Triángulo entero - Integer triangle

Un triángulo entero o un triángulo integral es un triángulo cuyos lados tienen longitudes enteras . Un triángulo racional se puede definir como uno que tiene todos los lados con una longitud racional ; cualquier triángulo racional de este tipo se puede reescalar integralmente (puede tener todos los lados multiplicados por el mismo número entero, es decir, un múltiplo común de sus denominadores) para obtener un triángulo entero, por lo que no hay una diferencia sustancial entre triángulos enteros y triángulos racionales en este sentido. Sin embargo, también existen otras definiciones del término "triángulo racional": en 1914 Carmichael usó el término en el sentido en que nosotros usamos hoy el término triángulo heroniano ; Somos lo usa para referirse a triángulos cuyas razones de lados son racionales; Conway y Guy definen un triángulo racional como uno con lados racionales y ángulos racionales medidos en grados, en cuyo caso el único triángulo racional es el triángulo equilátero de lados racionales .

Hay varias propiedades generales para un triángulo entero, que se dan en la primera sección a continuación. Todas las demás secciones se refieren a clases de triángulos enteros con propiedades específicas.

Propiedades generales de un triángulo entero

Triángulos enteros con perímetro dado

Cualquier triple de números enteros positivos puede servir como la longitud de los lados de un triángulo entero siempre que satisfaga la desigualdad del triángulo : el lado más largo es más corto que la suma de los otros dos lados. Cada triple define un triángulo entero que es único hasta la congruencia . Entonces, el número de triángulos enteros (hasta la congruencia) con el perímetro p es el número de particiones de p en tres partes positivas que satisfacen la desigualdad del triángulo. Este es el número entero más cercano a p ² ⁄ 48 cuando p es par y a ( p  + 3) ² ⁄ 48 cuando p es impar . También significa que el número de triángulos enteros con perímetros pares p  = 2 n es el mismo que el número de triángulos enteros con perímetros impares p  = 2 n  - 3. Por lo tanto, no hay un triángulo entero con perímetro 1, 2 o 4 , uno con perímetro 3, 5, 6 u 8, y dos con perímetro 7 o 10. La secuencia del número de triángulos enteros con perímetro p , comenzando en p = 1, es:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (secuencia A005044 en la OEIS )

Triángulos enteros con el lado más grande dado

El número de triángulos enteros (hasta congruencia) con dada más grande lado c y número entero triple ( un ,  b ,  c ) es el número de número entero triplica tal que un  +  b  >  c y un  ≤  b  ≤  c . Este es el valor entero Ceiling [ ( c  + 1) ⁄ 2 ] * Floor [ ( c  + 1) ⁄ 2 ]. Alternativamente, para c par es el número triangular doble c ⁄ 2 ( c ⁄ 2  + 1) y para c impar es el cuadrado ( c  + 1) ² ⁄ 4 . También significa que el número de triángulos enteros con el lado mayor c excede el número de triángulos enteros con el lado mayor c - 2 por c . La secuencia del número de triángulos enteros no congruentes con el lado más grande c , comenzando en c  = 1, es:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (secuencia A002620 en la OEIS )

El número de triángulos enteros (hasta la congruencia) con el lado mayor c dado y el triple entero ( a ,  b ,  c ) que se encuentran en o dentro de un semicírculo de diámetro c es el número de triples enteros tales que a  +  b  >  c  ,  a ²  +  b ²  ≤  c ² y a  ≤  b  ≤  c . Este es también el número de triángulos enteros obtusos o rectos (no agudos ) con el lado más grande c . La secuencia que comienza en c  = 1, es:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (secuencia A236384 en la OEIS )

En consecuencia, la diferencia entre las dos secuencias anteriores da el número de triángulos de lados enteros agudos (hasta la congruencia) con el lado más grande c dado . La secuencia que comienza en c  = 1, es:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (secuencia A247588 en la OEIS )

Área de un triángulo entero

Por la fórmula de Heron , si T es el área de un triángulo cuyos lados tienen longitudes a , b , y c entonces

${\ Displaystyle 4T = {\ sqrt {(a + b + c) (a + bc) (a-b + c) (- a + b + c)}}.}$

Dado que todos los términos bajo el radical en el lado derecho de la fórmula son números enteros, se deduce que todos los triángulos enteros deben tener un valor entero de 16T ² y T ² será racional.

