Mapeo de cizallamiento - Shear mapping

Un cizallamiento horizontal del plano con coeficiente m = 1.25, ilustrado por su efecto (en verde) sobre una cuadrícula rectangular y algunas figuras (en azul). El punto negro es el origen.

En geometría plana , un mapeo de corte es un mapa lineal que desplaza cada punto en una dirección fija, en una cantidad proporcional a su distancia firmada desde la línea que es paralela a esa dirección y pasa por el origen. Este tipo de mapeo también se denomina transformación de corte , transvección o simplemente corte .

Un ejemplo es el mapeo que lleva cualquier punto con coordenadas al punto . En este caso, el desplazamiento es horizontal, la línea fija es el eje -y la distancia con signo es la coordenada. Tenga en cuenta que los puntos en lados opuestos de la línea de referencia se desplazan en direcciones opuestas. ${\ Displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle (x + 2y, y)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

Las asignaciones de corte no deben confundirse con rotaciones . La aplicación de un mapa de corte a un conjunto de puntos del plano cambiará todos los ángulos entre ellos (excepto los ángulos rectos ) y la longitud de cualquier segmento de línea que no sea paralelo a la dirección de desplazamiento. Por lo tanto, generalmente distorsionará la forma de una figura geométrica, por ejemplo, convirtiendo cuadrados en paralelogramos no cuadrados y círculos en elipses . Sin embargo, un corte conserva el área de las figuras geométricas y la alineación y las distancias relativas de los puntos colineales . Un mapeo de corte es la principal diferencia entre los estilos de letras verticales e inclinados (o cursiva) .

En dinámica de fluidos, un mapeo de corte representa el flujo de fluido entre placas paralelas en movimiento relativo.

La misma definición se usa en geometría tridimensional , excepto que la distancia se mide desde un plano fijo. Una transformación de corte tridimensional conserva el volumen de las figuras sólidas, pero cambia las áreas de las figuras planas (excepto aquellas que son paralelas al desplazamiento). Esta transformación se utiliza para describir el flujo laminar de un fluido entre placas, una que se mueve en un plano superior y paralelo a la primera.

En el espacio cartesiano de dimensión general , la distancia se mide desde un hiperplano fijo paralelo a la dirección de desplazamiento. Esta transformación geométrica es una transformación lineal de que conserva la medida dimensional (hipervolumen) de cualquier conjunto. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$

Definición

Cizalla horizontal y vertical del plano

A través de un mapeo de corte codificado en SVG ,
un rectángulo se convierte en un paralelogramo .

En el plano , un cortante horizontal (o cortante paralelo al eje x ) es una función que toma un punto genérico con coordenadas al punto ; donde es un parámetro fijo, llamado factor de corte . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} = \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle (x + my, y)}$${\ Displaystyle m}$

El efecto de este mapeo es desplazar cada punto horizontalmente en una cantidad proporcional a su coordenada. Cualquier punto por encima del eje-se desplaza hacia la derecha (aumentando ) si , y hacia la izquierda si . Los puntos debajo del eje -se mueven en la dirección opuesta, mientras que los puntos en el eje permanecen fijos. ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle m> 0}$${\ Displaystyle m <0}$${\ Displaystyle x}$

Las líneas rectas paralelas al eje-permanecen donde están, mientras que todas las demás líneas giran, en varios ángulos, alrededor del punto donde cruzan el eje-. Las líneas verticales, en particular, se convierten en líneas oblicuas con pendiente . Por lo tanto, el factor de corte es la cotangente del ángulo por el cual las líneas verticales se inclinan, llamado ángulo de corte . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle 1 / m}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ varphi}$

Si las coordenadas de un punto se escriben como un vector de columna (una matriz de 2 × 1 ), el mapeo de corte se puede escribir como una multiplicación por una matriz de 2 × 2:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ^ {\ prime} \\ y ^ {\ prime} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x + my \\ y \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.}$

Un cortante vertical (o cortante paralelo al eje-) de líneas es similar, excepto que los roles de y se intercambian. Corresponde a multiplicar el vector de coordenadas por la matriz transpuesta : ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ^ {\ prime} \\ y ^ {\ prime} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x \\ mx + y \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ m & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.}$

La cizalla vertical desplaza los puntos a la derecha del eje -hacia arriba o abajo, según el signo de . Deja invariantes las líneas verticales, pero inclina todas las demás líneas alrededor del punto donde se encuentran con el eje-. Las líneas horizontales, en particular, se inclinan por el ángulo de corte para convertirse en líneas con pendiente . ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle m}$

Mapeos de corte generales

Para un espacio vectorial V y subespacio W , una fijación de cizallamiento W traduce todos los vectores en una dirección paralela a W .

Para ser más precisos, si V es la suma directa de W y W ′ , y escribimos los vectores como

v = w + w ′

correspondientemente, el cizallamiento típico L que fija W es

L ( v ) = ( Lw + Lw ′ ) = ( w + Mw ′ ) + w ′ ,

donde M es un mapeo lineal de W ' en W . Por lo tanto, en términos de matriz de bloques, L se puede representar como

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} I&M \\ 0 & I \ end {pmatrix}}.}$

Aplicaciones

William Kingdon Clifford señaló las siguientes aplicaciones del mapeo de corte :

"Una sucesión de cizallas nos permitirá reducir cualquier figura delimitada por líneas rectas a un triángulo de igual área".

"... podemos cortar cualquier triángulo en un triángulo rectángulo, y esto no alterará su área. Por lo tanto, el área de cualquier triángulo es la mitad del área del rectángulo en la misma base y con una altura igual a la perpendicular en el base desde el ángulo opuesto ".

La propiedad de preservación del área de un mapeo de corte se puede usar para resultados que involucren área. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras se ha ilustrado con el mapeo de corte, así como el teorema de la media geométrica relacionado .

Un algoritmo de Alan W. Paeth utiliza una secuencia de tres asignaciones de corte (horizontal, vertical y luego horizontal de nuevo) para rotar una imagen digital en un ángulo arbitrario. El algoritmo es muy simple de implementar y muy eficiente, ya que cada paso procesa solo una columna o una fila de píxeles a la vez.

En tipografía , el texto normal transformado por un mapeo de corte da como resultado un tipo oblicuo .

En la relatividad galileana anterior a Einstein , las transformaciones entre marcos de referencia son asignaciones de corte llamadas transformaciones galileanas . Estos también se ven a veces cuando se describen marcos de referencia en movimiento en relación con un marco "preferido", a veces denominado tiempo y espacio absolutos .

Ver también

• Matriz de corte
• Matriz de transformación

Referencias