Selberg integral - Selberg integral

En matemáticas, la integral de Selberg es una generalización de la función beta de Euler en n dimensiones introducidas por Atle Selberg  ( 1944 ).

Fórmula integral de Selberg

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} S_ {n} (\ alpha, \ beta, \ gamma) & = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} \ prod _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} ^ {\ alpha -1} (1-t_ {i}) ^ {\ beta -1} \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} | t_ {i} -t_ {j} | ^ {2 \ gamma} \, dt_ {1} \ cdots dt_ {n} \\ & = \ prod _ {j = 0} ^ {n-1} {\ frac { \ Gamma (\ alpha + j \ gamma) \ Gamma (\ beta + j \ gamma) \ Gamma (1+ (j + 1) \ gamma)} {\ Gamma (\ alpha + \ beta + (n + j-1) ) \ gamma) \ Gamma (1+ \ gamma)}} \ end {alineado}}}$

La fórmula de Selberg implica la identidad de Dixon para series hipergeométricas bien equilibradas y algunos casos especiales de la conjetura de Dyson .

Fórmula integral de Aomoto

Aomoto (1987) demostró una fórmula integral un poco más general:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {k} t_ {i} \ right) \ prod _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} ^ {\ alpha -1} (1-t_ {i}) ^ {\ beta -1} \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} | t_ {i} -t_ {j} | ^ {2 \ gamma} \, dt_ {1} \ cdots dt_ {n}}$

${\ Displaystyle = S_ {n} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \ prod _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {\ alpha + (nj) \ gamma} {\ alpha + \ beta + (2n-j-1) \ gamma}}.}$

Integral de Mehta

La integral de Mehta es

${\ Displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n / 2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } \ prod _ {i = 1} ^ {n} e ^ {- t_ {i} ^ {2} / 2} \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} | t_ {i} -t_ { j} | ^ {2 \ gamma} \, dt_ {1} \ cdots dt_ {n}.}$

Es la función de partición para un gas de cargas puntuales que se mueven en una línea que son atraídas al origen ( Mehta 2004 ). Su valor se puede deducir del de la integral de Selberg, y es

${\ Displaystyle \ prod _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ Gamma (1 + j \ gamma)} {\ Gamma (1+ \ gamma)}}.}$

Esto fue conjeturado por Mehta y Dyson (1963) , quienes desconocían el trabajo anterior de Selberg.

Integral de Macdonald

Macdonald (1982) conjeturó la siguiente extensión de la integral de Mehta a todos los sistemas de raíces finitas, correspondiendo el caso original de Mehta al sistema de raíces A _{n −1} .

${\ Displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n / 2}}} \ int \ cdots \ int \ left | \ prod _ {r} {\ frac {2 (x, r)} { (r, r)}} \ right | ^ {\ gamma} e ^ {- (x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}) / 2} dx_ {1} \ cdots dx_ {n} = \ prod _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ Gamma (1 + d_ {j} \ gamma)} {\ Gamma (1+ \ gamma)}}}$

El producto está sobre las raíces r del sistema de raíces y los números d _j son los grados de los generadores del anillo de invariantes del grupo de reflexión. Opdam (1989) dio una prueba uniforme para todos los grupos de reflexión cristalográfica. Varios años después lo demostró con total generalidad ( Opdam (1993) ), haciendo uso de cálculos asistidos por computadora de Garvan.

Referencias

• Andrews, George E .; Askey, Richard ; Roy, Ranjan (1999), Funciones especiales , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 71 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-62321-6, MR  1688958 (Capítulo 8)
• Aomoto, K (1987), "Sobre la integral compleja de Selberg", The Quarterly Journal of Mathematics , 38 (4): 385–399, doi : 10.1093 / qmath / 38.4.385
• Forrester, Peter J .; Warnaar, S. Ole (2008), "La importancia de la integral Selberg", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 45 (4): 489–534, arXiv : 0710.3981 , doi : 10.1090 / S0273-0979-08-01221-4
• Macdonald, IG (1982), "Algunas conjeturas para sistemas de raíces", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 13 (6): 988–1007, doi : 10.1137 / 0513070 , ISSN  0036-1410 , MR  0674768
• Mehta, Madan Lal (2004), Matrices aleatorias , Matemáticas puras y aplicadas (Amsterdam), 142 (3.a ed.), Elsevier / Academic Press, Amsterdam, ISBN 978-0-12-088409-4, Señor  2129906
• Mehta, Madan Lal; Dyson, Freeman J. (1963), "Teoría estadística de los niveles de energía de sistemas complejos. V", Journal of Mathematical Physics , 4 (5): 713–719, Bibcode : 1963JMP ..... 4..713M , doi : 10.1063 / 1.1704009 , ISSN  0022-2488 , MR  0151232
• Opdam, EM (1989), "Algunas aplicaciones de los operadores de desplazamiento hipergeométricos" , Invent. Matemáticas. , 98 (1): 275–282, Bibcode : 1989InMat..98 .... 1O , doi : 10.1007 / BF01388841 , MR  1010152
• Opdam, EM (1993), "Operadores de Dunkl, funciones de Bessel y el discriminante de un grupo de Coxeter finito" , Compositio Mathematica , 85 (3): 333–373, MR  1214452 , Zbl  0778.33009
• Selberg, Atle (1944), "Observaciones sobre una integral múltiple", Norsk Mat. Tidsskr. , 26 : 71–78, MR  0018287