Bipirámide - Bipyramid

Conjunto de bipirámides n- gonales de doble uniforme
Ejemplo de bipirámide hexagonal de doble uniforme
Escribe	dual- uniforme en el sentido de poliedro dual- semirregular
Diagrama de Coxeter
Símbolo de Schläfli	{} + { n }
Caras	2 n triángulos isósceles congruentes
Bordes	3 n
Vértices	2 + n
Configuración de la cara	V4.4. norte
Grupo de simetría	D n h , [ n , 2], (* n 22), orden 4 n
Grupo de rotacion	D n , [ n , 2] + , ( n 22), orden 2 n
Poliedro doble	(convexo) prisma n -gonal uniforme
Propiedades	vértices regulares, convexos , transitivos a la cara
Neto	Ejemplo de red bipirámide pentagonal ( n = 5)

Una bipirámide (simétrica) n -gonal o bipirámide es un poliedro formado al unir una pirámide n -gonal y su imagen especular de base a base. Una bipirámide n -gonal tiene 2 n caras de triángulos , 3 n aristas y 2 + n vértices.

El n -gon al que se hace referencia en el nombre de una bipirámide no es una cara, sino la base del polígono interno, que se encuentra en el plano del espejo que conecta las dos mitades de la pirámide. (Si fuera una cara, entonces cada uno de sus bordes conectaría tres caras en lugar de dos).

"Regular", bipirámides derechas

Una bipirámide "regular" tiene una base poligonal regular . Por lo general, se da a entender que también es una bipirámide derecha .

Una bipirámide derecha tiene sus dos ápices justo encima y justo debajo del centro o centroide de la base de su polígono.

Una bipirámide n -gonal derecha (simétrica) "regular" tiene el símbolo de Schläfli {} + { n }.

Una bipirámide derecha (simétrica) tiene el símbolo de Schläfli {} + P , para la base del polígono P.

El derecho "regular" (por lo tanto cara transitivo ) n bipirámide -gonal con vértices regulares es el doble de la n -gonal uniforme (por lo tanto a la derecha) del prisma , y tiene congruentes triángulo isósceles caras.

Una bipirámide n -gonal derecha (simétrica) "regular" se puede proyectar en una esfera o globo como una bipirámide esférica n -gonal derecha (simétrica) "regular" : n líneas de longitud igualmente espaciadas que van de polo a polo, y un ecuador línea que los divide en dos.

Bipirámides n- gonales derechas (simétricas) "regulares" :

Nombre de la bipirámide	Bipirámide digital	Bipirámide triangular (Ver: J 12 )	Bipirámide cuadrada (Ver: O )	Bipirámide pentagonal (Ver: J 13 )	Bipirámide hexagonal	Bipirámide heptagonal	Bipirámide octagonal	Bipirámide enneagonal	Bipirámide decagonal	...	Bipirámide apeirogonal
Imagen de poliedro										...
Imagen de mosaico esférico										Imagen de mosaico plano
Configuración de la cara.	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	...	V∞.4.4
Diagrama de Coxeter										...

Bipirámides de triángulo equilátero

Sólo tres tipos de bipirámides pueden tener todas las aristas de la misma longitud (lo que implica que todas las caras son triángulos equiláteros y, por lo tanto, la bipirámide es un deltaedro ): las bipirámides triangulares , tetragonales y pentagonales rectas (simétricas) "regulares" . La bipirámide tetragonal o cuadrada con bordes de la misma longitud, u octaedro regular , cuenta entre los sólidos platónicos ; las bipirámides triangulares y pentagonales con bordes de la misma longitud se cuentan entre los sólidos de Johnson (J ₁₂ y J ₁₃ ).

Bipirámides de triángulo equilátero:

Nombre de bipirámide derecha (simétrico) "regular"	Bipirámide triangular (J 12 )	Bipirámide tetragonal (octaedro regular)	Bipirámide pentagonal (J 13 )
Imagen bipirámide

Simetría caleidoscópica

Una bipirámide n -gonal derecha (simétrica) "regular" tiene un grupo de simetría diedro D _{n h} , de orden 4 n , excepto en el caso de un octaedro regular , que tiene el grupo de simetría octaédrica más grande O _h , de orden 48, que tiene tres versiones de D _4h como subgrupos. El grupo de rotación es D _n , de orden 2 n , excepto en el caso de un octaedro regular, que tiene el grupo de rotación mayor O, de orden 24, que tiene tres versiones de D ₄ como subgrupos.

