Morfología matemática - Mathematical morphology

Una forma (en azul) y su dilatación morfológica (en verde) y erosión (en amarillo) por un elemento estructurante en forma de rombo.

La morfología matemática ( MM ) es una teoría y técnica para el análisis y procesamiento de estructuras geométricas , basada en la teoría de conjuntos , la teoría de celosía , la topología y funciones aleatorias . MM se aplica más comúnmente a imágenes digitales , pero también se puede emplear en gráficos , mallas de superficie , sólidos y muchas otras estructuras espaciales.

MM introdujo conceptos topológicos y geométricos de espacio continuo , como tamaño, forma , convexidad , conectividad y distancia geodésica , tanto en espacios continuos como discretos . MM es también la base del procesamiento de imágenes morfológicas , que consiste en un conjunto de operadores que transforman imágenes de acuerdo con las caracterizaciones anteriores.

Los operadores morfológicos básicos son erosión , dilatación , apertura y cierre .

MM se desarrolló originalmente para imágenes binarias y luego se extendió a funciones e imágenes en escala de grises . La posterior generalización a celosías completas es ampliamente aceptada hoy como fundamento teórico de MM.

Historia

La morfología matemática fue desarrollada en 1964 por el trabajo colaborativo de Georges Matheron y Jean Serra , en la École des Mines de Paris , Francia . Matheron supervisó la tesis doctoral de Serra, dedicada a la cuantificación de características minerales de secciones transversales delgadas , y este trabajo resultó en un enfoque práctico novedoso, así como avances teóricos en geometría integral y topología .

En 1968, el Centre de Morphologie Mathématique fue fundado por la École des Mines de Paris en Fontainebleau , Francia, dirigida por Matheron y Serra.

Durante el resto de la década de 1960 y la mayor parte de la de 1970, MM se ocupó esencialmente de imágenes binarias , tratadas como conjuntos , y generó una gran cantidad de operadores y técnicas binarios : transformación de acertar o fallar , dilatación , erosión , apertura , cierre , granulometría. , adelgazamiento , esqueletización , erosión final , bisectriz condicional y otros. También se desarrolló un enfoque aleatorio, basado en modelos de imagen novedosos. La mayor parte del trabajo de ese período se desarrolló en Fontainebleau.

Desde mediados de la década de 1970 hasta mediados de la de 1980, MM también se generalizó a funciones e imágenes en escala de grises . Además de extender los conceptos principales (como dilatación, erosión, etc.) a funciones, esta generalización produjo nuevos operadores, como gradientes morfológicos , transformada de sombrero de copa y la Cuenca (principal enfoque de segmentación de MM ).

En las décadas de 1980 y 1990, la MM obtuvo un reconocimiento más amplio, ya que los centros de investigación de varios países comenzaron a adoptar e investigar el método. MM comenzó a aplicarse a una gran cantidad de problemas y aplicaciones de imágenes.

En 1986, Serra generalizó aún más la MM, esta vez a un marco teórico basado en celosías completas . Esta generalización aportó flexibilidad a la teoría, permitiendo su aplicación a un número mucho mayor de estructuras, incluyendo imágenes en color, video, gráficos , mallas , etc. Al mismo tiempo, Matheron y Serra también formularon una teoría para el filtrado morfológico , basada en la nuevo marco de celosía.

Las décadas de 1990 y 2000 también vieron nuevos avances teóricos, incluidos los conceptos de conexiones y nivelaciones .

En 1993, se llevó a cabo el primer Simposio Internacional de Morfología Matemática (ISMM) en Barcelona , España . Desde entonces, los ISMM se organizan cada 2-3 años: Fontainebleau , Francia (1994); Atlanta , Estados Unidos (1996); Amsterdam , Holanda (1998); Palo Alto , CA , EE.UU. (2000); Sydney , Australia (2002); París , Francia (2005); Río de Janeiro , Brasil (2007); Groningen , Países Bajos (2009); Intra ( Verbania ), Italia (2011); Uppsala , Suecia (2013); Reykjavík , Islandia (2015); y Fontainebleau , Francia (2017).