Ángulos de un triángulo entero

Según la ley de los cosenos , cada ángulo de un triángulo entero tiene un coseno racional .

Si los ángulos de cualquier triángulo forman una progresión aritmética, entonces uno de sus ángulos debe ser de 60 °. Para triángulos enteros, los ángulos restantes también deben tener cosenos racionales y a continuación se proporciona un método para generar tales triángulos. Sin embargo, aparte del caso trivial de un triángulo equilátero, no hay triángulos enteros cuyos ángulos formen una progresión geométrica o armónica . Esto se debe a que tales ángulos tienen que ser ángulos racionales de la forma π p ⁄ q con racional 0 < p ⁄ q <1. Pero todos los ángulos de triángulos enteros deben tener cosenos racionales y esto ocurrirá solo cuando  p ⁄ q  =  1 ⁄ 3   es decir, el triángulo entero es equilátero.

El cuadrado de cada bisectriz del ángulo interno de un triángulo entero es racional, porque la fórmula general del triángulo para la bisectriz del ángulo interno del ángulo A es donde s es el semiperímetro (y lo mismo para las bisectrices de los otros ángulos). ${\ Displaystyle {\ tfrac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}}$

Lado dividido por una altitud

Cualquier altitud que caiga de un vértice a un lado opuesto o su extensión dividirá ese lado o su extensión en longitudes racionales.

Medianas

El cuadrado del doble de cualquier mediana de un triángulo entero es un número entero, porque la fórmula general para la mediana al cuadrado m _a ² del lado a es , dando (2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  -  a ² (y lo mismo para las medianas a los otros lados). ${\ displaystyle {\ tfrac {(2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2})} {4}}}$

Circumradius e inradius

Debido a que el cuadrado del área de un triángulo entero es racional, el cuadrado de su circunradio también es racional, al igual que el cuadrado del radio interno .

La relación de la inradio a la circunferencia circunscrita de un triángulo número entero es racional, igualando para semiperímetro s y la zona de T . ${\ displaystyle {\ tfrac {4T ^ {2}} {sabc}}}$

El producto del radio interno y el radio circunferencial de un triángulo entero es racional, igual a ${\ Displaystyle {\ tfrac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Por tanto, la distancia al cuadrado entre el incentro y el circuncentro de un triángulo entero, dada por el teorema de Euler como R ² - 2 Rr , es racional.

Triángulos heronianos

Todos los triángulos de Heronian se pueden colocar en una celosía con cada vértice en un punto de celosía.

Formula general

Un triángulo Heronian, también conocido como triángulo Heron o triángulo Hero , es un triángulo con lados enteros y área entera. Cada triángulo de Heronian tiene lados proporcionales a

${\ Displaystyle a = norte (m ^ {2} + k ^ {2})}$

${\ Displaystyle b = m (norte ^ {2} + k ^ {2})}$

${\ Displaystyle c = (m + n) (mn-k ^ {2})}$

${\ Displaystyle {\ text {Semiperímetro}} = mn (m + n)}$

${\ Displaystyle {\ text {Área}} = mnk (m + n) (mn-k ^ {2})}$

para enteros m , n y k sujetos a las restricciones:

${\ Displaystyle \ gcd {(m, n, k)} = 1}$

${\ Displaystyle mn> k ^ {2} \ geq m ^ {2} n / (2m + n)}$

${\ Displaystyle m \ geq n \ geq 1.}$

El factor de proporcionalidad es generalmente racional donde q = mcd ( a , b , c ) reduce el triángulo heroniano generado a su primitivo y escala este primitivo al tamaño requerido. ${\ Displaystyle {\ frac {p} {q}}}$${\ Displaystyle p}$

Triángulos pitagóricos

Un triángulo pitagórico tiene un ángulo recto y es heroniano. Sus tres lados enteros se conocen como una de Pitágoras triples o de Pitágoras triplete o de Pitágoras tríada . Todas las triples pitagóricas con hipotenusa que son primitivas (los lados no tienen un factor común ) pueden ser generadas por ${\ Displaystyle (a, b, c)}$ ${\ Displaystyle c}$

${\ Displaystyle a = m ^ {2} -n ^ {2}, \,}$

${\ Displaystyle b = 2mn, \,}$

${\ Displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}, \,}$

${\ Displaystyle {\ text {Semiperímetro}} = m (m + n) \,}$

${\ Displaystyle {\ text {Área}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) \,}$

donde m y n son coprimas enteros y uno de ellos es incluso con m  >  n .