Las 4 n caras triangulares de una bipirámide recta "regular" (simétrica) de 2 n- gonales, proyectadas como las 4 n caras triangulares esféricas de una bipirámide esférica "regular" recta (simétrica) de 2 n- gonales , representan los dominios fundamentales de diedro simetría en tres dimensiones : D _{n h} , [ n , 2], (* n 22), orden 4 n . Estos dominios se pueden mostrar como triángulos esféricos de colores alternativos:

• en un plano de reflexión a través de bordes cocíclicos , los dominios de la imagen especular están en diferentes colores (isometría indirecta);
• sobre un eje de rotación de n pliegues a través de vértices opuestos , un dominio y su imagen están en el mismo color (isometría directa).

Una bipirámide n -gonal (simétrica) puede verse como el Kleetope del diedro n -gonal "correspondiente" .

Dominios fundamentales de la simetría diedro en tres dimensiones:

D n h	D 1h	D 2h	D 3h	D 4h	D 5h	D 6h	...
Imagen de dominios fundamentales							...

Volumen

Volumen de una bipirámide (simétrica):

${\ Displaystyle V = {\ frac {2} {3}} Bh \ ,,}$

donde B es el área de la base y h la altura desde el plano de la base hasta un vértice.

Esto funciona para cualquier forma de la base y para cualquier ubicación del vértice, siempre que h se mida como la distancia perpendicular desde el plano que contiene la base del polígono interno. Por eso:

Volumen de una bipirámide (simétrica) cuya base es un polígono regular de n lados con una longitud de lado s y cuya altura es h :

${\ Displaystyle V = {\ frac {n} {6}} hs ^ {2} \ cot {\ frac {\ pi} {n}} \ ,.}$

Bipirámides oblicuas

Las bipirámides no derechas se denominan bipirámides oblicuas .

Bipirámides cóncavas

Una bipirámide cóncava tiene una base poligonal cóncava .

Ejemplo bipirámide tetragonal cóncava (simétrica) (*)

(*) Su base no tiene un centroide obvio ; si sus ápices no están justo encima / debajo del centro de gravedad de su base, no es una bipirámide derecha . De todos modos, es un octaedro cóncavo.

Bipirámides derechas asimétricas / invertidas

Una bipirámide derecha asimétrica une dos pirámides derechas con bases congruentes pero alturas desiguales, de base a base.

Una bipirámide derecha invertida une dos pirámides derechas con bases congruentes pero alturas desiguales, de base a base, pero en el mismo lado de su base común.

El dual de una bipirámide derecha asimétrica o invertida es un tronco .

Una bipirámide "regular" asimétrica / invertida derecha n -gonal tiene un grupo de simetría C _{n v} , de orden 2 n .

Ejemplo de bipirámides hexagonales derechas asimétricas / invertidas "regulares":

Asimétrico	Invertido

Bipirámides de triángulo escaleno

Un " isotoxal " derecho (simétrica) di- n bipirámide -gonal es un derecho (simétrica) 2 n bipirámide -gonal con un isotoxal base de polígono plano: sus 2 n vértices alrededor de los lados son coplanares, pero alternan en dos radios.

Un "isotoxal" derecho (simétrica) di- n -gonal bipirámide tiene n ejes de dos veces de rotación a través de los vértices alrededor de los lados, n planos de reflexión a través de vértices y ápices, un n eje de rotación -fold través de ápices, un plano de reflexión a través de base, y un eje de rotación-reflexión de n pliegues a través de los ápices, que representa el grupo de simetría D _{n h} , [ n , 2], (* 22 n ), de orden 4 n . (La reflexión en el plano base corresponde a la rotación-reflexión de 0 °. Si n es par, hay una simetría alrededor del centro, correspondiente a la rotación-reflexión de 180 °).

Todas sus caras son triángulos escalenos congruentes y es isoédrico . Puede verse como otro tipo de di- "simétrica" derecho n -gonal escalenoedro .

Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras de los triángulos pueden ser isósceles.

Ejemplo:

• La bipirámide derecha "isotoxal" (simétrica) "didigonal" (*) con vértices de base:

U = (1,0,0), U ′ = (−1,0,0), V = (0,2,0), V ′ = (0, −2,0),

y con ápices:

A = (0,0,1), A ′ = (0,0, −1),

tiene dos longitudes de borde diferentes:

UV = UV ′ = U′V = U′V ′ = √ 5 ,

AU = AU ′ = A′U = A′U ′ = √ 2 ,

AV = AV ′ = A′V = A′V ′ = √ 5 ;

por tanto, todas sus caras triangulares son isósceles.