Referencias

• "Introducción" de Pierre Soille, en ( Serra et al. (Eds.) 1994 ), págs. 1-4.
• "Apéndice A: El 'Centre de Morphologie Mathématique', una descripción general" por Jean Serra, en ( Serra et al. (Eds.) 1994 ), págs. 369-374.
• "Prólogo" en ( Ronse et al. (Eds.) 2005 )

Morfología binaria

En morfología binaria, una imagen se ve como un subconjunto de un espacio euclidiano o la cuadrícula entera , para alguna dimensión d . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}$

Elemento estructurante

La idea básica en morfología binaria es sondear una imagen con una forma simple y predefinida, sacando conclusiones sobre cómo esta forma encaja o no se ajusta a las formas de la imagen. Esta simple "sonda" se llama elemento estructurante y es en sí misma una imagen binaria (es decir, un subconjunto del espacio o cuadrícula).

A continuación, se muestran algunos ejemplos de elementos de estructuración ampliamente utilizados (indicados por B ):

• Let ; B es un disco abierto de radio r , centrado en el origen.${\ Displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {2}}$
• Let ; B es un cuadrado de 3 × 3, es decir, B = {(−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (0, −1), (0, 0), ( 0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1)}.${\ Displaystyle E = \ mathbb {Z} ^ {2}}$
• Let ; B es la "cruz" dada por B = {(−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, 0)}.${\ Displaystyle E = \ mathbb {Z} ^ {2}}$

Operadores básicos

Las operaciones básicas son operadores invariantes de desplazamiento ( invariantes de traducción ) fuertemente relacionados con la suma de Minkowski .

Deje que E sea un espacio euclidiano o un número entero de rejilla, y una imagen binaria en E .

Erosión

La erosión del cuadrado azul oscuro por un disco, dando como resultado el cuadrado azul claro.

La erosión de la imagen binaria A por el elemento estructurante B se define por

${\ Displaystyle A \ ominus B = \ {z \ in E | B_ {z} \ subseteq A \},}$

donde B _z es la traducción de B por el vector z , es decir, , . ${\ Displaystyle B_ {z} = \ {b + z \ mid b \ in B \}}$${\ Displaystyle \ forall z \ in E}$

Cuando el elemento estructurante B tiene un centro (por ejemplo, B es un disco o un cuadrado), y este centro está ubicado en el origen de E , entonces la erosión de A por B puede entenderse como el lugar geométrico de los puntos alcanzados por el centro. de B cuando B se mueve dentro de A . Por ejemplo, la erosión de un cuadrado de lado 10, centrado en el origen, por un disco de radio 2, también centrado en el origen, es un cuadrado de lado 6 centrado en el origen.

La erosión de A por B también viene dada por la expresión . ${\ Displaystyle A \ ominus B = \ bigcap _ {b \ in B} A _ {- b}}$

Aplicación de ejemplo: Supongamos que hemos recibido un fax de una fotocopia oscura. Todo parece escrito con un bolígrafo que sangra. El proceso de erosión permitirá que las líneas más gruesas se adelgacen y detecten el agujero dentro de la letra "o".

Dilatación

La dilatación del cuadrado azul oscuro por un disco, dando como resultado el cuadrado azul claro con esquinas redondeadas.

La dilatación de A por el elemento estructurante B está definida por

${\ Displaystyle A \ oplus B = \ bigcup _ {b \ in B} A_ {b}.}$

La dilatación es conmutativa, también dada por . ${\ Displaystyle A \ oplus B = B \ oplus A = \ bigcup _ {a \ in A} B_ {a}}$

Si B tiene un centro en el origen, como antes, a continuación, la dilatación de A por B puede ser entendido como el lugar geométrico de los puntos cubiertos por B cuando el centro de B se mueve dentro de A . En el ejemplo anterior, la dilatación del cuadrado del lado 10 por el disco de radio 2 es un cuadrado del lado 14, con esquinas redondeadas, centrado en el origen. El radio de las esquinas redondeadas es 2.