Todo número par mayor que 2 puede ser el cateto de un triángulo pitagórico (no necesariamente primitivo) porque si el cateto está dado por y elegimos como el otro cateto, entonces la hipotenusa es . Ésta es esencialmente la fórmula de generación anterior, que se establece en 1 y permite un rango de 2 a infinito. ${\ Displaystyle a = 2m}$${\ Displaystyle b = (a / 2) ^ {2} -1 = m ^ {2} -1}$${\ Displaystyle c = m ^ {2} +1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m}$

Triángulos pitagóricos con altitud entera de la hipotenusa

No hay triángulos pitagóricos primitivos con altitud entera de la hipotenusa. Esto se debe a que el doble del área es igual a cualquier base multiplicada por la altura correspondiente: 2 veces el área, por lo tanto, es igual a ab y cd donde d es la altura desde la hipotenusa c . Las tres longitudes de los lados de un triángulo primitivo son coprimas, por lo que d  =  ab ⁄ c está en forma completamente reducida; dado que c no puede ser igual a 1 para cualquier triángulo pitagórico primitivo, d no puede ser un número entero.

Sin embargo, cualquier triángulo pitagórico con catetos x ,  y e hipotenusa z puede generar un triángulo pitagórico con una altitud entera, escalando los lados por la longitud de la hipotenusa z . Si d es la altitud, entonces el triángulo de Pitágoras generado con altitud entera viene dado por

${\ Displaystyle (a, b, c, d) = (xz, yz, z ^ {2}, xy). \,}$

En consecuencia, todos los triángulos pitagóricos con patas una y b , hipotenusa c , y número entero altitud d de la hipotenusa, con gcd ( a, b, c, d ) = 1, que satisfacen necesariamente tanto un ²  +  b ²  = c ² y , son generados por ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {1} {b ^ {2}}} = {\ tfrac {1} {d ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle a = (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}), \,}$

${\ Displaystyle b = 2mn (m ^ {2} + n ^ {2}), \,}$

${\ Displaystyle c = (m ^ {2} + norte ^ {2}) ^ {2}, \,}$

${\ Displaystyle d = 2mn (m ^ {2} -n ^ {2}), \,}$

${\ Displaystyle {\ text {Semiperímetro}} = m (m + n) (m ^ {2} + n ^ {2}) \,}$

${\ Displaystyle {\ text {Área}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}) ^ {2} \,}$

para enteros coprimos m , n con m  >  n .

Triángulos heronianos con lados en progresión aritmética

Un triángulo con lados enteros y área entera tiene lados en progresión aritmética si y solo si los lados son ( b - d , b , b + d ), donde

${\ Displaystyle b = 2 (m ^ {2} + 3n ^ {2}) / g,}$

${\ Displaystyle d = (m ^ {2} -3n ^ {2}) / g,}$

y donde g es el máximo común divisor de y${\ Displaystyle m ^ {2} -3n ^ {2},}$ ${\ Displaystyle 2mn,}$${\ Displaystyle m ^ {2} + 3n ^ {2}.}$

Triángulos heronianos con un ángulo igual al doble de otro

Todos los triángulos heronianos con B = 2 A son generados por

${\ Displaystyle a = {\ tfrac {k ^ {2} (s ^ {2} + r ^ {2}) ^ {2}} {4}},}$

${\ Displaystyle b = {\ tfrac {k ^ {2} (s ^ {4} -r ^ {4})} {2}},}$

${\ Displaystyle c = {\ tfrac {k ^ {2} (3s ^ {4} -10s ^ {2} r ^ {2} + 3r ^ {4})} {4}},}$

${\ Displaystyle {\ text {Área}} = {\ tfrac {k ^ {2} csr (s ^ {2} -r ^ {2})} {2}},}$

con enteros k , s , r tales que s ² > 3 r ² , o

${\ Displaystyle a = {\ tfrac {q ^ {2} (u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {2}} {4}} \,}$,

${\ Displaystyle b = q ^ {2} uv (u ^ {2} + v ^ {2}) \,}$,

${\ Displaystyle c = {\ tfrac {q ^ {2} (14u ^ {2} v ^ {2} -u ^ {4} -v ^ {4})} {4}} \,}$,

${\ Displaystyle {\ text {Area}} = {\ tfrac {q ^ {2} cuv (v ^ {2} -u ^ {2})} {2}} \,}$,

con números enteros q , u , v tales que v > u y v ² <(7 + 4 √ 3 )  u ² .

