d \ Gamma = {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0} = {\ boldsymbol {P}} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

o

${\ Displaystyle \ mathbf {t} _ {0} = \ mathbf {t} {\ dfrac {d {\ Gamma}} {d \ Gamma _ {0}}} = {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} = {\ boldsymbol {P}} \ cdot \ mathbf {n} _ {0}}$

Esta tensión es asimétrica y es un tensor de dos puntos como el gradiente de deformación.
La asimetría deriva del hecho de que, como tensor, tiene un índice adjunto a la configuración de referencia y otro a la configuración deformada.

Segundo estrés de Piola-Kirchhoff

Si nos retiramos a la configuración de referencia, tenemos ${\ Displaystyle d \ mathbf {f}}$

${\ Displaystyle d \ mathbf {f} _ {0} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot d \ mathbf {f}}$

o,

${\ displaystyle d \ mathbf {f} _ {0} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot \ mathbf {t} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

La tensión PK2 ( ) es simétrica y se define mediante la relación ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$

${\ displaystyle d \ mathbf {f} _ {0} = {\ boldsymbol {S}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0} = {\ boldsymbol {F }} ^ {- 1} \ cdot \ mathbf {t} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

Por lo tanto,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot \ mathbf {t} _ {0}}$

Biot estrés

La tensión de Biot es útil porque es energía conjugada al tensor de estiramiento derecho . La tensión de Biot se define como la parte simétrica del tensor donde es el tensor de rotación obtenido de una descomposición polar del gradiente de deformación. Por lo tanto, el tensor de tensión de Biot se define como ${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {R}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ boldsymbol {R}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {P}} + {\ boldsymbol {P}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {R}}) ~.}$

El estrés de Biot también se denomina estrés de Jaumann.

La cantidad no tiene ninguna interpretación física. Sin embargo, el estrés Biot asimétrico tiene la interpretación ${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} ^ {T} ~ d \ mathbf {f} = ({\ boldsymbol {P}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {R}}) ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

Relaciones

Relaciones entre la tensión de Cauchy y la tensión nominal

De la fórmula de Nanson que relaciona áreas en la referencia y configuraciones deformadas:

${\ Displaystyle \ mathbf {n} ~ d \ Gamma = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

Ahora,

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} ~ d \ Gamma = d \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf { n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

Por eso,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} \ cdot (J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0 }) = {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

o,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} ^ {T} = J ~ ({\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}) ^ {T} = J ~ {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$

o,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ qquad {\ text {y}} \ qquad {\ boldsymbol { N}} ^ {T} = {\ boldsymbol {P}} = J ~ {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$

En notación de índice,

${\ Displaystyle N_ {Ij} = J ~ F_ {Ik} ^ {- 1} ~ \ sigma _ {kj} \ qquad {\ text {y}} \ qquad P_ {iJ} = J ~ \ sigma _ {ki} ~ F_ {Jk} ^ {- 1}}$

Por lo tanto,

${\ displaystyle J ~ {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {N}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {P}} ^ {T } ~.}$

Tenga en cuenta que y (generalmente) no son simétricos porque (generalmente) no son simétricos. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$

Relaciones entre la tensión nominal y la segunda tensión P – K

Recordar que

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0} = d \ mathbf {f}}$

y

${\ displaystyle d \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot d \ mathbf {f} _ {0} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot ({\ boldsymbol {S}} ^ {T } \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0})}$

Por lo tanto,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0}}$

o (usando la simetría de ), ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} = {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} \ qquad {\ text {y}} \ qquad {\ boldsymbol {P}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {S}}}$

En notación de índice,

${\ Displaystyle N_ {Ij} = S_ {IK} ~ F_ {jK} ^ {T} \ qquad {\ text {y}} \ qquad P_ {iJ} = F_ {iK} ~ S_ {KJ}}$