La dilatación también se puede obtener , en donde B ^s indica la simétricos de B , es decir, . ${\ Displaystyle A \ oplus B = \ {z \ in E \ mid (B ^ {s}) _ {z} \ cap A \ neq \ varnothing \}}$${\ Displaystyle B ^ {s} = \ {x \ in E \ mid -x \ in B \}}$

Aplicación de ejemplo: la dilatación es la operación dual de la erosión. Las figuras ligeramente dibujadas se vuelven gruesas cuando se "dilatan". La forma más sencilla de describirlo es imaginar que el mismo fax / texto está escrito con un bolígrafo más grueso.

Apertura

La apertura del cuadrado azul oscuro por un disco, dando como resultado el cuadrado azul claro con esquinas redondeadas.

La apertura de A por B se obtiene por la erosión de A por B , seguida de la dilatación de la imagen resultante por B :

${\ Displaystyle A \ circ B = (A \ ominus B) \ oplus B.}$

La apertura también está dada por , lo que significa que es el lugar geométrico de las traducciones de la elemento estructurante B dentro de la imagen A . En el caso del cuadrado del lado 10, y un disco de radio 2 como elemento estructurante, la abertura es un cuadrado del lado 10 con esquinas redondeadas, donde el radio de esquina es 2. ${\ Displaystyle A \ circ B = \ bigcup _ {B_ {x} \ subseteq A} B_ {x}}$

Aplicación de ejemplo: supongamos que alguien ha escrito una nota en un papel que no se moja y que parece que le están saliendo raíces diminutas y peludas por todas partes. La apertura esencialmente elimina las pequeñas fugas externas "rayitas" y restaura el texto. El efecto secundario es que redondea las cosas. Los bordes afilados comienzan a desaparecer.

Clausura

El cierre de la forma azul oscuro (unión de dos cuadrados) por un disco, resultando en la unión de la forma azul oscuro y las áreas celestes.

El cierre de A por B se obtiene mediante la dilatación de A por B , seguida de la erosión de la estructura resultante por B :

${\ Displaystyle A \ bullet B = (A \ oplus B) \ ominus B.}$

El cierre también se puede obtener mediante , donde X ^c denota el complemento de X relativo a E (es decir, ). Los medios anteriores que el cierre es el complemento de la locus de las traducciones de la simétrica del elemento de estructuración fuera de la imagen A . ${\ Displaystyle A \ bullet B = (A ^ {c} \ circ B ^ {s}) ^ {c}}$${\ Displaystyle X ^ {c} = \ {x \ in E \ mid x \ notin X \}}$

Propiedades de los operadores básicos

Estas son algunas propiedades de los operadores morfológicos binarios básicos (dilatación, erosión, apertura y cierre):

• Son invariantes en la traducción .
• Están aumentando , es decir, si , entonces , y , etc.${\ Displaystyle A \ subseteq C}$${\ Displaystyle A \ oplus B \ subseteq C \ oplus B}$${\ Displaystyle A \ ominus B \ subseteq C \ ominus B}$
• La dilatación es conmutativa : .${\ Displaystyle A \ oplus B = B \ oplus A}$
• Si el origen de E pertenece al elemento estructurante B , entonces .${\ Displaystyle A \ ominus B \ subseteq A \ circ B \ subseteq A \ subseteq A \ bullet B \ subseteq A \ oplus B}$
• La dilatación es asociativa , es decir, . Además, la erosión satisface .${\ Displaystyle (A \ oplus B) \ oplus C = A \ oplus (B \ oplus C)}$${\ Displaystyle (A \ ominus B) \ ominus C = A \ ominus (B \ oplus C)}$
• La erosión y la dilatación satisfacen la dualidad .${\ Displaystyle A \ oplus B = (A ^ {c} \ ominus B ^ {s}) ^ {c}}$
• La apertura y el cierre satisfacen la dualidad .${\ Displaystyle A \ bullet B = (A ^ {c} \ circ B ^ {s}) ^ {c}}$
• La dilatación es distributiva sobre la unión del conjunto.
• La erosión es distributiva sobre la intersección establecida.
• La dilatación es una pseudo-inversa de la erosión, y viceversa, en el siguiente sentido: si y solo si .${\ Displaystyle A \ subseteq (C \ ominus B)}$${\ Displaystyle (A \ oplus B) \ subseteq C}$
• La apertura y el cierre son idempotentes .
• Apertura es anti extensa , es decir, , mientras que el cierre es extensa , es decir, .${\ Displaystyle A \ circ B \ subseteq A}$${\ Displaystyle A \ subseteq A \ bullet B}$

