Producto puntiagudo - Pointwise product

En matemáticas , el producto puntual de dos funciones es otra función, que se obtiene multiplicando las imágenes de las dos funciones en cada valor en el dominio . Si f y g son funciones con dominio X y codominio Y , y los elementos de Y se pueden multiplicar (por ejemplo, Y podría ser un conjunto de números), entonces el producto puntual de f y g es otra función de X a Y que mapas x en X para f ( x ) g ( x ) en Y .

Definicion formal

Sean X e Y conjuntos tales que Y tenga una noción de multiplicación, es decir, hay una operación binaria

${\ Displaystyle \ cdot: Y \ times Y \ longrightarrow Y}$ dada por ${\ Displaystyle y \ cdot z = yz.}$

Luego, dadas dos funciones f , g : X → Y , el producto puntual ( f ⋅  g ): X → Y está definido por

${\ Displaystyle (f \ cdot g) (x) = f (x) \ cdot g (x)}$

para todos x en X . Así como a menudo omitimos el símbolo para la operación binaria ⋅ (es decir, escribimos yz en lugar de y ⋅ z ), a menudo escribimos fg para f ⋅  g .

Ejemplos

El caso más común del producto puntual de dos funciones es cuando el codominio es un anillo (o campo ), en el que la multiplicación está bien definida.

Aplicación algebraica de productos puntiagudos

Sea X un conjunto y sea R un anillo . Dado que la suma y la multiplicación se definen en R , podemos construir una estructura algebraica conocida como álgebra a partir de las funciones de X a R definiendo la suma, la multiplicación y la multiplicación escalar de funciones que se realizarán puntualmente.

Si R ^X denota el conjunto de funciones de X a R , entonces decimos que si f , g son elementos de R ^X , entonces f + g , fg y rf , el último de los cuales está definido por 

${\ Displaystyle (rf) (x) = rf (x) \,}$

para todos r en R - son todos los elementos de R ^X . 

Generalización

Si tanto f como g tienen como dominio todas las posibles asignaciones de un conjunto de variables discretas, entonces su producto puntual es una función cuyo dominio está construido por todas las posibles asignaciones de la unión de ambos conjuntos. El valor de cada asignación se calcula como el producto de los valores de ambas funciones dados a cada uno el subconjunto de la asignación que se encuentra en su dominio.

Por ejemplo, dada la función f ₁ () de la variables booleanas p y q , y f ₂ () de la variables booleanas q y r , tanto con el rango en R , el producto por puntos de f ₁ () y f ₂ ( ) se muestra en la siguiente tabla:

pags	q	r	${\ Displaystyle f_ {1} (p, q)}$	${\ Displaystyle f_ {2} (q, r)}$	Producto puntiagudo
T	T	T	0,1	0,2	0,1 × 0,2
T	T	F	0,1	0.4	0,1 × 0,4
T	F	T	0,3	0,6	0,3 × 0,6
T	F	F	0,3	0.8	0,3 × 0,8
F	T	T	0,5	0,2	0,5 × 0,2
F	T	F	0,5	0.4	0,5 × 0,4
F	F	T	0,7	0,6	0,7 × 0,6
F	F	F	0,7	0.8	0,7 × 0,8

Ver también

• Puntual