Clase Selberg - Selberg class

En las matemáticas , la clase de Selberg es un axioma definición de una clase de L -Funciones . Los miembros de la clase son series de Dirichlet que obedecen a cuatro axiomas que parecen captar las propiedades esenciales satisfechas por la mayoría de las funciones que comúnmente se denominan funciones L o funciones zeta . Aunque la naturaleza exacta de la clase es conjetural, la esperanza es que la definición de la clase conduzca a una clasificación de su contenido y una elucidación de sus propiedades, incluida la comprensión de su relación con las formas automórficas y la hipótesis de Riemann . La clase fue definida por Atle Selberg en ( Selberg 1992 ), quien prefirió no usar la palabra "axioma" que han empleado autores posteriores.

Definición

La definición formal de la clase S es el conjunto de todas las series de Dirichlet.

absolutamente convergente para Re ( s )> 1 que satisfacen cuatro axiomas (o supuestos como los llama Selberg):

  1. Analiticidad : tiene una continuación meromórfica para todo el plano complejo, con el único polo posible (si lo hay) cuando s es igual a 1.
  2. Conjetura de Ramanujan : a 1 = 1 y para cualquier ε> 0;
  3. Ecuación funcional : hay un factor gamma de la forma

    donde Q es real y positivo, Γ la función gamma , el ω i real y positivo, y el complejo μ i con parte real no negativa, así como el llamado número raíz

    ,

    tal que la función

    satisface

  4. Producto de Euler : para Re ( s )> 1, F ( s ) se puede escribir como un producto sobre primos:

    con

    y, para algunos θ <1/2,

Comentarios sobre la definición

La condición de que la parte real de μ i no sea negativa es porque existen funciones L conocidas que no satisfacen la hipótesis de Riemann cuando μ i es negativa. Específicamente, hay formas de Maass asociadas con valores propios excepcionales, para los cuales se cumple la conjetura de Ramanujan-Peterssen , y tienen una ecuación funcional, pero no satisfacen la hipótesis de Riemann.

La condición de que θ <1/2 es importante, ya que el caso θ = 1/2 incluye la función eta de Dirichlet , que viola la hipótesis de Riemann.

Es una consecuencia de 4. que las a n son multiplicativas y que

Ejemplos de

El ejemplo prototípico de un elemento en S es la función zeta de Riemann . Otro ejemplo es la función L del discriminante modular Δ

donde y τ ( n ) es la función tau de Ramanujan .

Todos los ejemplos conocidos son automorfas L -Funciones , y los recíprocos de F p ( s ) son polinomios en p - s de grado limitado.

Los mejores resultados en la estructura de la clase Selberg se deben a Kaczorowski y Perelli, quienes muestran que las funciones L de Dirichlet (incluida la función zeta de Riemann) son los únicos ejemplos con un grado menor que 2.

Propiedades básicas

Al igual que con la función zeta de Riemann, un elemento F de S tiene ceros triviales que surgen de los polos del factor gamma γ ( s ). Los otros ceros se conocen como los ceros no triviales de F . Estos serán todos situados en algunas tira 1 - A ≤ Re ( s ) ≤ A . Denotando el número de ceros no triviales de F con 0 ≤ Im ( s ) ≤ T por N F ( T ), Selberg mostró que

Aquí, d F se llama el grado (o dimensión ) de F . Es dado por

Se puede demostrar que F  = 1 es la única función en S cuyo grado es menor que 1.

Si F y G están en la clase Selberg, entonces también lo es su producto y

Una función F ≠ 1 en S se llama primitiva si siempre que se escribe como F  =  F 1 F 2 , con F i en S , entonces F  =  F 1 o F  =  F 2 . Si d F  = 1, entonces F es primitivo. Cada función F ≠ 1 de S se puede escribir como un producto de funciones primitivas. Las conjeturas de Selberg, que se describen a continuación, implican que la factorización en funciones primitivas es única.

Ejemplos de funciones primitivas incluyen la función de zeta de Riemann y Dirichlet L -Funciones de caracteres de Dirichlet primitivos. Suponiendo las conjeturas 1 y 2 siguientes, las funciones L de las representaciones automórficas cuspidales irreductibles que satisfacen la conjetura de Ramanujan son primitivas.

Las conjeturas de Selberg

En ( Selberg 1992 ), Selberg hizo conjeturas sobre las funciones en S :

  • Conjetura 1: Para todo F en S , hay un entero n F tal que
y n F  = 1 siempre que F es primitivo.
  • Conjetura 2: Para distintas primitivas F ,  F ′ ∈  S ,
  • Conjetura 3: Si F está en S con factorización primitiva
χ es un carácter de Dirichlet primitivo, y la función
también está en S , entonces las funciones F i χ son elementos primitivos de S (y, en consecuencia, forman la factorización primitiva de F χ ).
  • Hipótesis de Riemann para S : Para todo F en S , todos los ceros no triviales de F se encuentran en la línea Re ( s ) = 1/2.

Consecuencias de las conjeturas

Las conjeturas 1 y 2 implican que si F tiene un polo de orden m en s  = 1, entonces F ( s ) / ζ ( s ) m es entero. En particular, implican la conjetura de Dedekind.

M. Ram Murty demostró en ( Murty 1994 ) que las conjeturas 1 y 2 implican la conjetura de Artin . De hecho, Murty demostró que las funciones L de Artin correspondientes a representaciones irreductibles del grupo de Galois de una extensión resoluble de los racionales son automórficas, tal como lo predicen las conjeturas de Langlands .

Las funciones en S también satisfacen un análogo del teorema de los números primos : F ( s ) no tiene ceros en la línea Re ( s ) = 1. Como se mencionó anteriormente, las conjeturas 1 y 2 implican la factorización única de funciones en S en funciones primitivas . Otra consecuencia es que la primitividad de F es equivalente an F  = 1.

Ver también

Notas

Referencias