Ningún triángulo heroniano con B = 2 A es isósceles o triángulos rectángulos porque todas las combinaciones de ángulos resultantes generan ángulos con senos no racionales , lo que da un área o lado no racional.

Triángulos isósceles heronianos

Todos los triángulos isósceles heronianos son descomponibles. Se forman al unir dos triángulos pitagóricos congruentes a lo largo de cualquiera de sus catetos comunes, de modo que los lados iguales del triángulo isósceles son las hipotenusas de los triángulos pitagóricos, y la base del triángulo isósceles es el doble del otro cateto pitagórico. En consecuencia, cada triángulo pitagórico es el bloque de construcción de dos triángulos isósceles heronianos, ya que la unión puede ser a lo largo de cualquier cateto. Todos los pares de triángulos isósceles heronianos están dados por múltiplos racionales de

${\ Displaystyle a = 2 (u ^ {2} -v ^ {2}),}$

${\ Displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}$

${\ Displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}$

y

${\ Displaystyle a = 4uv,}$

${\ Displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}$

${\ Displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}$

para enteros coprimos u y v con u > v y u + v impares.

Triángulos heronianos cuyo perímetro es cuatro veces un primo

Se ha demostrado que un triángulo Heronian cuyo perímetro es de cuatro veces a la prime está asociado de forma única con el primer y que el primer es congruente a o módulo . Es bien sabido que un número primo de este tipo se puede dividir de forma única en números enteros y tal que (consulte los números idoneales de Euler ). Además, se ha demostrado que tales triángulos heronianos son primitivos ya que el lado más pequeño del triángulo tiene que ser igual al primo que es un cuarto de su perímetro. ${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle 3}$${\ Displaystyle 8}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$

En consecuencia, todos los triángulos heronianos primitivos cuyo perímetro es cuatro veces un número primo pueden ser generados por

${\ Displaystyle a = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$

${\ Displaystyle b = m ^ {2} + 4n ^ {2}}$

${\ Displaystyle c = 2 (m ^ {2} + n ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperímetro}} = 2a = 2 (m ^ {2} + 2n ^ {2})}$

${\ Displaystyle {\ text {Area}} = 2mn (m ^ {2} + 2n ^ {2})}$

para enteros y tal que sea ​​primo. ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m ^ {2} + 2n ^ {2}}$

Además, la factorización del área es donde es primo. Sin embargo, el área de un triángulo de Heronian siempre es divisible por . Esto da como resultado que, aparte de cuándo y cuál, da todos los demás pares de y debe haber impares con solo uno de ellos divisible por . ${\ displaystyle 2mnp}$${\ Displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$${\ Displaystyle 6}$${\ Displaystyle m = 1}$${\ Displaystyle n = 1,}$${\ Displaystyle p = 3,}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle 3}$

Triángulos heronianos con números enteros inradius y exradii

Hay infinitos triángulos heronianos (no pitagóricos) primitivos descomponibles e infinitos indecomponibles con radios enteros para el círculo y cada círculo . Una familia de descomponibles viene dada por

${\ Displaystyle a = 4n ^ {2}, \ quad \ quad b = (2n + 1) (2n ^ {2} -2n + 1), \ quad \ quad c = (2n-1) (2n ^ {2 } + 2n + 1),}$

${\ Displaystyle r = 2n-1, \ quad \ quad r_ {a} = 2n + 1, \ quad \ quad r_ {b} = 2n ^ {2}, \ quad \ quad r_ {c} = {\ text { Área}} = 2n ^ {2} (2n-1) (2n + 1);}$

y una familia de indecomponibles viene dada por

${\ Displaystyle a = 5 (5n ^ {2} + n-1), \ quad \ quad b = (5n + 3) (5n ^ {2} -4n + 1), \ quad \ quad c = (5n- 2) (5n ^ {2} + 6n + 2),}$

${\ Displaystyle r = 5n-2, \ quad \ quad r_ {a} = 5n + 3, \ quad \ quad r_ {b} = 5n ^ {2} + n-1, \ quad \ quad r_ {c} = {\ text {Área}} = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1).}$

Triángulos heronianos como caras de un tetraedro

Existen tetraedros que tienen un volumen de valor entero y triángulos Heron como caras . Un ejemplo tiene un borde de 896, el borde opuesto de 190 y los otros cuatro bordes de 1073; dos caras tienen áreas de 436800 y las otras dos tienen áreas de 47120, mientras que el volumen es 62092800.

