Configuración de Pappus - Pappus configuration
En geometría , la configuración de Pappus es una configuración de nueve puntos y nueve líneas en el plano euclidiano , con tres puntos por línea y tres líneas a través de cada punto.
Historia y construccion
Esta configuración lleva el nombre de Pappus de Alejandría . El teorema del hexágono de Pappus establece que cada dos triples de puntos colineales ABC y abc (ninguno de los cuales se encuentra en la intersección de las dos líneas) se puede completar para formar una configuración de Pappus, agregando las seis líneas Ab , aB , Ac , aC , Bc , y bC , y sus tres puntos de intersección X = Ab · aB , Y = Ac · aC y Z = Bc · bC . Estos tres puntos son los puntos de intersección de los lados "opuestos" del hexágono AbCaBc . Según el teorema de Pappus, el sistema resultante de nueve puntos y ocho líneas siempre tiene una novena línea que contiene los tres puntos de intersección X , Y y Z , denominada línea de Pappus .
La configuración de Pappus también se puede derivar de dos triángulos XcC e YbB que están en perspectiva entre sí (las tres líneas a través de pares de puntos correspondientes se encuentran en un solo punto de cruce) de tres formas diferentes, junto con sus tres centros de perspectiva Z , una , y a . Los puntos de la configuración son los puntos de los triángulos y los centros de perspectiva, y las líneas de la configuración son las líneas a través de los pares de puntos correspondientes.
Construcciones relacionadas
El gráfico de Levi de la configuración de Pappus se conoce como gráfico de Pappus . Es un gráfico cúbico simétrico bipartito con 18 vértices y 27 aristas.
La configuración de Desargues también se puede definir en términos de triángulos en perspectiva, y la configuración de Reye se puede definir de manera análoga a partir de dos tetraedros que están en perspectiva entre sí de cuatro formas diferentes, formando un sistema desmico de tetraedros.
Para cualquier curva plana cúbica no singular en el plano euclidiano, tres puntos de inflexión reales de la curva y un cuarto punto en la curva, existe una forma única de completar estos cuatro puntos para formar una configuración de Pappus de tal manera que los nueve puntos Acuéstese en la curva.
Aplicaciones
Una variante de la configuración de Pappus proporciona una solución al problema de la plantación de huertos , el problema de encontrar conjuntos de puntos que tengan el mayor número posible de líneas a través de tres puntos. Los nueve puntos de la configuración de Pappus forman solo nueve líneas de tres puntos. Sin embargo, se pueden organizar de modo que haya otra línea de tres puntos, lo que hace un total de diez. Este es el número máximo posible de líneas de tres puntos a través de nueve puntos.