Fuerza centrípeta - Centripetal force

Una fuerza centrípeta (del latín centrum , "centro" y petere , "buscar") es una fuerza que hace que un cuerpo siga una trayectoria curva . Su dirección es siempre ortogonal al movimiento del cuerpo y hacia el punto fijo del centro instantáneo de curvatura del camino. Isaac Newton lo describió como "una fuerza por la cual los cuerpos son atraídos o impulsados, o de alguna manera tienden, hacia un punto como hacia un centro". En la mecánica newtoniana , la gravedad proporciona la fuerza centrípeta que provoca las órbitas astronómicas .

Un ejemplo común que involucra la fuerza centrípeta es el caso en el que un cuerpo se mueve con velocidad uniforme a lo largo de una trayectoria circular. La fuerza centrípeta se dirige perpendicularmente al movimiento y también a lo largo del radio hacia el centro de la trayectoria circular. La descripción matemática fue obtenida en 1659 por el físico holandés Christiaan Huygens .

Fórmula

Velocity-acceleration.svg

La magnitud de la fuerza centrípeta sobre un objeto de masa m que se mueve a una velocidad tangencial v a lo largo de una trayectoria con radio de curvatura r es:

donde es la aceleración centrípeta y es la diferencia entre los vectores de velocidad. Dado que los vectores de velocidad en el diagrama anterior tienen magnitud constante y dado que cada uno es perpendicular a su respectivo vector de posición, la resta simple de vectores implica dos triángulos isósceles similares con ángulos congruentes, uno que comprende una base de y una longitud de cateto de , y el otro un base de ( diferencia del vector de posición ) y una longitud de la pierna de :

Por tanto, puede sustituirse por :

La dirección de la fuerza es hacia el centro del círculo en el que se mueve el objeto, o el círculo osculador (el círculo que mejor se ajusta a la trayectoria local del objeto, si la trayectoria no es circular). La velocidad en la fórmula se eleva al cuadrado, por lo que el doble de la velocidad necesita cuatro veces la fuerza. La relación inversa con el radio de curvatura muestra que la mitad de la distancia radial requiere el doble de fuerza. Esta fuerza también se escribe a veces en términos de la velocidad angular ω del objeto alrededor del centro del círculo, relacionada con la velocidad tangencial por la fórmula

así que eso

Expresado usando el período orbital T para una revolución del círculo,

la ecuación se convierte en

En los aceleradores de partículas, la velocidad puede ser muy alta (cercana a la velocidad de la luz en el vacío), por lo que la misma masa en reposo ahora ejerce una mayor inercia (masa relativista), lo que requiere una mayor fuerza para la misma aceleración centrípeta, por lo que la ecuación se convierte en:

dónde

es el factor de Lorentz .

Así, la fuerza centrípeta viene dada por:

que es la tasa de cambio del impulso relativista .

Fuentes

Un cuerpo que experimenta un movimiento circular uniforme requiere una fuerza centrípeta, hacia el eje, como se muestra, para mantener su trayectoria circular.

En el caso de un objeto que se balancea en el extremo de una cuerda en un plano horizontal, la fuerza centrípeta sobre el objeto es suministrada por la tensión de la cuerda. El ejemplo de la cuerda es un ejemplo que implica una fuerza de "tracción". La fuerza centrípeta también se puede suministrar como una fuerza de 'empuje', como en el caso en el que la reacción normal de una pared proporciona la fuerza centrípeta para una pared de la muerte o un piloto de Rotor .

La idea de Newton de una fuerza centrípeta corresponde a lo que hoy en día se denomina fuerza central . Cuando un satélite está en órbita alrededor de un planeta , la gravedad se considera una fuerza centrípeta, aunque en el caso de órbitas excéntricas, la fuerza gravitacional se dirige hacia el foco y no hacia el centro instantáneo de curvatura.

Otro ejemplo de fuerza centrípeta surge en la hélice que se traza cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme en ausencia de otras fuerzas externas. En este caso, la fuerza magnética es la fuerza centrípeta que actúa hacia el eje de la hélice.