• La bipirámide derecha "isotoxal" (simétrica) "didigonal" (*) con los mismos vértices de base, pero con altura de ápice: 2, también tiene dos longitudes de borde diferentes: √ 5 y 2 √ 2 .

En cristalografía , existen bipirámides "isotoxal" derecha (simétrica) "didigonal" (*) (8 caras), ditrigonal (12 caras), ditetragonal (16 caras) y dihexagonal (24 caras).

(*) Los di- geométricas más pequeñas n bipirámides -gonal tienen ocho caras, y son topológicamente idéntica a la octaedro regular . En este caso (2 n  = 2 × 2):
una bipirámide "didigonal" derecha "isotoxal" (simétrica) se denomina bipirámide rómbica , aunque todas sus caras son triángulos escalenos, porque su base poligonal plana es un rombo.

Scalenohedra

A la derecha "simétrica" "regular" di- n -gonal escalenoedro se puede hacer con un regular de zigzag skew 2 n de base -gon, dos simétricos ápices derecha arriba y derecha debajo del centro de la base, y el triángulo se enfrenta a la conexión de cada borde de la base a cada vértice .

Tiene dos ápices y 2 n vértices alrededor de los lados, 4 n caras y 6 n aristas; es topológicamente idéntica a una bipirámide de 2 n- gonales, pero sus 2 n vértices alrededor de los lados se alternan en dos anillos por encima y por debajo del centro.

A di- "regular" derecho "simétrica" n escalenoedro -gonal tiene n ejes de dos veces de rotación a través de mediados de los bordes alrededor de los lados, n planos de reflexión a través de vértices y ápices, un n eje de rotación -fold través de ápices, y un n -fold eje de rotación-reflexión a través de los ápices, que representa el grupo de simetría D _{n v} = D _{n d} , [2 ⁺ , 2 n ], (2 * n ), de orden 4 n . (Si n es impar, hay una simetría alrededor del centro, correspondiente a la rotación-reflexión de 180 °).

Todas sus caras son triángulos escalenos congruentes y es isoédrico . Puede ser visto como otro tipo de bipirámide 2 n- gonal "simétrica" derecha, con una base poligonal oblicua en zigzag regular .

Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras de los triángulos pueden ser isoceles .

En cristalografía , existen escalenoedros "regulares" simétricos "derechas" "didigonales" (8 caras) y ditrigonales (12 caras).

Los escalenoedros geométricos más pequeños tienen ocho caras y son topológicamente idénticos al octaedro regular . En este caso (2 n  = 2 × 2):
un escalenoedro "regular" recto "simétrico" "didigonal" se llama escalenoedro tetragonal ; sus seis vértices se pueden representar como (0,0, ± 1), (± 1,0, z ), (0, ± 1, - z ), donde z es un parámetro entre 0 y 1; en z  = 0, es un octaedro regular; en z  = 1, es un difenoide con todas las caras coplanares fusionadas (cuatro triángulos isósceles congruentes); para z  > 1, se vuelve cóncavo.

Variaciones geométricas del escalenoedro "regular" derecho "simétrico" de 8 caras:

z  = 0,1	z  = 0,25	z  = 0,5	z  = 0,95	z  = 1,5

Nota: Si la base de 2 n- gones es isotoxal dentro-fuera y sesgada en zigzag, entonces no todas las caras del triángulo del sólido "simétrico" derecho "isotoxal" son congruentes.

Ejemplo:

• El sólido con isotoxal en zigzag sesgado 2 × 2-gon base vértices:

U = (1,0,1), U ′ = (−1,0,1), V = (0,2, −1), V ′ = (0, −2, −1),

y con ápices simétricos "rectos":

A = (0,0,3), A ′ = (0,0,3),

tiene cinco longitudes de borde diferentes:

UV = UV ′ = U′V = U′V ′ = 3,

AU = AU ′ = √ 5 ,

AV = AV ′ = 2 √ 5 ,

A′U = A′U ′ = √ 17 ,

A′V = A′V ′ = 2 √ 2 ;

por tanto, no todas las caras de sus triángulos son congruentes.

Bipirámides en estrella "regulares"

Una bipirámide en estrella o auto-intersecante tiene una base de polígono en estrella .

