Modelo de Osipkov-Merritt - Osipkov–Merritt model

Funciones de distribución de Osipkov-Merritt, derivadas de modelos de galaxias que obedecen a la ley de Jaffe en la densidad. El modelo isotrópico`` se traza con la línea gruesa.${\ Displaystyle f = f (E)}$

Los modelos de Osipkov-Merritt (llamados así por Leonid Osipkov y David Merritt ) son representaciones matemáticas de sistemas estelares esféricos ( galaxias , cúmulos estelares , cúmulos globulares , etc.). La fórmula de Osipkov-Merritt genera una familia de un parámetro de funciones de distribución de espacio de fase que reproducen un perfil de densidad específico (que representa estrellas) en un potencial gravitacional específico (en el que las estrellas se mueven). No es necesario que la densidad y el potencial estén relacionados de forma coherente. Un parámetro libre ajusta el grado de anisotropía de velocidad, desde movimientos isotrópicos hasta completamente radiales . El método es una generalización de la fórmula de Eddington para construir modelos esféricos isotrópicos.

El método fue derivado de forma independiente por sus dos descubridores epónimos. La última derivación incluye dos familias adicionales de modelos (Tipo IIa, b) con movimientos tangencialmente anisotrópicos.

Derivación

De acuerdo con el teorema de Jeans , el espacio de fases densidad de estrellas f debe ser expresable en términos de los aislantes integrales de movimiento , que en un sistema estelar esférica son la energía E y el momento angular J . El Osipkov-Merritt ansatz es

${\ Displaystyle f = f (Q) = f (E + J ^ {2} / 2r_ {a} ^ {2})}$

donde r _a , el "radio de anisotropía", es un parámetro libre. Este ansatz implica que f es constante en esferoides en el espacio de velocidades ya que

${\ Displaystyle 2Q = v_ {r} ^ {2} + (1 + r ^ {2} / r_ {a} ^ {2}) v_ {t} ^ {2} +2 \ Phi (r)}$

donde v _r , v _t son componentes de velocidad paralelos y perpendiculares al vector de radio r y Φ ( r ) es el potencial gravitacional .

La densidad ρ es la integral sobre velocidades de f :

${\ Displaystyle \ rho (r) = 2 \ pi \ int \ int f (E, J) v_ {t} dv_ {t} dv_ {r}}$

que se puede escribir

${\ Displaystyle \ rho (r) = {2 \ pi \ over r ^ {2}} \ int _ {\ Phi} ^ {0} dQf (Q) \ int _ {0} ^ {2r ^ {2} ( Q- \ Phi) / (1 + r ^ {2} / r_ {a} ^ {2})} dJ ^ {2} \ left [2 (Q- \ Phi) - (J ^ {2} / r ^ {2}) (1 + r ^ {2} / r_ {a} ^ {2}) \ right] ^ {- 1/2}}$

o

${\ Displaystyle \ rho (r) = {4 \ pi \ over 1 + r ^ {2} / r_ {a} ^ {2}} \ int _ {\ Phi} ^ {0} dQ {\ sqrt {2 ( Q- \ Phi)}} f (Q).}$

Esta ecuación tiene la forma de una ecuación integral de Abel y se puede invertir para dar f en términos de ρ :

${\ Displaystyle f (Q) = {{\ sqrt {2}} \ over 4 \ pi ^ {2}} {d \ over dQ} \ int _ {Q} ^ {0} {d \ Phi \ over {\ sqrt {\ Phi -Q}}} {d \ rho ^ {'} \ over d \ Phi}, \ \ \ \ \ \ rho ^ {'} (\ Phi) = \ left [1 + r (\ Phi) ^ {2} / r_ {a} ^ {2} \ right] \ rho \ left [r (\ Phi) \ right].}$

Propiedades

Siguiendo una derivación similar a la anterior, las dispersiones de velocidad en un modelo de Osipkov-Merritt satisfacen

${\ Displaystyle {\ sigma _ {r} ^ {2} \ over \ sigma _ {t} ^ {2}} = 1+ {r ^ {2} \ over r_ {a} ^ {2}}.}$

Los movimientos son casi radiales ( ) para y casi isotrópicos ( ) para . Esta es una característica deseable, ya que los sistemas estelares que se forman a través del colapso gravitacional tienen núcleos isotrópicos y envolturas radialmente anisótropas. ${\ Displaystyle \ sigma _ {r} \ gg \ sigma _ {t}}$${\ Displaystyle r \ gg r_ {a}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {r} \ approx \ sigma _ {t}}$${\ Displaystyle r \ ll r_ {a}}$

Si r _una se le asigna el valor de una demasiado pequeña, f puede ser negativo para algunos Q . Esto es una consecuencia del hecho de que los modelos de masa esférica no siempre pueden reproducirse mediante órbitas puramente radiales. Dado que el número de estrellas en una órbita no puede ser negativo, los valores de r _a que generan f negativos no son físicos. Este resultado se puede utilizar para limitar el grado máximo de anisotropía de los modelos de galaxias esféricas.

En su artículo de 1985, Merritt definió dos familias adicionales de modelos ("Tipo II") que tienen núcleos isotrópicos y envolturas tangencialmente anisotrópicas. Ambas familias asumen

${\ Displaystyle f = f (EJ ^ {2} / 2r_ {a} ^ {2})}$.

En los modelos de Tipo IIa, las órbitas se vuelven completamente circulares en r = r _a y permanecen así en todos los radios mayores. En los modelos Tipo IIb, más allá de las estrellas r _un movimiento en órbitas de diferentes excentricidades, aunque el movimiento siempre es empujado hacia circular. En ambas familias, la dispersión de velocidad tangencial sufre un salto cuando r aumenta más allá de r _a .

CM Carollo y col. (1995) derivan muchas propiedades observables de los modelos de Osipkov-Merritt de Tipo I.

Aplicaciones

Las aplicaciones típicas de los modelos de Osipkov-Merritt incluyen:

• Modelado de cúmulos de estrellas , galaxias , halos de materia oscura y cúmulos de galaxias
• Construcción de modelos de galaxias anisotrópicas para estudios de inestabilidades dinámicas

Ver también

• Dinámica estelar

Referencias