Otros operadores y herramientas

• Transformación de acertar o fallar
• Transformación de poda
• Esqueleto morfológico
• Filtrado por reconstrucción
• Erosiones últimas y bisectrices condicionales
• Granulometria
• Funciones de distancia geodésica

Morfología en escala de grises

Cuenca del gradiente de la imagen cardíaca

En escala de grises morfología, las imágenes son funciones que trazan un espacio euclidiano o rejilla E en donde es el conjunto de números reales , es un elemento más grande que cualquier número real, y es un elemento más pequeño que cualquier número real. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty, - \ infty \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle - \ infty}$

Los elementos de estructuración en escala de grises también son funciones del mismo formato, llamadas "funciones de estructuración".

Denotando una imagen por f ( x ) y la función de estructuración por b ( x ), la dilatación en escala de grises de f por b está dada por

${\ Displaystyle (f \ oplus b) (x) = \ sup _ {y \ in E} [f (y) + b (xy)],}$

donde "sup" denota el supremo .

De manera similar, la erosión de f por b está dada por

${\ Displaystyle (f \ ominus b) (x) = \ inf _ {y \ in E} [f (y) -b (yx)],}$

donde "inf" denota el infimum .

Al igual que en la morfología binaria, la apertura y el cierre vienen dados respectivamente por

${\ Displaystyle f \ circ b = (f \ ominus b) \ oplus b,}$

${\ Displaystyle f \ bullet b = (f \ oplus b) \ ominus b.}$

Funciones de estructuración planas

Es común utilizar elementos estructurantes planos en aplicaciones morfológicas. Las funciones de estructuración planas son funciones b ( x ) en la forma

${\ displaystyle b (x) = {\ begin {cases} 0, & x \ in B, \\ - \ infty & {\ text {de lo contrario}}, \ end {cases}}}$

donde . ${\ Displaystyle B \ subseteq E}$

En este caso, la dilatación y la erosión se simplifican mucho, y se dan respectivamente por

${\ Displaystyle (f \ oplus b) (x) = \ sup _ {z \ in B ^ {s}} f (x + z),}$

${\ Displaystyle (f \ ominus b) (x) = \ inf _ {z \ in B} f (x + z).}$

En el caso discreto y acotado ( E es una cuadrícula y B es acotado), los operadores supremum e infimum pueden ser reemplazados por el máximo y el mínimo . Por lo tanto, la dilatación y la erosión son casos particulares de estadísticas de orden filtros, con dilatación devolver el valor máximo dentro de una ventana en movimiento (la simétrica de la ayuda de la función de estructuración B ), y la erosión de devolver el valor mínimo dentro de la ventana móvil B .

En el caso del elemento estructurador plano, los operadores morfológicos dependen únicamente del orden relativo de los valores de los píxeles , independientemente de sus valores numéricos, y por tanto son especialmente adecuados para el procesamiento de imágenes binarias e imágenes en escala de grises cuya función de transferencia de luz se desconoce.

