Sección (teoría de categorías) - Section (category theory)
En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una sección es el inverso correcto de algún morfismo . Dualmente , una retracción es un inverso izquierdo de algún morfismo . En otras palabras, si f : X → Y y g : Y → X son morfismos cuya composición f o g : Y → Y es el morfismo de identidad en Y , entonces g es una sección de f , y f es una retracción de g .
Cada sección es un monomorfismo (cada morfismo con un inverso de la izquierda es cancelador a la izquierda ), y cada retracción es un epimorfismo (todo morfismo con un inverso a la derecha es cancelador a la derecha ).
En álgebra , las secciones también se denominan monomorfismos divididos y las retracciones también se denominan epimorfismos divididos . En una categoría abeliana , si f : X → Y es un epimorfismo dividido con monomorfismo dividido g : Y → X , entonces X es isomorfo a la suma directa de Y y el núcleo de f . El sinónimo coretracción para sección se ve a veces en la literatura, aunque rara vez en trabajos recientes.
Terminología
El concepto de retracción en la teoría de categorías proviene de la noción esencialmente similar de retracción en topología : donde hay un subespacio de es una retracción en el sentido topológico, si es una retracción del mapa de inclusión en el sentido de la teoría de categorías. El concepto en topología fue definido por Karol Borsuk en 1931.
El alumno de Borsuk, Samuel Eilenberg , fue con Saunders Mac Lane el fundador de la teoría de categorías, y dado que las primeras publicaciones sobre teoría de categorías se referían a varios espacios topológicos, uno podría haber esperado que este término se hubiera utilizado inicialmente. De hecho, sus publicaciones anteriores, hasta, por ejemplo, Homology de Mac Lane (1963) , usaban el término inverso a la derecha. No fue sino hasta 1965 cuando Eilenberg y John Coleman Moore acuñaron el término dual "corretracción" que el término de Borsuk fue elevado a teoría de categorías en general. El término coretracción dio paso al término sección a fines de la década de 1960.
Tanto el uso de la inversa izquierda / derecha como de la sección / retracción se ven comúnmente en la literatura: el primer uso tiene la ventaja de que es familiar de la teoría de semigrupos y monoides ; Este último es considerado menos confuso por algunos porque uno no tiene que pensar en 'en qué dirección' va la composición, un tema que se ha vuelto mayor con la creciente popularidad del sinónimo f; g para g∘f .
Ejemplos
En la categoría de conjuntos , todo monomorfismo ( función inyectiva ) con un dominio no vacío es una sección, y todo epimorfismo ( función sobreyectiva ) es una retracción; el último enunciado es equivalente al axioma de elección .
En la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K , todo monomorfismo y todo epimorfismo se divide; esto se deriva del hecho de que los mapas lineales se pueden definir de forma única especificando sus valores sobre una base .
En la categoría de grupos abelianos , el epimorfismo Z → Z / 2 Z que envía cada entero a su resto módulo 2 no se divide; de hecho, el único morfismo Z / 2 Z → Z es el mapa cero . Del mismo modo, la monomorphism naturales Z / 2 Z → Z / 4 Z no divide a pesar de que hay un no trivial morfismo Z / 4 Z → Z / 2 Z .
El concepto categórico de una sección es importante en el álgebra homológica , y también está estrechamente relacionado con la noción de una sección de un haz de fibras en topología : en el último caso, una sección de un haz de fibras es una sección del mapa de proyección del haz de el haz de fibras.
Dado un espacio de cociente con mapa de cociente , una sección de se llama transversal .
Bibliografía
- Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático en activo (2ª ed.). Springer Verlag .
- Barry, Mitchell (1965). Teoría de categorías . Prensa académica .