Se puede hacer una bipirámide de estrella simétrica derecha "regular" con una base de polígono de estrella regular , dos ápices simétricos justo encima y justo debajo del centro de la base y, por lo tanto, caras triangulares simétricas uno a uno que conectan cada borde de la base con cada vértice.

Una bipirámide en estrella de simetría derecha "regular" tiene caras triangulares isósceles congruentes y es isoédrica .

Nota: Para una altura de vértice en particular como máximo, las caras de los triángulos pueden ser equiláteros.

Una bipirámide { p / q } tiene un diagrama de Coxeter .

Ejemplo de bipirámides de estrella simétricas derechas "regulares":

Base poligonal estrella	5/2 -gon	7/2-gon	7/3-gon	8/3-gon	9/2-gon	9/4-gon
Imagen de estrella bipirámide
Diagrama de Coxeter

Ejemplo de bipirámides de estrella simétricas derechas "regulares":

Base poligonal estrella	10/3-gon	11/2-gon	11/3-gon	11/4-gon	11/5-gon	12/5-gon
Imagen de estrella bipirámide
Diagrama de Coxeter

Bipirámides estrella triangular escaleno

Se puede hacer una bipirámide de estrella "isotoxal" simétrica derecha 2 p / q -gonal con una estrella isotoxal de entrada-salida 2 p / q -base de un gón, dos ápices simétricos justo encima y justo debajo del centro de la base, y por lo tanto uno a uno caras de un triángulo simétrico que conectan cada borde de la base con cada vértice.

Una bipirámide en estrella "isotoxal" con simetría derecha 2 p / q -gonal tiene caras de triángulo escaleno congruentes y es isoédrica . Puede ser visto como otro tipo de escalenoedro estrella 2 p / q -gonal derecha "simétrica" .

Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras de los triángulos pueden ser isoceles.

Ejemplo de bipirámide de estrella simétrica derecha "isotoxal":

Base poligonal estrella	Isotoxal entrada-salida 8/3-gon
Imagen de bipirámide de estrella de triángulo escaleno

Estrella escalenohedra

Se puede hacer un escalenoedro "regular" recto "simétrico" de 2 p / q -estrella con una estrella oblicua regular en zigzag 2 p / q -base de un gón, dos ápices simétricos justo encima y justo debajo del centro de la base, y caras triangulares que conectan cada uno borde de la base a cada ápice.

Un escalenoedro estrella "regular" recto "simétrico" 2 p / q -gonal tiene caras triangulares escaleno congruentes y es isoédrico . Puede ser visto como otro tipo de bipirámide de estrella recta 2 p / q "simétrica" , con una base poligonal de estrella oblicua en zigzag regular.

Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras de los triángulos pueden ser isósceles .

Ejemplo de escalenoedro estrella "regular" derecha "simétrica":

Base poligonal estrella	Desviación regular en zigzag 8/3-gon
Imagen de estrella escalenoedro

Nota: Si la base del góndo p / q de la estrella 2 es isotoxal dentro-fuera y sesgada en zigzag, entonces no todas las caras triangulares del poliedro estrella "isotoxal" derecho "simétrico" son congruentes.

Ejemplo de poliedro en estrella "isotoxal" derecho "simétrico":

Base poligonal estrella	Desviación isotóxica en zigzag de entrada-salida 8/3-gon
Imagen de poliedro estrella

Con vértices base:

U ₀ = (1,0,1), U ₁ = (0,1,1), U ₂ = (−1,0,1), U ₃ = (0, −1,1),

V ₀ = (2,2, −1), V ₁ = (−2,2, −1), V ₂ = (−2, −2, −1), V ₃ = (2, −2, −1 ),

y con ápices:

A = (0,0,3), A ′ = (0,0, −3),

tiene cuatro longitudes de borde diferentes:

U ₀ V ₁ = V ₁ U ₃ = U ₃ V ₀ = V ₀ U ₂ = U ₂ V ₃ = V ₃ U ₁ = U ₁ V ₂ = V ₂ U ₀ = √ 17 ,

AU ₀ = AU ₁ = AU ₂ = AU ₃ = √ 5 ,

AV ₀ = AV ₁ = AV ₂ = AV ₃ = 2 √ 6 ,

A′U ₀ = A′U ₁ = A′U ₂ = A′U ₃ = √ 17 ,

A′V ₀ = A′V ₁ = A′V ₂ = A′V ₃ = 2 √ 3 ;

por tanto, no todas las caras de sus triángulos son congruentes.