Alternativamente, podemos escribir

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = {\ boldsymbol {N}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} \ qquad {\ text {y}} \ qquad {\ boldsymbol {S}} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {P}}}$

Relaciones entre el estrés de Cauchy y el segundo estrés P – K

Recordar que

${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

En términos del estrés del segundo PK, tenemos

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

Por lo tanto,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$

En notación de índice,

${\ Displaystyle S_ {IJ} = F_ {Ik} ^ {- 1} ~ \ tau _ {kl} ~ F_ {Jl} ^ {- 1}}$

Dado que la tensión de Cauchy (y por tanto la tensión de Kirchhoff) es simétrica, la tensión del segundo PK también es simétrica.

Alternativamente, podemos escribir

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = J ^ {- 1} ~ {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$

o,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} ~.}$

Claramente, a partir de la definición de las operaciones de empuje hacia adelante y hacia atrás , tenemos

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = \ varphi ^ {*} [{\ boldsymbol {\ tau}}] = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$

y

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ varphi _ {*} [{\ boldsymbol {S}}] = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol { F}} ^ {T} ~.}$

Por lo tanto, es el retroceso de por y es el empuje hacia adelante de . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$

Ver también

• Estrés (física)
• Teoría de la deformación finita
• Mecánica de Medios Continuos
• Material hiperelástico
• Material elástico Cauchy
• Análisis de plano crítico

Resumen de las relaciones entre las medidas de estrés

Fórmulas de conversión
	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {M}}}$
${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \,}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$	${\ displaystyle J ^ {- 1} {\ boldsymbol {P}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle J ^ {- 1} {\ boldsymbol {F}} {\ boldsymbol {S}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle J ^ {- 1} {\ boldsymbol {\ tau}}}$	${\ displaystyle J ^ {- 1} {\ boldsymbol {R}} {\ boldsymbol {T}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle J ^ {- 1} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} {\ boldsymbol {M}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$ (no isotropía)
${\ Displaystyle {\ boldsymbol {P}} = \,}$	${\ displaystyle J {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} {\ boldsymbol {S}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} {\ boldsymbol {T}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} {\ boldsymbol {M}}}$
${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = \,}$	${\ displaystyle J {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {P}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {\ tau}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {T}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {C}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {M}}}$
${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \,}$	${\ Displaystyle J {\ boldsymbol {\ sigma}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} {\ boldsymbol {S}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} {\ boldsymbol {T}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} {\ boldsymbol {M}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$ (no isotropía)
${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}} = \,}$	${\ displaystyle J {\ boldsymbol {R}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} ^ {T} {\ boldsymbol {P}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}} {\ boldsymbol {S}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ tau}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {M}}}$
${\ Displaystyle {\ boldsymbol {M}} = \,}$	${\ displaystyle J {\ boldsymbol {F}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$ (no isotropía)	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {T} {\ boldsymbol {P}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {C}} {\ boldsymbol {S}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ tau}} {\ boldsymbol {R}} ^ {- T}}$ (no isotropía)	${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}} {\ boldsymbol {T}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {M}}}$
${\ displaystyle J = \ det \ left ({\ boldsymbol {F}} \ right), \ quad {\ boldsymbol {C}} = {\ boldsymbol {F}} ^ {T} {\ boldsymbol {F}} = {\ boldsymbol {U}} ^ {2}, \ quad {\ boldsymbol {F}} = {\ boldsymbol {R}} {\ boldsymbol {U}}, \ quad {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ boldsymbol {R}} ^ {- 1}}$
${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} = J {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}, \ quad {\ boldsymbol {\ tau}} = J {\ boldsymbol {\ sigma}}, \ quad {\ boldsymbol {S}} = J {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}, \ quad {\ boldsymbol {T}} = {\ boldsymbol {R}} ^ {T} {\ boldsymbol {P}}, \ quad {\ boldsymbol {M}} = {\ boldsymbol {C}} {\ boldsymbol {S} }}$

Referencias