Análisis de varios casos

A continuación se muestran tres ejemplos de complejidad creciente, con derivaciones de las fórmulas que gobiernan la velocidad y la aceleración.

Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme se refiere al caso de una tasa de rotación constante. Aquí hay dos enfoques para describir este caso.

Derivación de cálculo

En dos dimensiones, el vector de posición , que tiene magnitud (longitud) y está dirigido en un ángulo por encima del eje x, se puede expresar en coordenadas cartesianas utilizando los vectores unitarios y :

Suponga un movimiento circular uniforme , que requiere tres cosas.

  1. El objeto se mueve solo en un círculo.
  2. El radio del círculo no cambia con el tiempo.
  3. El objeto se mueve con velocidad angular constante alrededor del círculo. Por tanto, ¿ dónde está el tiempo?

Ahora encuentre la velocidad y la aceleración del movimiento tomando derivadas de la posición con respecto al tiempo.

Observe que el término entre paréntesis es la expresión original de en coordenadas cartesianas . Como consecuencia,

negativo muestra que la aceleración apunta hacia el centro del círculo (opuesto al radio), por lo que se llama "centrípeta" (es decir, "búsqueda de centro"). Mientras que los objetos siguen de forma natural una trayectoria recta (debido a la inercia ), esta aceleración centrípeta describe la trayectoria de movimiento circular causada por una fuerza centrípeta.

Derivación mediante vectores

Relaciones vectoriales para un movimiento circular uniforme; el vector Ω que representa la rotación es normal al plano de la órbita con la polaridad determinada por la regla de la mano derecha y la magnitud / dt .

La imagen de la derecha muestra las relaciones vectoriales para un movimiento circular uniforme. La rotación en sí está representada por el vector de velocidad angular Ω , que es normal al plano de la órbita (usando la regla de la mano derecha ) y tiene una magnitud dada por:

con θ la posición angular en el tiempo t . En esta subsección, d θ / d t se supone constante, independiente del tiempo. La distancia recorrida dℓ de la partícula en el tiempo d t a lo largo de la trayectoria circular es

el cual, por las propiedades del producto cruzado vectorial , tiene magnitud r d θ y está en la dirección tangente a la trayectoria circular.

Como consecuencia,

En otras palabras,

Diferenciando respecto al tiempo,

La fórmula de Lagrange dice:

Aplicando la fórmula de Lagrange con la observación de que Ω • r ( t ) = 0 en todo momento,

En palabras, la aceleración apunta directamente opuesta al desplazamiento radial r en todo momento, y tiene una magnitud:

donde barras verticales | ... | denotar la magnitud del vector, que en el caso de r ( t ) es simplemente el radio r de la trayectoria. Este resultado concuerda con la sección anterior, aunque la notación es ligeramente diferente.

Cuando la tasa de rotación se hace constante en el análisis del movimiento circular no uniforme , ese análisis concuerda con este.

Un mérito del enfoque vectorial es que es manifiestamente independiente de cualquier sistema de coordenadas.

Ejemplo: el giro peraltado

Panel superior: Bola sobre una pista circular peraltada que se mueve con velocidad constante v ; Panel inferior: Fuerzas sobre el balón

El panel superior de la imagen de la derecha muestra una bola en movimiento circular en una curva inclinada. La curva está inclinada en un ángulo θ de la horizontal y la superficie de la carretera se considera resbaladiza. El objetivo es encontrar qué ángulo debe tener el banco para que la bola no se salga de la carretera. La intuición nos dice que, en una curva plana sin inclinación lateral, la bola simplemente se saldrá de la carretera; mientras que con un peralte muy pronunciado, la bola se deslizará hacia el centro a menos que recorra la curva rápidamente.