Triángulos heronianos en una celosía 2D

A 2D celosía es una matriz regular de puntos aislados donde si se elige un punto cualquiera como el origen cartesiano (0, 0), entonces todos los otros puntos están en ( x, y ) donde x y y rango de más de todos los números enteros positivos y negativos . Un triángulo de celosía es cualquier triángulo dibujado dentro de una celosía 2D de manera que todos los vértices se encuentran en puntos de celosía. Según el teorema de Pick, un triángulo de celosía tiene un área racional que es un número entero o medio entero (tiene un denominador de 2). Si el triángulo de celosía tiene lados enteros, entonces es heroniano con área entera.

Además, se ha demostrado que todos los triángulos de Heronian se pueden dibujar como triángulos de celosía. En consecuencia, un triángulo entero es heroniano si y solo si se puede dibujar como un triángulo de celosía.

Hay infinitos triángulos heronianos (no pitagóricos) primitivos que se pueden colocar en una celosía entera con todos los vértices, el incentro y los tres excéntricos en los puntos de la celosía. Dos familias de tales triángulos son las que tienen las parametrizaciones dadas anteriormente en # triángulos heronianos con números enteros inradius y exradii .

Triángulos enteros automedianos

Un triángulo automediano es aquel cuyas medianas están en las mismas proporciones (en el orden opuesto) que los lados. Si x , y y z son los tres lados de un triángulo rectángulo, ordenados en orden creciente por tamaño, y si 2 x  <  z , entonces z , x  +  y e y  -  x son los tres lados de un triángulo automático. Por ejemplo, el triángulo rectángulo con longitudes de lados 5, 12 y 13 se puede usar de esta manera para formar el triángulo automediano entero no trivial (es decir, no equilátero) más pequeño, con longitudes de lados 13, 17 y 7.

En consecuencia, usando la fórmula de Euclides , que genera triángulos pitagóricos primitivos, es posible generar triángulos automedianos enteros primitivos como

${\ Displaystyle a = | m ^ {2} -2mn-n ^ {2} |}$

${\ Displaystyle b = m ^ {2} + 2mn-n ^ {2}}$

${\ Displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}}$

con y coprime e impar, y   (si la cantidad dentro de los signos de valor absoluto es negativa) o   (si esa cantidad es positiva) para satisfacer la desigualdad del triángulo . ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m + n}$${\ Displaystyle n <m <n {\ sqrt {3}}}$${\ Displaystyle m> (2 + {\ sqrt {3}}) n}$

Una característica importante del triángulo automediano es que los cuadrados de sus lados forman una progresión aritmética . Específicamente, entonces${\ Displaystyle c ^ {2} -a ^ {2} = b ^ {2} -c ^ {2}}$${\ Displaystyle 2c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}.}$

Triángulos enteros con propiedades de ángulo específicas

Triángulos enteros con una bisectriz de ángulo racional

Una familia de triángulos con lados enteros y con una bisectriz racional de ángulo A está dada por ${\ Displaystyle a, b, c}$${\ Displaystyle d}$

${\ Displaystyle a = 2 (k ^ {2} -m ^ {2}),}$

${\ Displaystyle b = (km) ^ {2},}$

${\ Displaystyle c = (k + m) ^ {2},}$

${\ Displaystyle d = {\ tfrac {2km (k ^ {2} -m ^ {2})} {k ^ {2} + m ^ {2}}},}$

con enteros . ${\ Displaystyle k> m> 0}$

Triángulos enteros con n- sectores enteros de todos los ángulos

Existen infinitos triángulos no similares en los que los tres lados y las bisectrices de cada uno de los tres ángulos son números enteros.

Existen infinitos triángulos no similares en los que los tres lados y los dos trisectores de cada uno de los tres ángulos son números enteros.

