Esfera de fotones - Photon sphere

Emisión de radio del disco de acreción que rodea al agujero negro supermasivo M87 * (capturado en 2017, calculado en 2019 ) según la imagen del Event Horizon Telescope . La esfera de fotones se encuentra dentro de la sombra oscura (que tiene un radio de 2,6 veces el radio de Schwarzschild).

Una esfera de fotones o un círculo de fotones es un área o región del espacio donde la gravedad es tan fuerte que los fotones se ven obligados a viajar en órbitas. (A veces se le llama la última órbita de fotones ). El radio de la esfera de fotones, que también es el límite inferior de cualquier órbita estable, es, para un agujero negro de Schwarzschild :

${\ Displaystyle r = {\ frac {3GM} {c ^ {2}}} = {\ frac {3r _ {\ rm {s}}} {2}}}$

donde G es la constante gravitacional , M es la masa del agujero negro y c es la velocidad de la luz en el vacío y r _s es el radio de Schwarzschild (el radio del horizonte de sucesos ); consulte a continuación una derivación de este resultado.

Esta ecuación implica que las esferas de fotones solo pueden existir en el espacio que rodea a un objeto extremadamente compacto (un agujero negro o posiblemente una estrella de neutrones "ultracompacta" ).

La esfera de fotones está ubicada más lejos del centro de un agujero negro que el horizonte de eventos. Dentro de una esfera de fotones, es posible imaginar un fotón que se emite desde la parte posterior de la cabeza, orbitando el agujero negro, solo entonces para ser interceptado por los ojos de la persona, lo que le permite a uno ver la parte posterior de la cabeza. Para los agujeros negros que no giran, la esfera de fotones es una esfera de radio 3/2 r _s . No hay órbitas estables de caída libre que existan dentro o crucen la esfera de fotones. Cualquier órbita de caída libre que la cruza desde el exterior entra en espiral hacia el agujero negro. Cualquier órbita que la cruce desde el interior escapa al infinito o vuelve a caer y entra en espiral en el agujero negro. No es posible una órbita no acelerada con un semieje mayor menor que esta distancia, pero dentro de la esfera de fotones, una aceleración constante permitirá que una nave espacial o una sonda flote sobre el horizonte de eventos.

Otra propiedad de la esfera de fotones es la inversión de la fuerza centrífuga (nota: no centrípeta ). Fuera de la esfera de fotones, cuanto más rápido orbita, mayor es la fuerza exterior que uno siente. La fuerza centrífuga cae a cero en la esfera de fotones, incluidas las órbitas sin caída libre a cualquier velocidad, es decir, pesas lo mismo sin importar qué tan rápido orbites, y se vuelve negativa dentro de ella. Dentro de la esfera de fotones, cuanto más rápido orbitas, mayor es el peso sentido o la fuerza hacia adentro. Esto tiene serias ramificaciones para la dinámica de fluidos del flujo de fluidos hacia adentro.

Un agujero negro giratorio tiene dos esferas de fotones. Cuando un agujero negro gira, arrastra espacio con él. La esfera de fotones que está más cerca del agujero negro se mueve en la misma dirección que la rotación, mientras que la esfera de fotones más alejada se mueve contra ella. Cuanto mayor sea la velocidad angular de rotación de un agujero negro, mayor será la distancia entre las dos esferas de fotones. Dado que el agujero negro tiene un eje de rotación, esto solo es cierto si se acerca al agujero negro en la dirección del ecuador. Si se acerca en un ángulo diferente, como uno de los polos del agujero negro al ecuador, solo hay una esfera de fotones. Esto se debe a que al acercarse en este ángulo no existe la posibilidad de viajar a favor o en contra de la rotación.

Derivación de un agujero negro de Schwarzschild

Dado que un agujero negro de Schwarzschild tiene simetría esférica, todos los ejes posibles para una órbita de fotones circular son equivalentes y todas las órbitas circulares tienen el mismo radio.