Aparte de cualquier aceleración que pueda ocurrir en la dirección de la trayectoria, el panel inferior de la imagen de arriba indica las fuerzas sobre la pelota. Hay dos fuerzas; uno es la fuerza de gravedad verticalmente hacia abajo a través del centro de masa de la bola m g , donde m es la masa de la bola yg es la aceleración gravitacional ; el segundo es la fuerza normal hacia arriba ejercida por la carretera en ángulo recto con la superficie de la carretera m a n . La fuerza centrípeta exigida por el movimiento curvo también se muestra arriba. Esta fuerza centrípeta no es una tercera fuerza aplicada a la pelota, sino que debe ser proporcionada por la fuerza neta sobre la pelota resultante de la suma vectorial de la fuerza normal y la fuerza de gravedad . La fuerza resultante o neta sobre la pelota calculada por la suma de vectores de la fuerza normal ejercida por la carretera y la fuerza vertical debida a la gravedad debe ser igual a la fuerza centrípeta dictada por la necesidad de recorrer una trayectoria circular. El movimiento curvo se mantiene mientras esta fuerza neta proporcione la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento.

La fuerza neta horizontal sobre la pelota es el componente horizontal de la fuerza de la carretera, que tiene magnitud | F h | = m | a n | pecado θ . La componente vertical de la fuerza de la carretera debe contrarrestar la fuerza gravitacional: | F v | = m | a norte | cos θ = m | g |, lo que implica | a n | = | g | / cos θ . Sustituyendo en la fórmula anterior para | F h | produce una fuerza horizontal que es:

Por otro lado, a la velocidad | v | en una trayectoria circular de radio r , la cinemática dice que la fuerza necesaria para girar la bola continuamente en el giro es la fuerza centrípeta radialmente hacia adentro F c de magnitud:

En consecuencia, la pelota está en una trayectoria estable cuando el ángulo de la carretera se establece para satisfacer la condición:

o,

A medida que el ángulo del banco θ se acerca a 90 °, la función tangente se acerca al infinito, lo que permite valores más grandes para | v | 2 / r . En palabras, esta ecuación establece que para velocidades mayores (mayor | v |) la carretera debe tener un peralte más pronunciado (un valor mayor para θ ), y para giros más cerrados ( r menor ) la carretera también debe tener un peralte más pronunciado, lo que concuerda con intuición. Cuando el ángulo θ no satisface la condición anterior, la componente horizontal de la fuerza ejercida por la carretera no proporciona la fuerza centrípeta correcta, y se requiere una fuerza de fricción adicional tangencial a la superficie de la carretera para proporcionar la diferencia. Si la fricción no puede hacer esto (es decir, se excede el coeficiente de fricción ), la bola se desliza a un radio diferente donde se puede realizar el equilibrio.

Estas ideas también se aplican a los vuelos aéreos. Consulte el manual del piloto de la FAA.

Movimiento circular no uniforme

Velocidad y aceleración para movimiento circular no uniforme: el vector de velocidad es tangencial a la órbita, pero el vector de aceleración no es radialmente hacia adentro debido a su componente tangencial a θ que aumenta la tasa de rotación: d ω / dt = | a θ | / R .

Como generalización del caso de movimiento circular uniforme, suponga que la velocidad angular de rotación no es constante. La aceleración ahora tiene un componente tangencial, como se muestra en la imagen de la derecha. Este caso se utiliza para demostrar una estrategia de derivación basada en un sistema de coordenadas polares .

Sea r ( t ) un vector que describe la posición de una masa puntual en función del tiempo. Como estamos asumiendo movimiento circular , sea r ( t ) = R · u r , donde R es una constante (el radio del círculo) y u r es el vector unitario que apunta desde el origen al punto de masa. La dirección de u r se describe mediante θ , el ángulo entre el eje xy el vector unitario, medido en sentido antihorario desde el eje x. El otro vector unitario para coordenadas polares, u θ es perpendicular a u r y apunta en la dirección de aumento de θ . Estos vectores unitarios polares se pueden expresar en términos de cartesianas vectores unitarios en las x y Y direcciones, denotados i y j respectivamente:

u r = cos θ i + sen θ j

y

u θ = -sin θ i + cos θ j .

Se puede diferenciar para encontrar la velocidad:

donde ω es la velocidad angular d θ / d t .