Sin embargo, para n > 3 no existen triángulos en los que los tres lados y los ( n  - 1) n- sectores de cada uno de los tres ángulos sean números enteros.

Triángulos enteros con un ángulo con un coseno racional dado

Algunos triángulos enteros con un ángulo en el vértice A que tienen un coseno racional h  /  k ( h <0 o> 0; k > 0) están dados por

${\ Displaystyle a = p ^ {2} -2pqh + q ^ {2} k ^ {2},}$

${\ Displaystyle b = p ^ {2} -q ^ {2} k ^ {2},}$

${\ Displaystyle c = 2qk (p-qh),}$

donde p y q son números enteros positivos cualesquiera coprimas tal que p > QK .

Triángulos enteros con un ángulo de 60 ° (ángulos en progresión aritmética)

Todos los triángulos enteros con un ángulo de 60 ° tienen sus ángulos en una progresión aritmética. Todos estos triángulos son proporcionales a:

${\ Displaystyle a = 4mn,}$

${\ Displaystyle b = 3 m ^ {2} + n ^ {2},}$

${\ Displaystyle c = 2mn + | 3m ^ {2} -n ^ {2} |}$

con coprimos enteros m , n y 1 ≤  n  ≤  mo 3 m  ≤  n . Desde aquí, todas las soluciones primitivas pueden obtenerse dividiendo una , b , y c por su máximo común divisor.

Los triángulos enteros con un ángulo de 60 ° también se pueden generar mediante

${\ Displaystyle a = m ^ {2} -mn + n ^ {2},}$

${\ Displaystyle b = 2mn-n ^ {2},}$

${\ Displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2},}$

con enteros coprimos m , n con 0 <  n  <  m (el ángulo de 60 ° es opuesto al lado de la longitud a ). Desde aquí, todas las soluciones primitivas pueden obtenerse dividiendo una , b , y c por su máximo común divisor (por ejemplo, una solución triángulo equilátero se obtiene tomando m = 2 y n = 1 , pero esto produce un = b = c = 3 , que no es una solución primitiva). Ver también

Más precisamente, si , entonces , de lo contrario . Dos pares diferentes y generan el mismo triple. Desafortunadamente, los dos pares pueden ser de mcd = 3, por lo que no podemos evitar los duplicados simplemente omitiendo ese caso. En cambio, los duplicados se pueden evitar yendo solo hasta . Aún necesitamos dividir por 3 si mcd = 3. La única solución para bajo las restricciones anteriores es para . Con esta restricción adicional, todos los triples se pueden generar de forma única. ${\ Displaystyle m \ equiv -n \ ({\ text {mod}} \ 3)}$${\ Displaystyle mcd (a, b, c) = 3}$${\ Displaystyle mcd (a, b, c) = 1}$${\ Displaystyle (m, n)}$${\ Displaystyle (m, mn)}$${\ Displaystyle n}$${\ displaystyle m / 2}$${\ Displaystyle n = m / 2}$${\ Displaystyle (3,3,3) \ equiv (1,1,1)}$${\ Displaystyle m = 2, n = 1}$${\ Displaystyle n \ leq m / 2}$

Un triple de Eisenstein es un conjunto de números enteros que son las longitudes de los lados de un triángulo donde uno de los ángulos mide 60 grados.

Triángulos enteros con un ángulo de 120 °

Los triángulos enteros con un ángulo de 120 ° se pueden generar mediante

${\ Displaystyle a = m ^ {2} + mn + n ^ {2},}$

${\ Displaystyle b = 2mn + n ^ {2},}$

${\ Displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2},}$

con enteros coprimos m ,  n con 0 <  n  <  m (el ángulo de 120 ° es opuesto al lado de la longitud a ). Desde aquí, todas las soluciones primitivas pueden obtenerse dividiendo una , b , y c por su máximo común divisor. La solución más pequeña, para m = 2 y n = 1, es el triángulo de lados (3,5,7). Ver también.

