Relación superparticular - Superparticular ratio

Solo semitono diatónico en C: dieciséis15 = 15 + 115 = 1+115

En matemáticas, una razón superparticular , también llamada número superparticular o razón epimórica , es la razón de dos números enteros consecutivos .

Más particularmente, la relación toma la forma:

{\ Displaystyle {\ frac {n + 1} {n}} = 1 + {\ frac {1} {n}}}

donde

n

es un número entero positivo .

Por lo tanto:

Un número superparticular es cuando un gran número contiene un número menor, con el que se compara, y al mismo tiempo una parte de él. Por ejemplo, cuando se comparan 3 y 2, contienen 2, más el 3 tiene otro 1, que es la mitad de dos. Cuando se comparan 3 y 4, cada uno contiene un 3, y el 4 tiene otro 1, que es una tercera parte de 3. Nuevamente, cuando se comparan 5 y 4, contienen el número 4 y el 5 tiene otro 1 , que es la cuarta parte del número 4, etc.

- Throop (2006),

Nicomachus escribió sobre las proporciones superparticulares en su tratado Introducción a la aritmética . Aunque estos números tienen aplicaciones en las matemáticas puras modernas, las áreas de estudio que se refieren con mayor frecuencia a las proporciones superparticulares con este nombre son la teoría musical y la historia de las matemáticas .

Propiedades matematicas

Como observó Leonhard Euler , los números superparticulares (incluyendo también las proporciones superparticulares multiplicadas, números formados sumando un número entero distinto de uno a una fracción unitaria) son exactamente los números racionales cuya fracción continua termina después de dos términos. Los números cuya fracción continua termina en un término son los números enteros, mientras que los números restantes, con tres o más términos en sus fracciones continuas, son superpartientes .

El producto Wallis

{\ Displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2n} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n + 1}} \ right) = { \ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdots = {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {16} {15}} \ cdot {\ frac { 36} {35}} \ cdots = 2 \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdot {\ frac {24} {25}} \ cdot {\ frac {48} {49}} \ cdots = { \ frac {\ pi} {2}}}

representa el número irracional $π$ de varias formas como producto de relaciones superparticulares y sus inversas. También es posible convertir la fórmula de Leibniz para π en un producto de Euler de razones superparticulares en el que cada término tiene un número primo como numerador y el múltiplo de cuatro más cercano como denominador:

{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {3} {4}} \ cdot {\ frac {5} {4}} \ cdot {\ frac {7} {8}} \ cdot {\ frac {11} {12}} \ cdot {\ frac {13} {12}} \ cdot {\ frac {17} {16}} \ cdots}

En la teoría de grafos , los números superparticulares (o mejor dicho, sus recíprocos, 1/2, 2/3, 3/4, etc.) surgen a través del teorema de Erdős-Stone como los posibles valores de la densidad superior de un grafo infinito.

Otras aplicaciones

En el estudio de la armonía , muchos intervalos musicales pueden expresarse como una proporción superparticular (por ejemplo, debido a la equivalencia de octava , el noveno armónico, 9/1, puede expresarse como una proporción superparticular, 9/8). De hecho, si una proporción era superparticular era el criterio más importante en la formulación de armonía musical de Ptolomeo . En esta aplicación, el teorema de Størmer se puede utilizar para enumerar todos los números superparticulares posibles para un límite dado ; es decir, todas las razones de este tipo en las que tanto el numerador como el denominador son números suaves .

Estas proporciones también son importantes en la armonía visual. Las relaciones de aspecto de 4: 3 y 3: 2 son comunes en la fotografía digital , y las relaciones de aspecto de 7: 6 y 5: 4 se utilizan en la fotografía de formato medio y gran formato, respectivamente.

Nombres de razón e intervalos relacionados

Cada par de números enteros positivos adyacentes representa una proporción superparticular y, de manera similar, cada par de armónicos adyacentes en la serie armónica (música) representa una proporción superparticular. Muchas proporciones superparticulares individuales tienen sus propios nombres, ya sea en matemáticas históricas o en teoría musical. Estos incluyen los siguientes:

Ejemplos de
Proporción	Centavos	Nombre / intervalo musical	Notación de Ben Johnston por encima de C
2: 1	1200	dúplex: octava	C'
3: 2	701,96	sesquialterum: quinto perfecto	GRAMO
4: 3	498.04	sesquitertium: cuarto perfecto	F
5: 4	386,31	sesquiquartum: tercera mayor	mi
6: 5	315,64	sesquiquintum: tercio menor	E ♭
7: 6	266,87	tercio menor septimal	E ♭
8: 7	231.17	segundo mayor septimal	D -
9: 8	203,91	sesquioctavum: segundo mayor	D
10: 9	182,40	sesquinona: tono menor	D -
11:10	165,00	mayor segundo neutro indecimal	D ↑ ♭ -
12:11	150,64	menor segundo neutro indecimal	D ↓
15:14	119,44	semitono diatónico septimal	C ♯
16:15	111,73	solo semitono diatónico	D ♭ -
17:16	104,96	semitono diatónico menor	C ♯
21:20	84,47	semitono cromático septimal	D ♭
25:24	70,67	solo semitono cromático	C ♯
28:27	62,96	septimal tercer tono	D ♭ -
32:31	54,96	31 ° subarmónico , cuarto de tono inferior	D ♭ -
49:48	35,70	diesis septimal	D ♭
50:49	34,98	septimal sexto tono	B ♯ -
64:63	27.26	coma septimal , subarmónico 63	C -
81:80	21.51	coma sintónica	C +
126: 125	13,79	semicomma septimal	D
128: 127	13.58	127 ° subarmónico
225: 224	7.71	cleisma septimal	B ♯
256: 255	6,78	255 ° subarmónico	D -
4375: 4374	0,40	ragisma	C ♯ -