Semiespacio superior Siegel - Siegel upper half-space

En matemáticas , el semiespacio superior de Siegel de grado g (o género g ) (también llamado semiplano superior de Siegel ) es el conjunto de matrices simétricas g  ×  g sobre los números complejos cuya parte imaginaria es definida positiva . Fue introducido por Siegel  ( 1939 ).

El semiespacio superior de Siegel tiene propiedades como una variedad compleja que generaliza las propiedades del semiplano superior , que es el semiespacio superior de Siegel en el caso especial g = 1 . El grupo de automorfismos que preservan la estructura compleja de la variedad es isomorfo al grupo simpléctico Sp (2 g , C ) . Así como la métrica hiperbólica bidimensional es la métrica única (hasta la escala) en el semiplano superior cuyo grupo de isometría es el grupo de automorfismo complejo SL (2, C ) = Sp (2, C ) , la mitad superior de Siegel. el espacio tiene solo una métrica hasta la escala cuyo grupo de isometría es Sp (2 g , C ) . Escribiendo una matriz genérica Z en el semiespacio superior de Siegel en términos de sus partes real e imaginaria como Z = X + iY , todas las métricas con grupo de isometría Sp (2 g , C ) son proporcionales a

${\ displaystyle ds ^ {2} = {\ text {tr}} (Y ^ {- 1} dZY ^ {- 1} d {\ bar {Z}}).}$

El semiplano superior de Siegel se puede identificar con el conjunto de estructuras domesticadas casi complejas compatibles con una estructura simpléctica , en el espacio vectorial real dimensional subyacente , es decir, el conjunto de tales que y para todos los vectores.${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle 2n}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle J \ en Hom (V)}$${\ Displaystyle J ^ {2} = - 1}$${\ Displaystyle \ omega (Jv, v)> 0}$${\ Displaystyle v \ neq 0}$

Ver también

• Dominio de Siegel , una generalización del espacio de la mitad superior de Siegel
• Forma modular Siegel , un tipo de forma automórfica definida en el semiespacio superior Siegel
• Variedad modular Siegel , un espacio modular construido como un cociente del semiespacio superior Siegel
• Módulos de variedades abelianas

Referencias

• Bowman, Joshua P. "Algunos resultados elementales en el semiplano Siegel" (PDF) ..

• van der Geer, Gerard (2008), "Siegel modulares y sus aplicaciones", en Ranestad, Kristian (ed.), El 1-2-3 de las formas modulares , Universitext, Berlín: Springer-Verlag , págs. 181–245 , doi : 10.1007 / 978-3-540-74119-0 , ISBN 978-3-540-74117-6, MR  2409679

• Nielsen, Frank (2020), "The Siegel-Klein Disk: Hilbert Geometry of the Siegel Disk Domain" , Entropy , 22 (9): 1019, arXiv : 2004.08160 , doi : 10.3390 / e22091019 , PMC  7597112 , PMID  33286788

• Siegel, Carl Ludwig (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Mathematische Annalen , 116 : 617–657, doi : 10.1007 / BF01597381 , ISSN  0025-5831 , MR  0001251 , S2CID  124337559

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