Más precisamente, si , entonces , de lo contrario . Dado que el lado más grande a solo se puede generar con un solo par, cada triple primitivo se puede generar precisamente de dos maneras: una vez directamente con mcd = 1 y una vez indirectamente con mcd = 3. Por lo tanto, para generar todos los triples primitivos de manera única , se puede agregar una condición adicional . ${\ Displaystyle m \ equiv n \ ({\ text {mod}} \ 3)}$${\ Displaystyle mcd (a, b, c) = 3}$${\ Displaystyle mcd (a, b, c) = 1}$${\ Displaystyle (m, n)}$${\ Displaystyle m \ not \ equiv n \ (mod \ 3)}$

Triángulos enteros con un ángulo igual a un número racional arbitrario multiplicado por otro ángulo

Para positiva números primos entre sí h y k , el triángulo con las siguientes lados tiene ángulos , y y por lo tanto dos ángulos en la relación h  :  k , y sus lados son números enteros: ${\ Displaystyle h \ alpha}$${\ Displaystyle k \ alpha}$${\ Displaystyle \ pi - (h + k) \ alpha}$

${\ Displaystyle a = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin h \ alpha} {\ sin \ alpha}} = q ^ {k} \ cdot \ sum _ {0 \ leq i \ leq { \ frac {h-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {h} {2i + 1}} p ^ {h-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

${\ Displaystyle b = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin k \ alpha} {\ sin \ alpha}} = q ^ {h} \ cdot \ sum _ {0 \ leq i \ leq { \ frac {k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {k} {2i + 1}} p ^ {k-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

${\ Displaystyle c = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin (h + k) \ alpha} {\ sin \ alpha}} = \ sum _ {0 \ leq i \ leq {\ frac { h + k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {h + k} {2i + 1}} p ^ {h + k-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

donde y p y q son los números primos entre sí de tal manera que . ${\ Displaystyle \ alpha = \ cos ^ {- 1} \! {\ frac {p} {q}}}$${\ Displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {h + k}} <{\ frac {p} {q}} <1}$

Triángulos enteros con un ángulo igual al doble de otro

Con el ángulo A del lado opuesto y el ángulo B del lado opuesto , algunos triángulos con B  = 2 A son generados por ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle a = n ^ {2},}$

${\ Displaystyle b = mn,}$

${\ Displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2},}$

con enteros m , n tales que 0 <  n  <  m  <2 n .

Todos los triángulos con B  = 2 A (ya sean enteros o no) satisfacen${\ Displaystyle a (a + c) = b ^ {2}.}$

Triángulos enteros con un ángulo igual a 3/2 veces otro

La clase de equivalencia de triángulos similares con son generados por ${\ Displaystyle B = {\ tfrac {3} {2}} A}$

${\ Displaystyle a = mn ^ {3},}$

${\ Displaystyle b = n ^ {2} (m ^ {2} -n ^ {2}),}$

${\ Displaystyle c = (m ^ {2} -n ^ {2}) ^ {2} -m ^ {2} n ^ {2},}$

con números enteros tales que , donde está la proporción áurea . ${\ Displaystyle m, n}$${\ Displaystyle 0 <\ varphi n <m <2n}$${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ approx 1.61803}$

Todos los triángulos con (ya sea con lados enteros o no) satisfacen${\ Displaystyle B = {\ tfrac {3} {2}} A}$${\ Displaystyle (b ^ {2} -a ^ {2}) (b ^ {2} -a ^ {2} + bc) = a ^ {2} c ^ {2}.}$

Triángulos enteros con un ángulo tres veces otro

Podemos generar la clase de equivalencia completa de triángulos similares que satisfacen B  = 3 A usando las fórmulas

${\ Displaystyle a = n ^ {3}, \,}$

${\ Displaystyle b = n (m ^ {2} -n ^ {2}), \,}$

${\ Displaystyle c = m (m ^ {2} -2n ^ {2}), \,}$

donde y son enteros tales que . ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ sqrt {2}} n <m <2n}$

Todos los triángulos con B = 3 A (ya sea con lados enteros o no) satisfacen${\ Displaystyle ac ^ {2} = (ba) ^ {2} (b + a).}$

Triángulos enteros con tres ángulos racionales

El único triángulo entero con tres ángulos racionales (números racionales de grados, o fracciones racionales equivalentes de una vuelta completa) es el triángulo equilátero . Esto se debe a que los lados enteros implican tres cosenos racionales según la ley de los cosenos , y según el teorema de Niven, un coseno racional coincide con un ángulo racional si y solo si el coseno es igual a 0, ± 1/2 o ± 1. Los únicos de estos que dan un ángulo estrictamente entre 0 ° y 180 ° son el valor del coseno 1/2 con el ángulo 60 °, el valor del coseno –1/2 con el ángulo 120 ° y el valor del coseno 0 con el ángulo 90 °. °. La única combinación de tres de estos, que permite el uso múltiple de cualquiera de ellos y suma 180 °, son tres ángulos de 60 °.