Este resultado para la velocidad coincide con las expectativas de que la velocidad debe dirigirse tangencialmente al círculo y que la magnitud de la velocidad debe ser . Diferenciar de nuevo y notar que

encontramos que la aceleración, a es:

Por tanto, las componentes radial y tangencial de la aceleración son:

   y   

donde | v | = r ω es la magnitud de la velocidad (la rapidez).

Estas ecuaciones expresan matemáticamente que, en el caso de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria circular con una velocidad cambiante, la aceleración del cuerpo puede descomponerse en una componente perpendicular que cambia la dirección del movimiento (la aceleración centrípeta) y una paralela. , o componente tangencial , que cambia la velocidad.

Movimiento plano general

El vector de posición r , siempre apunta radialmente desde el origen.
Vector de velocidad v , siempre tangente a la trayectoria del movimiento.
Vector de aceleración a , no paralelo al movimiento radial pero compensado por las aceleraciones angular y de Coriolis, ni tangente a la trayectoria pero compensado por las aceleraciones centrípeta y radial.
Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Observe que la configuración no está restringida al espacio 2d, sino a un plano en cualquier dimensión superior.
Vectores unitarios polares en dos tiempos t y t + dt para una partícula con trayectoria r ( t ); a la izquierda, los vectores unitarios u ρ y u θ en los dos momentos se mueven para que sus colas se encuentren, y se muestra que trazan un arco de un círculo de radio unitario. Su rotación en el tiempo dt es d θ, exactamente el mismo ángulo que la rotación de la trayectoria r ( t ).

Coordenadas polares

Los resultados anteriores pueden derivarse quizás de manera más simple en coordenadas polares y, al mismo tiempo, extenderse al movimiento general dentro de un plano, como se muestra a continuación. Las coordenadas polares en el plano emplean un vector unitario radial u ρ y un vector unitario angular u θ , como se muestra arriba. Una partícula en la posición r se describe mediante:

donde la notación ρ se usa para describir la distancia del camino desde el origen en lugar de R para enfatizar que esta distancia no es fija, sino que varía con el tiempo. El vector unitario u ρ viaja con la partícula y siempre apunta en la misma dirección que r ( t ). El vector unitario u θ también viaja con la partícula y permanece ortogonal a u ρ . Por lo tanto, u ρ y u θ forman un sistema de coordenadas cartesiano local unido a la partícula y vinculado a la trayectoria recorrida por la partícula. Al mover los vectores unitarios para que coincidan sus colas, como se ve en el círculo a la izquierda de la imagen de arriba, se ve que u ρ y u θ forman un par en ángulo recto con puntas en el círculo unitario que se trazan de un lado a otro en el perímetro de este círculo con el mismo ángulo θ ( t ) que r ( t ).

Cuando la partícula se mueve, su velocidad es

Para evaluar la velocidad, se necesita la derivada del vector unitario u ρ . Como u ρ es un vector unitario, su magnitud es fija y solo puede cambiar de dirección, es decir, su cambio d u ρ tiene una componente solo perpendicular a u ρ . Cuando la trayectoria r ( t ) gira una cantidad d θ , u ρ , que apunta en la misma dirección que r ( t ), también gira en d θ . Vea la imagen de arriba. Por lo tanto, el cambio en u ρ es

o

De manera similar, se encuentra la tasa de cambio de u θ . Al igual que con u ρ , u θ es un vector unitario y solo puede rotar sin cambiar de tamaño. Para permanecer ortogonal a u ρ mientras la trayectoria r ( t ) gira una cantidad d θ , u θ , que es ortogonal a r ( t ), también gira en d θ . Vea la imagen de arriba. Por lo tanto, el cambio d u θ es ortogonal a u θ y proporcional a d θ (ver imagen de arriba):

La imagen de arriba muestra que el signo es negativo: para mantener la ortogonalidad, si d u ρ es positivo con d θ , entonces d u θ debe disminuir.