4-politopos con células bipiramidales

El dual de la rectificación de cada 4-politopos regulares convexos es un 4-politopo transitivo celular con células bipiramidales. A continuación, el vértice del vértice de la bipirámide es A y el vértice del ecuador es E. La distancia entre los vértices adyacentes en el ecuador EE = 1, el vértice del borde del ecuador es AE y la distancia entre los ápices es AA. El 4-politopo bipirámide tendrá vértices V _A donde se encuentran los ápices de las bipirámides N _A. Se tendrá V _E vértices donde los vértices de tipo E de N _E bipirámides se encuentran. Las bipirámides N _{AE se} encuentran a lo largo de cada borde de tipo AE. Las bipirámides N _{EE se} encuentran a lo largo de cada borde de tipo EE. C _AE es el coseno del ángulo diedro a lo largo de un borde AE. C _EE es el coseno del ángulo diedro a lo largo de un borde EE. Como las celdas deben caber alrededor de un borde, N _AA cos ⁻¹ (C _AA ) ≤ 2 π , N _AE cos ⁻¹ (C _AE ) ≤ 2 π .

Propiedades de 4 politopos									Propiedades de la bipirámide
Dual de	Diagrama de Coxeter	Células	V A	V E	N A	N E	N AE	N EE	Celda	Diagrama de Coxeter	Automóvil club británico	AE **	C AE	C EE
5 celdas rectificadas		10	5	5	4	6	3	3	Bipirámide triangular		${\ textstyle {\ frac {2} {3}}}$	0,667	${\ textstyle - {\ frac {1} {7}}}$	${\ textstyle - {\ frac {1} {7}}}$
Tesseract rectificado		32	dieciséis	8	4	12	3	4	Bipirámide triangular		${\ textstyle {\ frac {\ sqrt {2}} {3}}}$	0,624	${\ textstyle - {\ frac {2} {5}}}$	${\ textstyle - {\ frac {1} {5}}}$
24 celdas rectificadas		96	24	24	8	12	4	3	Bipirámide triangular		${\ textstyle {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {3}}}$	0,745	${\ textstyle {\ frac {1} {11}}}$	${\ textstyle - {\ frac {5} {11}}}$
120 celdas rectificadas		1200	600	120	4	30	3	5	Bipirámide triangular		${\ textstyle {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {3}}}$	0,613	${\ textstyle - {\ frac {10 + 9 {\ sqrt {5}}} {61}}}$	${\ textstyle - {\ frac {7-12 {\ sqrt {5}}} {61}}}$
16 celdas rectificadas		24 *	8	dieciséis	6	6	3	3	Bipirámide cuadrada		${\ textstyle {\ sqrt {2}}}$	1	${\ textstyle - {\ frac {1} {3}}}$	${\ textstyle - {\ frac {1} {3}}}$
Nido de abeja cúbico rectificado		∞	∞	∞	6	12	3	4	Bipirámide cuadrada		${\ textstyle 1}$	0,866	${\ textstyle - {\ frac {1} {2}}}$	${\ textstyle 0}$
600 celdas rectificadas		720	120	600	12	6	3	3	Bipirámide pentagonal		${\ textstyle {\ frac {5 + 3 {\ sqrt {5}}} {5}}}$	1,447	${\ textstyle - {\ frac {11 + 4 {\ sqrt {5}}} {41}}}$	${\ textstyle - {\ frac {11 + 4 {\ sqrt {5}}} {41}}}$

* Las 16 celdas rectificadas son las 24 celdas regulares y los vértices son todos equivalentes; los octaedros son bipirámides regulares.

** Dado numéricamente debido a una forma más compleja.

Mayores dimensiones

En general, una bipirámide puede verse como un n - politopo construido con un ( n  -1) -politopo en un hiperplano con dos puntos en direcciones opuestas, a la misma distancia perpendicular al hiperplano. Si el  politopo ( n - 1) es un politopo regular, tendrá facetas piramidales idénticas . Un ejemplo es el de 16 celdas , que es una bipirámide octaédrica, y más generalmente un n - ortoplex es una  bipirámide ( n - 1) -orthoplex.

Una bipirámide bidimensional es un rombo .

Ver también

• Trapezoedro

Referencias

Citas

Referencias generales

• Anthony Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Prensa de la Universidad de California en Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Dipyramid" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Isohedron" . MathWorld .
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
  • Modelos VRML (George Hart) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
    • Notación de Conway para poliedros Prueba: "dP n ", donde n = 3, 4, 5, 6, ... ejemplo "dP4" es un octaedro.