Otros operadores y herramientas

• Gradientes morfológicos
• Transformación de sombrero de copa
• Algoritmo de cuencas hidrográficas

Mediante la combinación de estos operadores se puede obtener algoritmos para muchas tareas de procesamiento de imágenes, tales como la detección de características , segmentación de la imagen , la nitidez de imagen , filtrado de imágenes , y clasificación . En esta línea, también se debe considerar la morfología continua.

Morfología matemática en celosías completas

Las celosías completas son conjuntos parcialmente ordenados , donde cada subconjunto tiene un mínimo y un supremo . En particular, contiene un elemento mínimo y un elemento mayor (también denominado "universo").

Adjunciones (dilatación y erosión)

Sea una celosía completa, con infimum y supremum simbolizados por y , respectivamente. Su universo y elemento mínimo están simbolizados por U y , respectivamente. Por otra parte, dejar que sea una colección de elementos de L . ${\ Displaystyle (L, \ leq)}$${\ Displaystyle \ wedge}$${\ Displaystyle \ vee}$${\ Displaystyle \ emptyset}$${\ Displaystyle \ {X_ {i} \}}$

Una dilatación es cualquier operador que distribuye sobre el supremum y conserva el mínimo elemento. Es decir: ${\ Displaystyle \ delta \ colon L \ rightarrow L}$

• ${\ Displaystyle \ bigvee _ {i} \ delta (X_ {i}) = \ delta \ left (\ bigvee _ {i} X_ {i} \ right)}$,
• ${\ Displaystyle \ delta (\ juego vacío) = \ juego vacío}$.

Una erosión es cualquier operador que distribuye sobre el mínimo y preserva el universo. Es decir: ${\ Displaystyle \ varepsilon \ colon L \ rightarrow L}$

• ${\ Displaystyle \ bigwedge _ {i} \ varepsilon (X_ {i}) = \ varepsilon \ left (\ bigwedge _ {i} X_ {i} \ right)}$,
• ${\ Displaystyle \ varepsilon (U) = U}$.

Las dilataciones y erosiones forman conexiones de Galois . Es decir, por cada dilatación hay una y solo una erosión que satisface ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$

${\ Displaystyle X \ leq \ varepsilon (Y) \ Leftrightarrow \ delta (X) \ leq Y}$

para todos . ${\ Displaystyle X, Y \ in L}$

De manera similar, por cada erosión hay una y solo una dilatación que satisface la conexión anterior.

Además, si dos operadores satisfacen la conexión, entonces debe haber una dilatación y una erosión. ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$

Los pares de erosiones y dilataciones que satisfacen la conexión anterior se denominan "adjuntos", y se dice que la erosión es la erosión adjunta de la dilatación, y viceversa.

Abriendo y cerrando

Para cada adjunción , la apertura morfológica y el cierre morfológico se definen de la siguiente manera: ${\ Displaystyle (\ varepsilon, \ delta)}$${\ Displaystyle \ gamma \ colon L \ to L}$${\ Displaystyle \ phi \ colon L \ to L}$

${\ Displaystyle \ gamma = \ delta \ varepsilon,}$

${\ Displaystyle \ phi = \ varepsilon \ delta.}$

La apertura y el cierre morfológicos son casos particulares de apertura algebraica (o simplemente apertura) y cierre algebraico (o simplemente cierre). Las aperturas algebraicas son operadores en L que son idempotentes, crecientes y anti-extensivos. Los cierres algebraicos son operadores en L que son idempotentes, crecientes y extensivos.