Sustituyendo la derivada de u ρ en la expresión de la velocidad:

Para obtener la aceleración se hace otra diferenciación temporal:

Sustituyendo las derivadas de u ρ y u θ , la aceleración de la partícula es:

Como ejemplo particular, si la partícula se mueve en un círculo de radio constante R , entonces d ρ / d t = 0, v = v θ , y:

dónde

Estos resultados concuerdan con los anteriores para el movimiento circular no uniforme . Consulte también el artículo sobre movimiento circular no uniforme . Si esta aceleración se multiplica por la masa de la partícula, el término principal es la fuerza centrípeta y el negativo del segundo término relacionado con la aceleración angular a veces se denomina fuerza de Euler .

Para trayectorias distintas al movimiento circular, por ejemplo, la trayectoria más general prevista en la imagen de arriba, el centro instantáneo de rotación y el radio de curvatura de la trayectoria están relacionados solo indirectamente con el sistema de coordenadas definido por u ρ y u θ y con el longitud | r ( t ) | = ρ . En consecuencia, en el caso general, no es sencillo desenredar los términos centrípeto y de Euler de la ecuación de aceleración general anterior. Para abordar directamente este problema, son preferibles las coordenadas locales, como se analiza a continuación.

Coordenadas locales

Sistema de coordenadas local para movimiento plano en una curva. Dos posiciones diferentes se muestran para distancias s y s + ds a lo largo de la curva. En cada posición s , el vector unitario u n apunta a lo largo de la normal hacia afuera a la curva y el vector unitario u t es tangencial a la trayectoria. El radio de curvatura de la trayectoria es ρ calculado a partir de la velocidad de rotación de la tangente a la curva con respecto a la longitud del arco, y es el radio del círculo osculador en la posición s . El círculo unitario de la izquierda muestra la rotación de los vectores unitarios con s .

Las coordenadas locales significan un conjunto de coordenadas que viajan con la partícula y tienen una orientación determinada por la trayectoria de la partícula. Los vectores unitarios se forman como se muestra en la imagen de la derecha, tanto tangenciales como normales a la ruta. Este sistema de coordenadas se refiere a veces como intrínsecos o coordenadas de trayectoria o NT-coordenadas , por normal tangencial , en referencia a estos vectores unitarios. Estas coordenadas son un ejemplo muy especial de un concepto más general de coordenadas locales a partir de la teoría de formas diferenciales.

La distancia a lo largo de la trayectoria de la partícula es la longitud del arco s , considerada una función conocida del tiempo.

Se define un centro de curvatura en cada posición s ubicada a una distancia ρ (el radio de curvatura ) de la curva en una línea a lo largo de la normal u n ( s ). La distancia requerida ρ ( s ) en la longitud del arco s se define en términos de la velocidad de rotación de la tangente a la curva, que a su vez está determinada por la propia trayectoria. Si la orientación de la tangente con respecto a alguna posición inicial es θ ( s ), entonces ρ ( s ) se define por la derivada d θ / d s :

El radio de curvatura generalmente se toma como positivo (es decir, como un valor absoluto), mientras que la curvatura κ es una cantidad con signo.

Un enfoque geométrico para encontrar el centro de curvatura y el radio de curvatura utiliza un proceso de limitación que conduce al círculo osculador . Vea la imagen de arriba.

Usando estas coordenadas, el movimiento a lo largo de la trayectoria se ve como una sucesión de trayectorias circulares de centro siempre cambiante, y en cada posición s constituye un movimiento circular no uniforme en esa posición con radio ρ . El valor local de la velocidad angular de rotación viene dado por:

con la velocidad local v dada por:

En cuanto a los otros ejemplos anteriores, debido a que los vectores unitarios no pueden cambiar de magnitud, su tasa de cambio es siempre perpendicular a su dirección (vea el inserto de la izquierda en la imagen de arriba):

En consecuencia, la velocidad y la aceleración son:

y usando la regla de la cadena de diferenciación :

con la aceleración tangencial

En este sistema de coordenadas local, la aceleración se asemeja a la expresión para el movimiento circular no uniforme con el radio local ρ ( s ), y la aceleración centrípeta se identifica como el segundo término.

La extensión de este enfoque a las curvas espaciales tridimensionales conduce a las fórmulas de Frenet-Serret .

