Función zeta de Selberg - Selberg zeta function

La función zeta de Selberg fue introducida por Atle Selberg  ( 1956 ). Es análogo a la famosa función zeta de Riemann

${\ Displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}$

donde es el conjunto de números primos. La función zeta de Selberg utiliza las longitudes de geodésicas cerradas simples en lugar de los números primos. Si es un subgrupo de SL (2, R ) , la función zeta de Selberg asociada se define de la siguiente manera, ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle \ zeta _ {\ Gamma} (s) = \ prod _ {p} (1-N (p) ^ {- s}) ^ {- 1},}$

o

${\ Displaystyle Z _ {\ Gamma} (s) = \ prod _ {p} \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1-N (p) ^ {- sn}),}$

donde p se ejecuta sobre clases de conjugación de geodésicas primarias (de manera equivalente, clases de conjugación de elementos hiperbólicos primitivos de ), y N ( p ) denota la longitud de p (de manera equivalente, el cuadrado del valor propio más grande de p ). ${\ Displaystyle \ Gamma}$

Para cualquier superficie hiperbólica de área finita hay una función zeta de Selberg asociada ; esta función es una función meromórfica definida en el plano complejo . La función zeta se define en términos de las geodésicas cerradas de la superficie.

Los ceros y polos de la función zeta de Selberg, Z ( s ), se pueden describir en términos de datos espectrales de la superficie.

Los ceros están en los siguientes puntos:

1. Para cada forma de cúspide con valor propio , existe un cero en el punto . El orden del cero es igual a la dimensión del espacio propio correspondiente. (Una forma de cúspide es una función propia del operador de Laplace-Beltrami que tiene expansión de Fourier con término constante cero). ${\ Displaystyle s_ {0} (1-s_ {0})}$${\ Displaystyle s_ {0}}$
2. La función zeta también tiene un cero en cada polo del determinante de la matriz de dispersión, . El orden del cero es igual al orden del polo correspondiente de la matriz de dispersión. ${\ Displaystyle \ phi (s)}$

La función zeta también tiene polos en , y puede tener ceros o polos en los puntos . ${\ Displaystyle 1 / 2- \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle - \ mathbb {N}}$

La función zeta de Ihara se considera un análogo p-ádico (y teórico de grafos) de la función zeta de Selberg.

Función zeta de Selberg para el grupo modular

Para el caso donde está la superficie , donde está el grupo modular , la función zeta de Selberg es de especial interés. Para este caso especial, la función zeta de Selberg está íntimamente conectada a la función zeta de Riemann . ${\ Displaystyle \ Gamma \ barra invertida \ mathbb {H} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

En este caso, el determinante de la matriz de dispersión viene dado por:

${\ Displaystyle \ varphi (s) = \ pi ^ {1/2} {\ frac {\ Gamma (s-1/2) \ zeta (2s-1)} {\ Gamma (s) \ zeta (2s)} }.}$

En particular, vemos que si la función zeta de Riemann tiene un cero en , entonces el determinante de la matriz de dispersión tiene un polo en y, por lo tanto, la función zeta de Selberg tiene un cero en . ${\ Displaystyle s_ {0}}$${\ Displaystyle s_ {0} / 2}$${\ Displaystyle s_ {0} / 2}$

Referencias

• Fischer, Jürgen (1987), Una aproximación a la fórmula de traza de Selberg a través de la función zeta de Selberg , Lecture Notes in Mathematics, 1253 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0077696 , ISBN   978-3-540-15208-8 , MR   0892317
• Hejhal, Dennis A. (1976), La fórmula de trazas de Selberg para PSL (2, R). Vol. I , Lecture Notes in Mathematics, vol. 548, 548 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0079608 , MR   0439755
• Hejhal, Dennis A. (1983), La fórmula de trazas de Selberg para PSL (2, R). Vol. 2 , Lecture Notes in Mathematics, 1001 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0061302 , ISBN   978-3-540-12323-1 , MR   0711197
• Iwaniec, H. Métodos espectrales de formas automórficas, American Mathematical Society, segunda edición, 2002.
• Selberg, Atle (1956), "Análisis armónico y grupos discontinuos en espacios riemannianos débilmente simétricos con aplicaciones a las series de Dirichlet", J. Indian Math. Soc. , Serie nueva, 20 : 47–87, MR   0088511
• Venkov, AB Teoría espectral de funciones automórficas. Proc. Steklov. Inst. Matemáticas, 1982.
• Sunada, T. , funciones L en geometría y algunas aplicaciones, Proc. Taniguchi Symp. 1985, "Curvatura y topología de los colectores de Riemann", Springer Lect. Nota en matemáticas. 1201 (1986), 266-284.