Triángulos enteros con una relación entera de circunradio a inradio

Las condiciones se conocen en términos de curvas elípticas para que un triángulo entero tenga una relación entera N del radio circunferencial al radio interno . El caso más pequeño, el del triángulo equilátero , tiene N = 2. En todos los casos conocidos, N ≡ 2 (mod 8), es decir, N - 2 es divisible por 8.

Pares de triángulos 5-Con

Un par de triángulos 5-Con es un par de triángulos que son similares pero no congruentes y que comparten tres ángulos y dos lados. Triángulos primitivos enteros 5-Con, en los que los cuatro lados enteros distintos (dos lados que aparecen en ambos triángulos y el otro lado en cada triángulo) no comparten factor primo, tienen triples de lados

${\ Displaystyle (x ^ {3}, x ^ {2} y, xy ^ {2})}$ y ${\ Displaystyle (x ^ {2} y, xy ^ {2}, y ^ {3})}$

para coprimas positivos enteros x e y . El ejemplo más pequeño es el par (8, 12, 18), (12, 18, 27), generado por x = 2, y = 3.

Triángulos enteros particulares

• El único triángulo con números enteros consecutivos para lados y área tiene lados (3, 4, 5) y área 6.
• El único triángulo con números enteros consecutivos para una altitud y los lados tiene lados (13, 14, 15) y la altitud del lado 14 es igual a 12.
• El triángulo (2, 3, 4) y sus múltiplos son los únicos triángulos con lados enteros en progresión aritmética y que tienen la propiedad de ángulo exterior complementario. Esta propiedad establece que si el ángulo C es obtuso y si un segmento se cae de B y se encuentra perpendicularmente AC extendido en P, entonces ∠CAB = 2∠CBP.
• El triángulo (3, 4, 5) y sus múltiplos son los únicos triángulos rectángulos enteros que tienen lados en progresión aritmética.
• El triángulo (4, 5, 6) y sus múltiplos son los únicos triángulos en los que un ángulo es el doble de otro y tiene lados enteros en progresión aritmética.
• El triángulo (3, 5, 7) y sus múltiplos son los únicos triángulos con un ángulo de 120 ° y que tienen lados enteros en progresión aritmética.
• El único triángulo entero con área = semiperímetro tiene lados (3, 4, 5).
• Los únicos triángulos enteros con área = perímetro tienen lados (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) y (9, 10, 17) . De estos, los dos primeros, pero no los tres últimos, son triángulos rectángulos.
• Existen triángulos enteros con tres medianas racionales . El más pequeño tiene lados (68, 85, 87). Otros incluyen (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) y (327, 386, 409).
• No hay triángulos pitagóricos isósceles.
• Los únicos triángulos pitagóricos primitivos para los cuales el cuadrado del perímetro es igual a un múltiplo entero del área son (3, 4, 5) con perímetro 12 y área 6 y con la razón entre el perímetro cuadrado y el área de 24; (5, 12, 13) con perímetro 30 y área 30 y con la relación entre el perímetro al cuadrado y el área de 30; y (9, 40, 41) con un perímetro de 90 y un área de 180 y con una relación entre el perímetro al cuadrado y el área de 45.
• Existe un par único (hasta similitud) de un triángulo rectángulo racional y un triángulo isósceles racional que tienen el mismo perímetro y la misma área. El par único consta del triángulo (377, 135, 352) y el triángulo (366, 366, 132). No existe un par de tales triángulos si también se requiere que los triángulos sean triángulos integrales primitivos. Los autores enfatizan el hecho sorprendente de que la segunda afirmación puede probarse mediante una argumentación elemental (lo hacen en su apéndice A), mientras que la primera afirmación necesita matemáticas modernas altamente no triviales.

Ver también

• Pentágono de Robbins , un pentágono cíclico con lados enteros y área entera
• Ladrillo de Euler , un cuboide con aristas enteras y diagonales de caras enteras
• Tetraedro # Tetraedros enteros

Referencias