Enfoque alternativo

Al observar la imagen de arriba, uno podría preguntarse si se ha tenido en cuenta adecuadamente la diferencia de curvatura entre ρ ( s ) y ρ ( s + d s ) al calcular la longitud del arco como d s = ρ ( s ) d θ . Se puede encontrar tranquilidad sobre este punto utilizando un enfoque más formal que se describe a continuación. Este enfoque también se relaciona con el artículo sobre curvatura .

Para introducir los vectores unitarios del sistema de coordenadas local, un enfoque es comenzar en coordenadas cartesianas y describir las coordenadas locales en términos de estas coordenadas cartesianas. En términos de longitud de arco s , describa la trayectoria como:

Entonces, un desplazamiento incremental a lo largo de la trayectoria d s se describe mediante:

donde los números primos se introducen para denotar derivadas con respecto a s . La magnitud de este desplazamiento es d s , lo que muestra que:

(Ecuación 1)

Este desplazamiento es necesariamente una tangente a la curva en s , lo que muestra que el vector unitario tangente a la curva es:

mientras que el vector unitario exterior normal a la curva es

La ortogonalidad se puede verificar mostrando que el producto escalar del vector es cero. La magnitud unitaria de estos vectores es una consecuencia de la ecuación. 1 . Usando el vector tangente, el ángulo θ de la tangente a la curva viene dado por:

y

El radio de curvatura se introduce de forma completamente formal (sin necesidad de interpretación geométrica) como:

La derivada de θ se puede encontrar a partir de la de sin θ :

Ahora:

en el que el denominador es la unidad. Con esta fórmula para la derivada del seno, el radio de curvatura se convierte en:

donde la equivalencia de las formas proviene de la diferenciación de Eq. 1 :

Con estos resultados se puede encontrar la aceleración:

como se puede verificar tomando el producto escalar con los vectores unitarios u t ( s ) y u n ( s ). Este resultado para la aceleración es el mismo que para el movimiento circular basado en el radio ρ . Usando este sistema de coordenadas en el marco inercial, es fácil identificar la fuerza normal a la trayectoria como la fuerza centrípeta y la paralela a la trayectoria como la fuerza tangencial. Desde un punto de vista cualitativo, la trayectoria se puede aproximar mediante un arco de un círculo durante un tiempo limitado, y durante el tiempo limitado se aplica un radio de curvatura particular, las fuerzas centrífugas y de Euler pueden analizarse sobre la base del movimiento circular con ese radio. .

Este resultado para la aceleración concuerda con el encontrado anteriormente. Sin embargo, en este enfoque, la cuestión del cambio en el radio de curvatura con s se maneja de manera completamente formal, consistente con una interpretación geométrica, pero sin depender de ella, evitando así cualquier pregunta que la imagen de arriba pueda sugerir acerca de descuidar la variación en ρ .

Ejemplo: movimiento circular

Para ilustrar las fórmulas anteriores , den x , y como:

Luego:

que puede reconocerse como una trayectoria circular alrededor del origen con radio α . La posición s = 0 corresponde a [ α , 0] o las 3 en punto. Para usar el formalismo anterior, se necesitan las derivadas:

Con estos resultados se puede verificar que:

Los vectores unitarios también se pueden encontrar:

que sirven para mostrar que s = 0 se ubica en la posición [ ρ , 0] y s = ρ π / 2 en [0, ρ ], lo que concuerda con las expresiones originales para x e y . En otras palabras, s se mide en sentido antihorario alrededor del círculo a partir de las 3 en punto. Además, se pueden encontrar las derivadas de estos vectores:

Para obtener velocidad y aceleración, es necesaria una dependencia del tiempo para s . Para movimiento en sentido antihorario a velocidad variable v ( t ):

donde v ( t ) es la velocidad y t es el tiempo, y s ( t = 0) = 0. Entonces:

donde ya está establecido que α = ρ. Esta aceleración es el resultado estándar para un movimiento circular no uniforme .

Ver también

notas y referencias

Otras lecturas

enlaces externos