PG (3,2) - PG(3,2)

PG (3,2) representado como un tetraedro (ver texto)

En geometría finita , PG (3,2) es el espacio proyectivo tridimensional más pequeño . Se puede considerar como una extensión del avión Fano . Tiene 15 puntos, 35 líneas y 15 planos. También tiene las siguientes propiedades:

• Cada punto está contenido en 7 líneas y 7 planos.
• Cada línea está contenida en 3 planos y contiene 3 puntos
• Cada plano contiene 7 puntos y 7 líneas
• Cada plano es isomorfo al plano de Fano
• Cada par de planos distintos se cruzan en una línea.
• Una línea y un plano que no contiene la línea se cruzan exactamente en un punto

Construcciones

Construcción de K ₆

Tome una gráfica completa K ₆ . Tiene 15 aristas, 15 combinaciones perfectas y 20 triángulos. Crea un punto para cada uno de los 15 bordes y una línea para cada uno de los 20 triángulos y 15 combinaciones. La estructura de incidencia entre cada triángulo o coincidencia (línea) con sus tres bordes constituyentes (puntos), induce un PG (3,2). (El trabajo de Sylvester sobre duads y Synthemas, 1859)

Construcción de aviones Fano

Tome un plano Fano y aplique las 5040 permutaciones de sus 7 puntos. Descarta los planos duplicados para obtener un conjunto de 30 aviones Fano distintos. Elija cualquiera de los 30 y elija los otros 14 que tienen exactamente una línea en común con la primera, no 0 o 3. La estructura de incidencia entre los planos 1 + 14 = 15 Fano y los 35 tripletes que cubren mutuamente induce un PG ( 3,2).

Representaciones

Representación tetraédrica

PG (3,2) se puede representar como un tetraedro. Los 15 puntos corresponden a los 4 vértices + 6 puntos medios de borde + 4 centros de caras + 1 centro de cuerpo. Las 35 líneas corresponden a los 6 bordes + 12 medianas de caras + 4 círculos de caras + 4 altitudes desde una cara al vértice opuesto + 3 líneas que conectan los puntos medios de los bordes opuestos + 6 elipses que conectan cada punto medio de los bordes con sus dos no vecinos centros faciales. Los 15 planos consisten en las 4 caras + los 6 planos "medial" que conectan cada borde con el punto medio del borde opuesto + 4 "conos" que conectan cada vértice con el círculo de la cara opuesta + una "esfera" con los 6 centros de los bordes y el centro del cuerpo. Esto fue descrito por Burkhard Polster.

Representación cuadrada

Modelo cuadrado de Fano 3 espacios

PG (3,2) se puede representar como un cuadrado. A los 15 puntos se les asignan coordenadas binarias de 4 bits de 0001 a 1111, aumentadas con un punto etiquetado como 0000 y organizadas en una cuadrícula de 4x4. Las líneas corresponden a las clases de equivalencia de conjuntos de cuatro vértices que XOR juntos a 0000. Con ciertos arreglos de los vértices en la cuadrícula 4x4, como el orden "natural" de fila mayor o el orden de mapa de Karnaugh , las líneas forman sub- estructuras como filas, columnas, transversales o rectángulos, como se ve en la figura. (Hay 20160 ordenaciones de este tipo, como se ve a continuación en la sección sobre Automorfismos .) Esta representación es posible porque geométricamente las 35 líneas se representan como una biyección con las 35 formas de dividir un espacio afín 4x4 en 4 planos paralelos de 4 celdas cada uno. Esto fue descrito por Steven H. Cullinane.

Representación tapete

El tapete. Esta es también una representación del gráfico srg (15,6,1,3) fuertemente regular dibujado con bordes superpuestos.

El diagrama de Doily que se utiliza a menudo para representar el cuadrilátero generalizado GQ (2,2) también se utiliza para representar PG (3,2). Esto fue descrito por Richard Doily.

El problema de la colegiala de Kirkman

PG (3,2) surge como trasfondo en algunas soluciones del problema de la colegiala de Kirkman . Dos de las siete soluciones no isomórficas para este problema pueden integrarse como estructuras en el espacio Fano 3. En particular, una extensión de PG (3,2) es una partición de puntos en líneas disjuntas, y corresponde a la disposición de las niñas (puntos) en filas disjuntas (líneas de una extensión) para un solo día del problema de colegiala de Kirkman. Hay 56 pliegos diferentes de 5 líneas cada uno. Un empaque de PG (3,2) es una partición de las 35 líneas en 7 extensiones separadas de 5 líneas cada una, y corresponde a una solución para los siete días. Hay 240 envases de PG (3,2), que se clasifican en dos clases de conjugación de 120 bajo la acción de PGL (4,2) (el grupo de colineación del espacio); una correlación intercambia estas dos clases.

Automorfismos

El grupo de automorfismo de PG (3,2) mapea líneas a líneas. El número de automorfismos viene dado por encontrar el número de formas de seleccionar 4 puntos que no son coplanares; esto resulta en 15⋅14⋅12⋅8 = 20160 = 8! / 2. Resulta que el grupo de automorfismos de PG (3,2) es isomorfo al grupo alterno en 8 elementos A ₈ .

Coordenadas

Se sabe que una PG ( n , 2) se puede coordinar con (GF (2)) ^{n + 1} , es decir, una cadena de bits de longitud n + 1. Por lo tanto, PG (3,2) se puede coordinar con cadenas de 4 bits .

Además, la línea que une los puntos ( a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ) y ( b ₁ , b ₂ , b ₃ , b ₄ ) se pueden asignar naturalmente a las coordenadas de Plücker ( p ₁₂ , p ₁₃ , p ₁₄ , p ₂₃ , p ₂₄ , p ₃₄ ) donde p _ij = a _i b _j - a _j b _i , y las coordenadas de la recta satisfacen p ₁₂ p ₃₄ + p ₁₃ p ₂₄ + p ₁₄ p ₂₃ = 0 . Por tanto, cada línea en el espacio proyectivo 3 tiene seis coordenadas, y se puede representar como un punto en el espacio proyectivo 5; los puntos se encuentran en la superficie p ₁₂ p ₃₄ + p ₁₃ p ₂₄ + p ₁₄ p ₂₃ = 0 .

Notas

Referencias

• Fano, G. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva" , Giornale di Matematiche , 30 : 106-132
• Hirschfeld, JWP (1985), Espacios proyectivos finitos de tres dimensiones , Oxford University Press , ISBN   0-19-853536-8
• Polster, Burkard (1998), Un libro de imágenes geométricas , Springer, ISBN   978-0-387-98437-7