Esta derivación implica el uso de la métrica de Schwarzschild , dada por:

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - \ left (1- {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} ({\ textrm {sin}} ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2} + d \ theta ^ {2})}$

Para un viaje de fotones en un radio constante r (es decir, en la dirección Φ coordenada), . Dado que es un fotón (un "intervalo similar a la luz"). Siempre podemos rotar el sistema de coordenadas de manera que sea ​​constante, (es decir, ). ${\ displaystyle dr = 0}$${\ displaystyle ds = 0}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle d \ theta = 0}$${\ Displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$

Estableciendo ds, dr y dθ a cero, tenemos:

${\ Displaystyle \ left (1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} = r ^ {2} {\ textrm {sin} } ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}$

La reorganización da:

${\ Displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}} = {\ frac {c} {r {\ textrm {sin}} \ theta}} {\ sqrt {1 - {\ frac {r _ {\ rm { s}}} {r}}}}}$

Para continuar necesitamos la relación . Para encontrarlo, usamos la ecuación geodésica radial.${\ Displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} r} {d \ tau ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {r} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} = 0.}$

Los coeficientes de conexión que no desaparecen son , donde . ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {tt} ^ {r} = {\ frac {c ^ {2} BB ^ {\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {rr} ^ {r} = - { \ frac {B ^ {- 1} B ^ {\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {\ theta \ theta} ^ {r} = - rB, \; \ Gamma _ {\ phi \ phi } ^ {r} = - Br \ sin ^ {2} \ theta}$${\ Displaystyle B ^ {\ prime} = {\ frac {dB} {dr}}, B = 1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}}}$

Tratamos las geodésicas radiales de fotones con r constante y , por lo tanto, ${\ Displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle {\ frac {dr} {d \ tau}}, \; {\ frac {d ^ {2} r} {d \ tau ^ {2}}}, \; {\ frac {d \ theta} {d \ tau}} = 0}$.

Sustituyéndolo todo en la ecuación geodésica radial (la ecuación geodésica con la coordenada radial como variable dependiente), obtenemos

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {d \ phi} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ frac {c ^ {2} r _ {\ rm {s}}} {2r ^ {3} \ sin ^ {2} \ theta}}}$

Comparándolo con lo obtenido anteriormente, tenemos:

${\ Displaystyle c {\ sqrt {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {2r}}} = c {\ sqrt {1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} }}}$

donde hemos insertado radianes (imagina que la masa central, alrededor de la cual orbita el fotón, está ubicada en el centro de los ejes de coordenadas. Luego, mientras el fotón viaja a lo largo de la línea de coordenadas, para que la masa se ubique directamente en el centro de la órbita del fotón, debemos tener radianes). ${\ Displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$

Por lo tanto, reorganizar esta expresión final da:

${\ Displaystyle r = {\ frac {3} {2}} r _ {\ rm {s}}}$

que es el resultado que nos propusimos probar.

Un fotón orbita alrededor de un agujero negro de Kerr

Vistas desde el lateral (l) y desde arriba de un poste (r). Un agujero negro en rotación tiene 9 radios entre los cuales la luz puede orbitar en una coordenada r constante. En esta animación, se muestran todas las órbitas de fotones para a = M.

A diferencia de un agujero negro de Schwarzschild, un agujero negro de Kerr (giratorio) no tiene simetría esférica, sino solo un eje de simetría, lo que tiene profundas consecuencias para las órbitas de los fotones; consulte, por ejemplo, Cramer para obtener detalles y simulaciones de las órbitas de los fotones y los círculos de fotones. . Una órbita circular solo puede existir en el plano ecuatorial, y hay dos de ellas (prograda y retrógrada), con diferentes radios de Boyer-Lindquist ,

${\ textstyle r _ {\ pm} ^ {\ circ} = r _ {\ rm {s}} \ \ left [1+ \ cos \ left ({\ frac {2} {3}} \ arccos \ left ({\ frac {\ pm | a |} {M}} \ right) \ right) \ right],}$

donde es el momento angular por unidad de masa del agujero negro. Existen otras órbitas de radio de coordenadas constantes, pero tienen trayectorias más complicadas que oscilan en latitud alrededor del ecuador. ${\ Displaystyle a = J / M}$

Referencias

enlaces externos

• Paso a paso en un agujero negro
• Viajes virtuales a agujeros negros y estrellas de neutrones
• Guía de agujeros negros
• Un fotón esférico orbita alrededor de un agujero negro de Kerr