Casos particulares

La morfología binaria es un caso particular de morfología reticular, donde L es el conjunto de potencias de E (espacio o cuadrícula euclidiana), es decir, L es el conjunto de todos los subconjuntos de E , y es la inclusión del conjunto . En este caso, el infimum se establece en la intersección y el supremum se establece en la unión . ${\ Displaystyle \ leq}$

Del mismo modo, la morfología de escala de grises es otro caso particular, donde L es el conjunto de funciones de mapeo de E en , y , y , son el punto en cuanto a orden, supremo, y infimum, respectivamente. Es decir, es f y g son funciones en L , a continuación, si y sólo si ; el infimum viene dado por ; y el supremum lo da . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty, - \ infty \}}$${\ Displaystyle \ leq}$${\ Displaystyle \ vee}$${\ Displaystyle \ wedge}$${\ Displaystyle f \ leq g}$${\ Displaystyle f (x) \ leq g (x), \ forall x \ in E}$${\ Displaystyle f \ wedge g}$${\ Displaystyle (f \ cuña g) (x) = f (x) \ cuña g (x)}$${\ Displaystyle f \ vee g}$${\ Displaystyle (f \ vee g) (x) = f (x) \ vee g (x)}$

Ver también

• Transformada H-maxima

Notas

Referencias

• Análisis de imágenes y morfología matemática por Jean Serra, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Análisis de imágenes y morfología matemática, Volumen 2: Avances teóricos de Jean Serra, ISBN  0-12-637241-1 (1988)
• Una introducción al procesamiento de imágenes morfológicas por Edward R. Dougherty, ISBN  0-8194-0845-X (1992)
• Análisis de imágenes morfológicas; Principios y aplicaciones de Pierre Soille, ISBN  3-540-65671-5 (1999), segunda edición (2003)
• Morfología matemática y su aplicación al procesamiento de señales , J. Serra y Ph. Salembier (Eds.), Actas del 1er Taller internacional sobre morfología matemática y sus aplicaciones al procesamiento de señales (ISMM'93), ISBN  84-7653-271-7 (1993)
• Morfología matemática y sus aplicaciones al procesamiento de imágenes , J. Serra y P. Soille (Eds.), Actas del segundo simposio internacional sobre morfología matemática (ISMM'94), ISBN  0-7923-3093-5 (1994)
• Morfología matemática y sus aplicaciones al procesamiento de imágenes y señales , Henk JAM Heijmans y Jos BTM Roerdink (Eds.), Actas del 4to simposio internacional sobre morfología matemática (ISMM'98), ISBN  0-7923-5133-9 (1998)
• Morfología matemática: 40 años después , Christian Ronse, Laurent Najman y Etienne Decencière (Eds.), ISBN  1-4020-3442-3 (2005)
• Morfología matemática y sus aplicaciones al procesamiento de señales e imágenes , Gerald JF Banon, Junior Barrera, Ulisses M. Braga-Neto (Eds.), Actas del 8 ° simposio internacional sobre morfología matemática (ISMM'07), ISBN  978-85-17 -00032-4 (2007)
• Morfología matemática: de la teoría a las aplicaciones , Laurent Najman y Hugues Talbot (Eds). ISTE-Wiley. ISBN  978-1-84821-215-2 . (520 págs.) Junio ​​de 2010

enlaces externos

• Curso online sobre morfología matemática , de Jean Serra (en inglés, francés y español)
• Centro de Morfología Matemática , Escuela de Minas de París
• Historia de la morfología matemática , por Georges Matheron y Jean Serra
• Morphology Digest, un boletín sobre morfología matemática , por Pierre Soille
• Conferencias sobre procesamiento de imágenes: una colección de 18 conferencias en formato pdf de la Universidad de Vanderbilt. Las conferencias 16-18 son sobre morfología matemática , por Alan Peters
• Morfología matemática; de las conferencias de Computer Vision , por Robyn Owens
• SMIL - Una biblioteca de imágenes morfológicas simple (pero eficiente) (de Ecole des Mines de Paris)
• Biblioteca gratuita de procesamiento de imágenes optimizado SIMD
• Demostración del subprograma Java
• FILTROS: una biblioteca gratuita de procesamiento de imágenes de código abierto
• Erosiones, dilataciones, aberturas y cierres morfológicos rápidos
• Análisis morfológico de neuronas usando Matlab